Bài 12 trang 71 sgk hình học 10 nâng cao
\(\eqalign{& P{A^2} + P{B^2} + P{C^2} + P{D^2} \cr&= {(\overrightarrow {PA} - \overrightarrow {PB} )^2} + {(\overrightarrow {PC} - \overrightarrow {PD} )^2} \cr&+ 2.\overrightarrow {PA} .\,\overrightarrow {PB} + 2\overrightarrow {PC} .\,\overrightarrow {PD} \cr&= {\overrightarrow {BA} ^2} + {\overrightarrow {DC} ^2} + 2\left( {\overrightarrow {PA} .\overrightarrow {PB} + \overrightarrow {PC} .\overrightarrow {PD} } \right) \cr&= A{B^2} + C{D^2} + 2\left( {O{P^2} - {R^2} + O{P^2} - {R^2}} \right)\cr&= A{B^2} + C{D^2} + 2(2P{O^2} - 2{R^2}) \cr& =8{R^2} - 4O{P^2}+ 4P{O^2} - 4{R^2} \cr& = 4{R^2} \cr} \)
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
Cho đường tròn (O; R)và một điểm P cố định ở bên trong đường tròn đó. Hai dây cung thay đổi AB và CD luôn đi qua P và vuông góc với nhau. LG a Chứng minh rằng \(A{B^2} + C{D^2}\)không đổi. Lời giải chi tiết: Gọi I và J theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. Theo định lí quan hệ giữa đường kính và dây ta có: OI AB; OJ CD; Do đó tứ giác OIPJ là hình chữ nhật. Ta có: AB2+ CD2= (2AI)2+ (2DJ)2 = 4 AI2+ 4DJ2= 4. (AO2 OI2) + 4(DO2 OJ2) =4. (R2 OI2) + 4(R2 OJ2) = 4( 2R2 OI2 OJ2) = 4.[2R2 (OI2+ OJ2) ] = 4. ( 2R2 OP2) ( vì OI2+ OJ2= OI2+ IP2= OP2) = 8R2 4. OP2 (không đổi vì R không đổi, O và P cố định nên OP không đổi) LG b Chứng minh rằng \(P{A^2} + P{B^2} + P{C^2} + P{D^2}\)không phụ thuộc vào vị trí của điểm P. Lời giải chi tiết: Phương tích của điểm P với đường tròn: \(\begin{array}{l}{P_{P/\left( O \right)}} = \overrightarrow {PA} .\overrightarrow {PB} = O{P^2} - {R^2}\\{P_{P/\left( O \right)}} = \overrightarrow {PC} .\overrightarrow {PD} = O{P^2} - {R^2}\end{array}\) Ta có \(\eqalign{ Vậy \(P{A^2} + P{B^2} + P{C^2} + P{D^2}\) không phụ thuộc vào vị trí của điểm P.
|