Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau. Đỉnh của tam giác cân là giao điểm của hai cạnh bên. Góc được tạo bởi đỉnh được gọi là góc ở đỉnh, hai góc còn lại là góc đáy. Vậy công thức tính diện tích tam giác cân như thế nào? Tính chất tam giác cân là gì? 3 cách chứng minh tam giác cân ra sao? Mời các bạn hãy cùng chúng tôi theo dõi bài viết dưới đây nhé.
Định nghĩa tam giác cân
Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau, hai cạnh này được gọi là hai cạnh bên. Đỉnh của một tam giác cân là giao điểm của hai cạnh bên. Góc được tạo bởi đỉnh được gọi là góc ở đỉnh, hai góc còn lại gọi là góc ở đáy.
Ở hình trên, tam giác ABC có AB = AC suy ra tam giác ABC cân.
Có AB và AC là hai cạnh bên nên tam giác ABC cân tại đỉnh A.
Tính chất tam giác cân
Tam giác cân có 4 tính chất sau đây:
Tính chất 1: Trong một tam giác cân hai góc ở đáy bằng nhau.
Chứng minh:
| Giả thiết | Tam giác ABC cân tại A, AB = AC |
| Kết luận |
Trong tam giác cân ABC, gọi AM là tia phân giác của góc
Khi đó ta có
Xét tam giác ABM và tam giác ACM có:
AB = AC [gt]
[cmt]
AM chung
Suy ta ΔABM = ΔACM [c.g.c] [đpcm]
Tính chất 2: Một tam giác có hai góc bằng nhau thì là tam giác cân.
Chứng minh
| Giả thiết | Tam giác ABC, |
| Kết luận | Tam giác ABC cân tại A |
Trong tam giác ABC, gọi AM là tia phân giác của
Tam giác ABM có [tổng 3 góc trong một tam giác]
Tam giác ACM có [tổng 3 góc trong một tam giác]
Mà lại có
nên
Xét tam giác ABM và tam giác ACM có:
Suy ra ΔABM = ΔACM [g - g - g] nên AB = AC [cạnh tương ứng bằng nhau]
Xét tam giác ABC có AB = AC, suy ra tam giác ABC cân tại A [định nghĩa]
Tính chất 3: Trong một tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến, đường cao của tam giác đó.
Tính chất 4: Trong một tam giác, nếu có một đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực thì tam giác là tam giác cân.
Dấu hiệu nhận biết tam giác cân
Trong tam giác cân có 2 dấu hiệu nhận biết đó là:
- Dấu hiệu 1: Nếu một tam giác có hai cạnh bên bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.
- Dấu hiệu 2: Nếu một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.
3 cách chứng minh tam giác cân
Diện tích tam giác cân
Diện tích tam giác cân bằng Tích của chiều cao nối từ đỉnh tam giác đó tới cạnh đáy tam giác, sau đó chia cho 2.
- Công thức tính diện tích tam giác cân: S = [a x h]/ 2
Trong đó:
- a: Chiều dài đáy tam giác cân [đáy là một trong 3 cạnh của tam giác]
- h: Chiều cao của tam giác [chiều cao tam giác bằng đoạn thẳng hạ từ đỉnh xuống đáy].
Cách chứng minh tam giác cân
– Cách 1: Chứng minh tam giác đó có hai cạnh bằng nhau.
– Cách 2: Chứng minh tam giác đó có hai góc bằng nhau.
Ví dụ 1: Trong tam giác ABC có Δ ABD = Δ ACD . Chứng minh tam giác ABC cân.
+ Chứng minh theo cách 1:
Theo bài ra, ta có:
Δ ABD = Δ ACD
=> AB = AC
=> Tam giác ABC cân tại A
+ Chứng minh theo cách 2:
Theo bài ra, ta có:
∆ ABD = ∆ ACD
=> Góc B = C
=> Tam giác ABC cân tại A
Ví dụ 2:
Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm D thuộc cạnh AC, điểm E thuộc cạnh AB sao cho AD = AE
a] So sánh góc ABD và ACE
b] Gọi I là giao điểm của BD và CE. ΔIBC là tam giác gì ? Vì sao ?
Gợi ý đáp án
a] Tam giác ABC cân tại A [giả thiết]
Xét ΔABD và ΔACE có:
AB = AC [giả thiết]
chung
AD = AE [giả thiết]
⇒ ΔABD = ΔACE [cạnh - góc - cạnh]
⇒ [cặp góc tương ứng]
b] ΔIBC có:
⇒ ΔIBC cân tại I
Bài tập tam giác cân
A. Trắc nghiệm
Bài 1: Chọn câu sai
A. Tam giác đều có ba góc bằng nhau va bằng 60°
B. Tam giác đều có ba cạnh bằng nhau.
C. Tam giác cân là tam giác đều.
D. Tam giác đều là tam giác cân.
Gợi ý
Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau
Trong tam giác đều, mỗi góc bằng 60°
Tam giác đều cũng là tam giác cân nhưng tam giác cân chưa chắc là tam giác đều
Chọn đáp án C.
Bài 2: Hai góc nhọn của tam giác vuông cân bằng
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
Mỗi góc nhọn của tam giác vuông cân bằng 45°
Chọn đáp án B.
Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A. Chọn phát biểu sai
Gợi ý
Do tam giác ABC cân tại A nên ∠B = ∠C
Do đó đáp án D sai
Chọn đáp án D.
Bài 4: Một tam giác cân có góc ở đỉnh là 64° thì số đo góc đáy bằng?
A. 54°
B. 58°
C. 72°
D. 90°
Gợi ý
Góc ở đỉnh là , góc ở đáy là
Áp dụng công thức số đo ở đáy là:
Chọn đáp án B.
Bài 5: Một tam giác cân có góc ở đáy bằng 70° thì góc ở đỉnh bằng bao nhiêu?
A. 64°
B. 53°
C. 70°
D. 40°
Góc ở đỉnh là góc ở đáy là
Áp dụng công thức số đo ở đỉnh là: 180° - 2.70° = 40°
Chọn đáp án D.
Câu 6: Cho tam giác cân ABC cân tại A có = 50 . Tính số đo của và .
A. = = 50
B. = = 60
C. = = 65
D. = = 70
Câu 7: Cho tam giác MNP cân tại M có = 70 . Tính số đo của . Câu nào sau đây đúng:
A.40
B.48
C.52
D.60
Câu 8: CHo tam giác ABC cân tại A. lấy điểm M thuộc canh AB và N thuốc cjanh AC sao cho AM=AN. Gọi I là giao điểm của BN và CM. Câu nào sau đây sai:
A.BM=CN
B.BN=CM
C. Δ A M N là tam giác cân
D.A,B đúng, C sai
Câu 9: Với đề bài câu trên, tam giác BIC là tam giác gì?
A.Tam giác vuông
B.Tam giác cân
C.Tam giác vuông cân
D.A,B,C đều sai
Câu 10: Cho tam giác ABC, về phía ngoài Δ A B C vẽ hai tam giác đều ABH và ACK. So sánh đoạn thẳng BK và CH
A.BK=CH
B.BKCH
Câu 11: Một tam giác cân có góc ở đỉnh là 64° thì số đo góc đáy bằng?
A. 54°
B. 58°
C. 72°
D. 90°
Câu 12: Một tam giác cân có góc ở đáy bằng 70° thì góc ở đỉnh bằng bao nhiêu?
A. 64°
B. 53°
C. 70°
D. 40°
B. Tự luận
Bài 1. Cho ABC cân tại A có . Tính số đo các góc B và C.
Bài 2. Cho ABC cân tại A có . Tính số đo các góc B và C.
Bài 3. Cho cân tại P có . Tính số đo các góc
Bài 4. Cho ABC vuông cân tại A có . Tính số đo các góc B và C.
Bài 5. Cho ABC cân tại A có Tính số đo các góc A và C.
Bài 6. Cho cân tai . Tính số đo các góc M và F
Bài 7. Cho cân tai Q có . Tính số đo các góc P và Q
Bài 8. Cho ABC vuông cân tại A. Trên tia đối của tia B C lấy điểm D sao cho B D=A B. Tính số đo góc ADB.
Bài 9. Cho cân tại A có . Hai tia phân giác góc B và C cắt nhau tại I. Tính Bài số đo góc BIC.
Bài 10. Cho ABC cân tại A có . Hai tia phân giác góc B và C cắt nhau tai I, biết số đo . Tính số đo góc A.
Bài 11. Cho tam giác ABC cân tại A có . Tia phân giác góc B cắt AC tai I. Tính số đo góc BIC
Bài 12: Cho góc nhọn xOy. Điểm H nằm trên tia phân giác của góc xOy. Từ H dựng các đường vuông góc xuống hai cạnh Ox và Oy [A thuộc Ox và B thuộc Oy].
a] Chứng minh tamgiác HAB là tamgiác cân
b]Dlà hình chiếu của điểm A trên Oy, C là giao điểm của AD với O. Chứng minh BC ⊥ Ox.
c] Khi góc xOy bằng 600, chứng minh OA = 2O
Bài 13: Cho ∆ABC cân tại A và hai đường trung tuyến BM, CN cắt nhau tại K.
a] Chứng minh rBNC = rCMB
b] Chứng minh ∆BKCcân tại K
c] Chứngminh BC < KM
Bài 14: Cho ∆ ABC vuông tại A có BD là phân giác, kẻ DE ⊥ BC [ E∈BC ]. Gọi F là giao điểm của AB và DE. Chứng minh rằng
a] BD là trung trực của AE
b] DF = DC
c] AD < DC; d] AE // FC.
Tam giác đều
Định nghĩa về tam giác đều
Trong hình học, tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau hoặc tương đương ba góc bằng nhau và bằng 60°. Nó là một đa giác đều với số cạnh bằng 3.
Trong tam giác ABC đều có AB = AC = BC.
Hệ quả:
- Trong một tam giác đều thì mỗi góc bằng 60°
- Nếu một tam giác có 3 góc bằng nhau thì đó là tam giác đều.
- Nếu một tam giác cân có 1 góc bằng 60° thì đó là tam giác đều.
Tính chất của tam giác đều
Trong tam giác đều gồm có 5 tính chất, đó là:
- Trong một tam giác đều, mỗi góc bằng 600. [Tam giác ABC đều ∠A = ∠B = ∠C = 600.]
- Nếu một tam giác có ba góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều. [ ∠A = ∠B = ∠C thì là tam giác ABC đều.]
- Nếu một tam giác cân có một góc bằng 600 thì tam giác đó là tam giác đều.
- Trong tam giác đều, đường trung tuyến của tam giác đồng thời là đường cao và đường phân giác của tam giác đó.
- Tam giác ABC đều có AD là đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A. Khi đó, AD là đường cao và đường phân giác của tam giác ABC.
Đây là những tính chất vô cùng quan trong để các em có thể áp dụng vào bài tập. Vì vậy các em hãy ghi nhớ thật kỹ 5 tính chất của tam giác đều trên đây. Để có thể áp dụng giải bài tập một cách tốt nhất.
Dấu hiệu nhận biết của tam giác đều
Nếu trong tam giác đều có 5 tính chất thì dấu hiệu của tam giác đều chỉ có 4 dấu hiệu như sau:
- Tam giác có 3 cạnh bằng nhau là tam giác đều.
- Tam giác có 3 góc bằng nhau là tam giác đều.
- Tam giác cân có một góc bằng 60° là tam giác đều.
- Tam giác có 2 góc bằng 60 độ là tam giác đều.
Các công thức trong tam giác đều
Tam giác đều có tất cả 5 công thức, bao gồm các công thức sau:
1. Công thức tính diện tích của tam giác đều
2. Công thức tính chu vi của tam giác đều
3. Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp trong tam giác đềuP = 3a
Chú ý: Trọng tâm của tam giác cũng là tâm của đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp.
5. Công thức tính đường cao trong tam giác đềuTrong đó: a là độ dài cạnh của tam giác đều.
Đây là những công thức rất quan trọng để các em có thể áp dụng vào bài tập.
Ứng dụng của tam giác đều trong đời sống
Tam giác đều là 1 hình dạng phổ biến đối với mỗi con người. Và nó được dùng làm đồ chơi cho trẻ em có dạng hình tam giác đều. Hay còn được tạo ra thành những mô hình làm bằng nhựa để cho các em học sinh có thể học tập và nhận biết….
Vậy là chúng ta đã cùng nhau ôn lại những kiến thức vô cùng bổ ích của tam giác đều và sau đây chúng ta cùng luyện tập để có thể hiểu hơn và nhớ bài hơn.