1 + 1/2 + 1/3 + 1/n C++

Chọn một trang web để nhận nội dung đã dịch nếu có và xem các sự kiện và ưu đãi tại địa phương. Dựa trên vị trí của bạn, chúng tôi khuyên bạn nên chọn.

Bạn cũng có thể chọn một trang web từ danh sách sau

Làm thế nào để có được hiệu suất trang web tốt nhất

Chọn trang Trung Quốc [bằng tiếng Trung hoặc tiếng Anh] để có hiệu suất trang tốt nhất. Các trang web quốc gia khác của MathWorks không được tối ưu hóa cho các lượt truy cập từ vị trí của bạn

Trong toán học, chuỗi điều hòa là chuỗi vô hạn được hình thành bằng cách tính tổng tất cả các phân số đơn vị dương

∑n=1∞1n=1+12+13+14+15+⋯. {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}} . }

N{\displaystyle n}

số hạng đầu tiên của chuỗi tổng bằng xấp xỉ ln⁡n+γ{\displaystyle \ln n+\gamma }, where ln{\displaystyle \ln } is the natural logarithm and γ≈0.577{\displaystyle \gamma \approx 0.577} là hằng số Euler–Mascheroni. Vì logarit có giá trị lớn tùy ý nên chuỗi điều hòa không có giới hạn hữu hạn. nó là một chuỗi khác nhau. Sự phân kỳ của nó đã được chứng minh vào thế kỷ 14 bởi Nicole Oresme bằng cách sử dụng tiền thân của phép thử ngưng tụ Cauchy cho sự hội tụ của chuỗi vô hạn. Nó cũng có thể được chứng minh là phân kỳ bằng cách so sánh tổng với một tích phân, theo phép thử tích phân cho sự hội tụ.

Các ứng dụng của chuỗi điều hòa và các tổng riêng của nó bao gồm chứng minh của Euler rằng có vô số số nguyên tố, phân tích bài toán của người thu thập phiếu giảm giá về số lần thử nghiệm ngẫu nhiên cần thiết để cung cấp một loạt các câu trả lời, các thành phần liên thông của đồ thị ngẫu nhiên,

Lịch sử[sửa]

Một sóng và các hài của nó, với các bước sóng 1,12,13,…{\displaystyle 1,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},\dots }

Tên của chuỗi hòa âm bắt nguồn từ khái niệm về âm bội hay họa âm trong âm nhạc. bước sóng của các âm bội của một dây dao động là 12{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}

, 13{\displaystyle {\tfrac {1}{3}}} . , của bước sóng cơ bản của chuỗi. [1][2] Mỗi số hạng của chuỗi điều hòa sau số hạng đầu tiên là trung bình điều hòa của các số hạng lân cận, vì vậy các số hạng này tạo thành một cấp số điều hòa; . [2] Ngoài âm nhạc, các chuỗi hài hòa cũng đã có một sự phổ biến nhất định với các kiến ​​trúc sư. Điều này rất đặc biệt trong thời kỳ Baroque, khi các kiến ​​trúc sư sử dụng chúng để thiết lập tỷ lệ của sơ đồ tầng, độ cao và thiết lập mối quan hệ hài hòa giữa các chi tiết kiến ​​trúc bên trong và bên ngoài của nhà thờ và cung điện. [3], 14{\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}, etc., of the string's fundamental wavelength.[1][2] Every term of the harmonic series after the first is the harmonic mean of the neighboring terms, so the terms form a harmonic progression; the phrases harmonic mean and harmonic progression likewise derive from music.[2] Beyond music, harmonic sequences have also had a certain popularity with architects. This was so particularly in the Baroque period, when architects used them to establish the proportions of floor plans, of elevations, and to establish harmonic relationships between both interior and exterior architectural details of churches and palaces.[3]

Sự phân kỳ của chuỗi điều hòa lần đầu tiên được chứng minh vào năm 1350 bởi Nicole Oresme. [2][4] Công trình của Oresme, và công trình cùng thời của Richard Swineshead trên một chuỗi khác, đánh dấu sự xuất hiện lần đầu của chuỗi vô hạn ngoài chuỗi hình học trong toán học. [5] Tuy nhiên, thành tích này rơi vào quên lãng. [6] Bằng chứng bổ sung đã được xuất bản vào thế kỷ 17 bởi Pietro Mengoli[2][7] và bởi Jacob Bernoulli. [8][9][10] Bernoulli ghi công anh trai Johann Bernoulli vì đã tìm ra bằng chứng,[10] và sau đó nó được đưa vào các tác phẩm sưu tập của Johann Bernoulli. [11]

Tổng riêng phần của chuỗi điều hòa được đặt tên là số điều hòa và được ký hiệu thông thường là Hn{\displaystyle H_{n}}

, vào năm 1968 bởi Donald Knuth. [12]

Định nghĩa và phân kỳ[sửa | sửa mã nguồn]

Chuỗi điều hòa là chuỗi vô hạn

∑n=1∞1n=1+12+13+14+15+⋯{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=1+{\frac

trong đó các số hạng đều là phân số đơn vị dương. Đó là một chuỗi khác nhau. khi nhiều số hạng của chuỗi được bao gồm trong các tổng riêng của chuỗi, giá trị của các tổng riêng này tăng lớn tùy ý, vượt quá mọi giới hạn hữu hạn. Bởi vì nó là một chuỗi phân kỳ, nên nó nên được hiểu là một tổng chính thức, một biểu thức toán học trừu tượng kết hợp các phân số đơn vị, chứ không phải là một thứ có thể được ước tính thành một giá trị số. Có nhiều bằng chứng khác nhau về sự phân kỳ của chuỗi điều hòa, được khảo sát trong một bài báo năm 2006 của S. J. Kifowit và T. Một. tem. [13] Hai trong số nổi tiếng nhất[1][13] được liệt kê bên dưới

Kiểm tra so sánh[sửa]

Một cách để chứng minh sự phân kỳ là so sánh chuỗi điều hòa với một chuỗi phân kỳ khác, trong đó mỗi mẫu số được thay thế bằng lũy ​​thừa lớn nhất tiếp theo của hai

1+12+13+14+15+16+17+18+19+⋯≥1+12+14+14+18+18+18+18+116+⋯{\displaystyle {\begin{alignedat}{8

Nhóm các số hạng bằng nhau chứng tỏ rằng chuỗi thứ hai phân kỳ [vì mọi nhóm các chuỗi hội tụ đều chỉ hội tụ]

1+[12]+[14+14]+[18+18+18+18]+[116+⋯+116]+⋯=1+12+12+12+12+⋯. {\displaystyle {\begin{aligned}&1+\left[{\frac {1}{2}}\right]+\left[{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4} . \end{căn chỉnh}}}

Vì mỗi số hạng của chuỗi điều hòa đều lớn hơn hoặc bằng số hạng tương ứng của chuỗi thứ hai [và các số hạng đều dương], nên [bằng phép thử so sánh] chuỗi điều hòa cũng phân kỳ. Lập luận tương tự chứng minh rõ ràng hơn rằng, với mọi số nguyên dương k{\displaystyle k},

∑n=12k1n≥1+k2{\displaystyle \sum _{n=1}^{2^{k}}{\frac {1}{n}}\geq 1+{\frac {k}{2}

Đây là bằng chứng gốc do Nicole Oresme đưa ra vào khoảng năm 1350. [13] Phép thử ngưng tụ Cauchy là sự tổng quát hóa lập luận này. [14]

Kiểm tra tích phân [ chỉnh sửa ]

Hình chữ nhật có diện tích cho bởi chuỗi điều hòa và hyperbola y=1/x{\displaystyle y=1/x}

qua các góc trên bên trái của những hình chữ nhật này