Bài 2 giá trị lượng giác của một cung

11:09:2610/03/2021

Bài viết này chúng ta cùng tìm hiểu về giá trị lượng giác của cung α? các công thức lượng giác cơ bản và giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt. Vận dụng lý thuyết giải một số bài tập cơ bản.

A. Lý thuyết Giá trị lượng giác của một cung

I. Giá trị lượng giác của cung α.

Bài 2 giá trị lượng giác của một cung
1. Định nghĩa

• Trên đường tròn lượng giác cung 

Bài 2 giá trị lượng giác của một cung
 có số đo sđ 
Bài 2 giá trị lượng giác của một cung
 thì:

- Tung độ của M gọi là sin của α ký hiệu sinα: 

Bài 2 giá trị lượng giác của một cung

- Hoành độ của M gọi là cosin của α ký hiệu cosα: 

Bài 2 giá trị lượng giác của một cung

- Nếu cosα ≠ 0, ta gọi là tang của α, ký hiệu tanα là tỉ số: 

Bài 2 giá trị lượng giác của một cung

- Nếu sinα ≠ 0, ta gọi là cotang của α, ký hiệu cotα là tỉ số: 

Bài 2 giá trị lượng giác của một cung

⇒ Các giá trị sinα, cosα, tanα, cotα được gọi là các giá trị lượng giác của cung α.

> Lưu ý: vì sđ

Bài 2 giá trị lượng giác của một cung
 = sđ
Bài 2 giá trị lượng giác của một cung
 nên định nghĩa các giá trị lượng giác của cung lượng giác α cũng là giá trị lượng giác của góc lượng giác α.

2. Hệ quả

a) sinα và cosα xác định với mọi α ∈ R, hơn nữa, ta có:

 sin(α + k2π) = sinα, ∀k ∈ Z;

 cos(α + k2π) = cosα, ∀k ∈ Z;

b) Vì 

Bài 2 giá trị lượng giác của một cung
 nên:

 

Bài 2 giá trị lượng giác của một cung

 

Bài 2 giá trị lượng giác của một cung

c) tanα xác định với mọi 

Bài 2 giá trị lượng giác của một cung
  

 cotα xác định với mọi 

Bài 2 giá trị lượng giác của một cung

 

Bài 2 giá trị lượng giác của một cung

 

Bài 2 giá trị lượng giác của một cung

d) Bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác

Bài 2 giá trị lượng giác của một cung
e) Bảng giá trị lượng giác các cung đặc biệt

Bài 2 giá trị lượng giác của một cung

II. Quan hệ giữa các giá trị lượng giác

1. Công thức lượng giác cơ bản

- Đối với các giá trị lượng giác, ta có các hằng đẳng thức sau:

 

Bài 2 giá trị lượng giác của một cung

 

Bài 2 giá trị lượng giác của một cung

 

Bài 2 giá trị lượng giác của một cung

Bài 2 giá trị lượng giác của một cung

2. Giá trị lượng giác của các cung liên quan đặc biệt

a) Cung đối nhau: α và -α

 cos(-α) = cosα

 sin(-α) = -sinα

 tan(-α) = -tanα

 cot(-α) = -cotα

b) Cung bù nhau: α và π-α

 sin(π-α) = sinα

 cos(π-α) = -cosα

 tan(π-α) = -tanα

 cot(π-α) = -cotα.

c) Cung hơn kém nhau π: α và α+π

 sin(α+π) = -sinα

 cos(α+π) = -cosα

 tan(α+π) = tanα

 cot(α+π) = cotα.

d) Cung phụ nhau π: α và π/2 - α

 

Bài 2 giá trị lượng giác của một cung

 

Bài 2 giá trị lượng giác của một cung

 

Bài 2 giá trị lượng giác của một cung

 

Bài 2 giá trị lượng giác của một cung

> Gợi ý cách ghi nhớ: 

- Chúng ta thấy: Trong cung đối chỉ hàm cos có dấu dươngcung bù chỉ hàm sin có dấu dương, cung phụ tất cả dương nhưng chéo sin-cos tan-cot; hơn kém nhau pi thì tan và cot dương; nên cách nhớ như sau:  cos đối, sin bù, phụ chéo, khác pi (π) tan (Cot)

B. Bài tập vận dụng Giá trị lượng giác của một cung

Bài 1 trang 148 SGK Đại Số 10: Có cung α nào mà sinα nhận các giá trị tương ứng sau đây không?

a) -0,7;         b) 4/3;          c) –√2         d) (√5)/2;

* Lời giải:

Ta có: -1 ≤ sin α ≤ 1 với mọi α ∈ R.

a) Vì -1 < –0,7 < 1 nên tồn tại cung α thỏa mãn sinα = -0,7.

+ Cách dựng:

 Trên trục tung xác định kiểm K sao cho Từ K kẻ đường thẳng vuông góc với trục tung cắt đường tròn lượng giác tại hai điểm M1 và M2.

Bài 2 giá trị lượng giác của một cung
 Khi đó với α = sđ
Bài 2 giá trị lượng giác của một cung
 hoặc α = sđ
Bài 2 giá trị lượng giác của một cung
 khi đó, theo định nghĩa 
Bài 2 giá trị lượng giác của một cung

Bài 2 giá trị lượng giác của một cung

b) Vì 4/3 > 1 nên không tồn tại α để sinα = 4/3.

c) Vì (-√2) < -1 nên không tồn tại α để sinα = -√2.

d) Vì (√5)/2 > 1 nên không tồn tại α để sinα = √5/2.

Bài 2 trang 148 SGK Đại Số 10: Các đẳng thức sau đây có thể đồng thời xảy ra không?

a) 

Bài 2 giá trị lượng giác của một cung
 và 
Bài 2 giá trị lượng giác của một cung

b) 

Bài 2 giá trị lượng giác của một cung
 và 
Bài 2 giá trị lượng giác của một cung

c) sinα = 0,7 và cosα = 0,3

* Lời giải:

- Vận dụng công thức: sin2α + cos2α = 1, ∀α ∈ R.

a)

Bài 2 giá trị lượng giác của một cung
 và 
Bài 2 giá trị lượng giác của một cung

- Ta có: 

Bài 2 giá trị lượng giác của một cung
Bài 2 giá trị lượng giác của một cung

Do đó KHÔNG TỒN TẠI α ∈ R để 

Bài 2 giá trị lượng giác của một cung
 và 
Bài 2 giá trị lượng giác của một cung

b) 

Bài 2 giá trị lượng giác của một cung
 và 
Bài 2 giá trị lượng giác của một cung

- Ta có: 

Bài 2 giá trị lượng giác của một cung

Do đó TỒN TẠI α ∈ R để 

Bài 2 giá trị lượng giác của một cung
 và 
Bài 2 giá trị lượng giác của một cung

c) sinα = 0,7 và cosα = 0,3

- Ta có: 0,72 + 0,32 = 0,49 + 0,09 = 0,58 ≠ 1

Do đó KHÔNG TỒN TẠI α ∈ R để sinα = 0,7 và cosα = 0,3

Bài 3 trang 148 SGK Đại Số 10: Cho 0 < α < π/2. Xác định dấu của các giá trị lượng giác.

a) sin(α – π)          b) 

Bài 2 giá trị lượng giác của một cung

c) 

Bài 2 giá trị lượng giác của một cung
          d) 
Bài 2 giá trị lượng giác của một cung

* Lời giải:

- Vì 0 < α < π/2 (góc phần tư thứ I) nên sin α > 0, cos α > 0, tan α > 0, cot α > 0.

• Cách 1: Dựa vào mối quan hệ giữa các giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt

a) sin(α – π) = -sin(π – α) (áp dụng công thức sin(-α) = -sinα)

= -sinα (áp dụng công thức sin (π – α) = sinα).

 b) 

Bài 2 giá trị lượng giác của một cung
Bài 2 giá trị lượng giác của một cung
=-sinα

(áp dụng công thức cos(π + α)=-cosα và công thức cos(π/2 - α) = sinα)

Mà sinα > 0 nên suy ra 

Bài 2 giá trị lượng giác của một cung
<0

c) tan (α + π) = tan α.

Mà tan α > 0 nên tan (α + π) > 0.

d) 

Bài 2 giá trị lượng giác của một cung
 
Bài 2 giá trị lượng giác của một cung

(áp dụng công thức  

Bài 2 giá trị lượng giác của một cung
và công thức tan(-α) = -tan α).

Mà  tanα > 0 nên 

Bài 2 giá trị lượng giác của một cung
<0

* Cách 2: Dựa vào biểu diễn cung trên đường tròn lượng giác. Vì 0 < α < π/2 nên ta biểu diễn α = sđ 

Bài 2 giá trị lượng giác của một cung
 như trên hình vẽ.

Bài 2 giá trị lượng giác của một cung

a) α – π = sđ

Bài 2 giá trị lượng giác của một cung
 nên suy ra  
Bài 2 giá trị lượng giác của một cung

Các em làm tương tự các câu còn lại.

Bài 4 trang 148 SGK Đại Số 10: Tính các giá trị lượng giác của góc α nếu

a) 

Bài 2 giá trị lượng giác của một cung
 và 
Bài 2 giá trị lượng giác của một cung

b) 

Bài 2 giá trị lượng giác của một cung

c) 

Bài 2 giá trị lượng giác của một cung

d) 

Bài 2 giá trị lượng giác của một cung

* Lời giải:

a) 

Bài 2 giá trị lượng giác của một cung
 và 
Bài 2 giá trị lượng giác của một cung

- Áp dụng công thức: sin2α + cos2α = 1

 

Bài 2 giá trị lượng giác của một cung
 
Bài 2 giá trị lượng giác của một cung

Mà 0<α<π/2 nên sinα > 0 nên 

Bài 2 giá trị lượng giác của một cung

+ Ta có:  

Bài 2 giá trị lượng giác của một cung
Bài 2 giá trị lượng giác của một cung

+ Ta có: 

Bài 2 giá trị lượng giác của một cung

b) Vận dụng công thức: sin2α + cos2α = 1

Tính tương tự câu a)

c) Vận dụng công thức: 

Bài 2 giá trị lượng giác của một cung

d) Vận dụng công thức: 

Bài 2 giá trị lượng giác của một cung

Bài 5 trang 148 SGK Đại Số 10: Tính α, biết

a) cosα = 1;          b) cosα = -1;          c) cosα = 0

d) sinα = 1;         e) sinα = -1;          f) sinα = 0

* Lời giải:

- Dựa vào đường tròn lượng giác:

Bài 2 giá trị lượng giác của một cung
a) cosα = 1 ⇔ M≡A ⇔ α = k2π, k ∈ Z.

b) cosα = -1 ⇔ M≡A' ⇔ α = π + k2π = (2k + 1)π, k ∈ Z.

c) cosα = 0 ⇔ M≡B hoặc M≡B' ⇔ α = π/2 + m2π hoặc α = -π/2 + n2π 

 ⇔ α = π/2 + kπ, k ∈ Z.

d) sinα = 1 ⇔ M≡B ⇔ α = π/2 + k2π, k ∈ Z.

e) sinα = -1 ⇔ M≡B' ⇔ α = -π/2 + k2π = (2k+1)π, k ∈ Z.

f) sinα = 0 ⇔ M≡A hoặc M≡A' ⇔ α = m2π hoặc α = (2n + 1)π 

 ⇔ α = kπ, k ∈ Z.

Tóm lại, với bài viết về Giá trị lượng giác của một cung các em có rất nhiều nội dung cần phải ghi nhớ, đó là các công thức lượng giác cơ bản; giá trị lượng giác của các cung đặc biệt (cung đối nhau, cung bù, cung phụ, cung hơn kém pi,..).