Bài 12 trang 71 sgk hình học 10 nâng cao

\(\eqalign{& P{A^2} + P{B^2} + P{C^2} + P{D^2} \cr&= {(\overrightarrow {PA} - \overrightarrow {PB} )^2} + {(\overrightarrow {PC} - \overrightarrow {PD} )^2} \cr&+ 2.\overrightarrow {PA} .\,\overrightarrow {PB} + 2\overrightarrow {PC} .\,\overrightarrow {PD} \cr&= {\overrightarrow {BA} ^2} + {\overrightarrow {DC} ^2} + 2\left( {\overrightarrow {PA} .\overrightarrow {PB} + \overrightarrow {PC} .\overrightarrow {PD} } \right) \cr&= A{B^2} + C{D^2} + 2\left( {O{P^2} - {R^2} + O{P^2} - {R^2}} \right)\cr&= A{B^2} + C{D^2} + 2(2P{O^2} - 2{R^2}) \cr& =8{R^2} - 4O{P^2}+ 4P{O^2} - 4{R^2} \cr& = 4{R^2} \cr} \)
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
  • LG a
  • LG b

Cho đường tròn (O; R)và một điểm P cố định ở bên trong đường tròn đó. Hai dây cung thay đổi AB và CD luôn đi qua P và vuông góc với nhau.

LG a

Chứng minh rằng \(A{B^2} + C{D^2}\)không đổi.

Lời giải chi tiết:

Bài 12 trang 71 sgk hình học 10 nâng cao

Gọi I và J theo thứ tự là trung điểm của AB và CD.

Theo định lí quan hệ giữa đường kính và dây ta có:

OI AB; OJ CD;

Do đó tứ giác OIPJ là hình chữ nhật.

Ta có:

AB2+ CD2= (2AI)2+ (2DJ)2

= 4 AI2+ 4DJ2= 4. (AO2 OI2) + 4(DO2 OJ2)

=4. (R2 OI2) + 4(R2 OJ2)

= 4( 2R2 OI2 OJ2)

= 4.[2R2 (OI2+ OJ2) ]

= 4. ( 2R2 OP2) ( vì OI2+ OJ2= OI2+ IP2= OP2)

= 8R2 4. OP2

(không đổi vì R không đổi, O và P cố định nên OP không đổi)

LG b

Chứng minh rằng \(P{A^2} + P{B^2} + P{C^2} + P{D^2}\)không phụ thuộc vào vị trí của điểm P.

Lời giải chi tiết:

Phương tích của điểm P với đường tròn:

\(\begin{array}{l}{P_{P/\left( O \right)}} = \overrightarrow {PA} .\overrightarrow {PB} = O{P^2} - {R^2}\\{P_{P/\left( O \right)}} = \overrightarrow {PC} .\overrightarrow {PD} = O{P^2} - {R^2}\end{array}\)

Ta có

\(\eqalign{
& P{A^2} + P{B^2} + P{C^2} + P{D^2} \cr&= {(\overrightarrow {PA} - \overrightarrow {PB} )^2} + {(\overrightarrow {PC} - \overrightarrow {PD} )^2} \cr&+ 2.\overrightarrow {PA} .\,\overrightarrow {PB} + 2\overrightarrow {PC} .\,\overrightarrow {PD} \cr
&= {\overrightarrow {BA} ^2} + {\overrightarrow {DC} ^2} + 2\left( {\overrightarrow {PA} .\overrightarrow {PB} + \overrightarrow {PC} .\overrightarrow {PD} } \right) \cr&= A{B^2} + C{D^2} + 2\left( {O{P^2} - {R^2} + O{P^2} - {R^2}} \right)\cr&= A{B^2} + C{D^2} + 2(2P{O^2} - 2{R^2}) \cr
& =8{R^2} - 4O{P^2}+ 4P{O^2} - 4{R^2} \cr
& = 4{R^2} \cr} \)

Vậy \(P{A^2} + P{B^2} + P{C^2} + P{D^2}\) không phụ thuộc vào vị trí của điểm P.