\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 4x = \frac{\pi }{5} + k2\pi \\ 4x = \pi - \frac{\pi }{5} + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{{20}} + k\frac{\pi }{2}\\ x = \frac{\pi }{5} + k\frac{\pi }{2} \end{array} \right. \end{array}\]
- Vì \[- {1 \over 2} =- \sin {\pi \over 6} = \sin \left[ { - {\pi \over 6}} \right]\] nên
\[\sin \left[ {{{x + \pi } \over 5}} \right] = - {1 \over 2} \\ \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{{{x + \pi } \over 5} = - {\pi \over 6} + k2\pi } \cr {{{x + \pi } \over 5} = \pi + {\pi \over 6} + k2\pi } \cr} } \right.\\ \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = - {{11\pi } \over 6} + k10\pi } \cr {x = {{29\pi } \over 6} + k10\pi } \cr} } \right.\,\,\left[ {k \in\mathbb Z} \right]\]
- Ta có:
\[\cos {x \over 2} = \cos \sqrt 2 \\ \Leftrightarrow {x \over 2} = \pm \sqrt 2 + k2\pi \\ \Leftrightarrow x = \pm 2\sqrt 2 + k4\pi \,\left[ {k \in\mathbb Z} \right]\]
- Vì \[0 < {2 \over 5} < 1\] nên có số α sao cho \[\cos \alpha = {2 \over 5}.\]. Do đó:
\[\cos \left[ {x + {\pi \over {18}}} \right] = {2 \over 5} \\ \Leftrightarrow \cos \left[ {x + {\pi \over {18}}} \right] = \cos \alpha \\ \Leftrightarrow x = \pm \alpha - {\pi \over {18}} + k2\pi ,k \in \mathbb Z\]
2. Giải bài 15 trang 28 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao
- Vẽ đồ thị của hàm số y = sinx rồi chỉ ra trên đồ thị đó các điểm có hoành độ thuộc khoảng [−π; 4π] là nghiệm của mỗi phương trình sau:
1. \[\sin x = - {{\sqrt 3 } \over 2}\]
2. sin x = 1
- Cũng câu hỏi tương tự cho hàm số y = cosx đối với mỗi phương trình sau:
1. \[\cos x = {1 \over 2}\]
2. cos x = -1
Phương pháp giải:
- - Vẽ đồ thị hàm số y = sinx trên khoảng [−π; 4π].
- Phương trình sin x = a
+ Nếu |a| > 1 phương trình vô nghiệm.
+ Nếu |a| ≤ 1 khi đó phương trình có nghiệm là: \[x=\arcsin a+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\] và \[x=\pi-\arcsin a+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\].
- - Vẽ đồ thị hàm số y = cosx trên khoảng [−π; 4π].
- Phương trình cos x = a
+ Nếu |a| > 1 phương trình vô nghiệm.
+ Nếu |a| ≤ 1 khi đó phương trình có nghiệm là: \[x=\pm\arccos a+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\]
Hướng dẫn giải:
- y = sin x
\[1.\,\,\sin x = - {{\sqrt 3 } \over 2} \\\Leftrightarrow \sin x = \sin \left[ { - {\pi \over 3}} \right] \\ \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = - {\pi \over 3} + k2\pi } \cr {x = {{4\pi } \over 3} + k2\pi } \cr} } \right.\]
Với \[x = - {\pi \over 3} + k2\pi \,\text{ và }\,x \in \left[ { - \pi ;4\pi } \right]\] ta có nghiệm:
\[{x_1} = - {\pi \over 3};\,{x_2} = {{5\pi } \over 3};\,{x_3} = {{11\pi } \over 3}\]
Với \[x = {{4\pi } \over 3} + k2\pi \,\text{ và }\,x \in \left[ { - \pi ;4\pi } \right]\] ta có nghiệm:
\[{x_4} = - {{2\pi } \over 3};\,{x_5} = {{4\pi } \over 3};\,{x_6} = {{10\pi } \over 3}\]
2. \[\sin x = 1 \Leftrightarrow x = {\pi \over 2} + k2\pi\]
Với \[x = {\pi \over 2} + k2\pi \,và\,x \in \left[ { - \pi ;4\pi } \right]\] ta có nghiệm:
\[{x_1} = {\pi \over 2};\,{x_2} = {{5\pi } \over 2}.\]
- y = cos x
Nghiệm của phương trình \[\cos x=\dfrac12\] thuộc khoảng [−π; 4π] là:
\[{x_1} = - {\pi \over 3};\,{x_2} = {\pi \over 3};\,{x_3} = {{5\pi } \over 3};\,{x_4} = {{7\pi } \over 3};\,{x_5} = {{11\pi } \over 3}\]
Nghiệm của phương trình cosx = −1 thuộc khoảng [−π; 4π] là:
\[x_1=-\pi; \ x_2=\pi; \ x_3=3\pi\]
3. Giải bài 16 trang 28 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao
Tìm nghiệm của các phương trình sau trong khoảng đã cho:
- \[\sin 2x = - {1 \over 2}\,\text{ với }\,0 < x < \pi\]
- \[\cos \left[ {x - 5} \right] = {{\sqrt 3 } \over 2}\,\text{ với }\, - \pi < x < \pi\]
Phương pháp giải:
- - Phương trình sin x = a
+ Nếu |a| > 1 phương trình vô nghiệm.
+ Nếu |a| ≤ 1 khi đó phương trình có nghiệm là: \[x=\arcsin a+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\] và \[x=\pi-\arcsin a+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\].
- Tìm nghiệm thỏa điều kiện 0 < x < π và kết luận.
- - Phương trình cos x = a
+ Nếu |a| > 1 phương trình vô nghiệm.
+ Nếu |a| ≤ 1 khi đó phương trình có nghiệm là: \[x=\pm\arccos a+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\]
- Tìm nghiệm thỏa điều kiện -π < x < π và kết luận.
Hướng dẫn giải:
- Ta có:
\[\sin 2x = - {1 \over 2} \Leftrightarrow \sin 2x = \sin \left[ { - {\pi \over 6}} \right] \\\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{2x = - {\pi \over 6} + k2\pi } \cr {2x = {{7\pi } \over 6} + k2\pi } \cr} } \right.\\ \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = - {\pi \over {12}} + k\pi } \cr {x = {{7\pi } \over {12}} + k\pi } \cr} } \right.\,\,\left[ {k \in \mathbb Z} \right]\]
Với điều kiện 0 < x < π ta có:
\[0 < - {\pi \over {12}} + k\pi < \pi \Leftrightarrow {1 \over {12}} < k < {{13} \over {12}}\,,\,k \in\mathbb Z\]
Nên k = 1, khi đó ta có nghiệm \[x = {{11\pi } \over {12}}\]
\[0 < {{7\pi } \over {12}} + k\pi < \pi \Leftrightarrow - {7 \over {12}} < k < {5 \over {12}}\,,\,k \in\mathbb Z\]
Nên k = 0, khi đó ta có nghiệm \[x = {{7\pi } \over {12}}\]
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm trong khoảng [0; π] là:
\[x = {{7\pi } \over {12}}\,\text{ và }\,x = {{11\pi } \over {12}}\]
- Ta có:
\[\cos \left[ {x - 5} \right] = {{\sqrt 3 } \over 2} \\ \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x - 5 = {\pi \over 6} + k2\pi } \cr {x - 6 = - {\pi \over 6} + 5 + k2\pi } \cr} } \right. \\ \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = {\pi \over 6} + 5 + k2\pi } \cr {x = - {\pi \over 6} + 5 + k2\pi } \cr} } \right.\]
Ta tìm k để điều kiện –π < x < π được thỏa mãn.
Xét họ nghiệm thứ nhất:
\[\eqalign{ & - \pi < {\pi \over 6} + 5 + k2\pi \Leftrightarrow - 7\pi - 30 < 12k\pi < 5\pi - 30 \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow - {7 \over {12}} - {{30} \over {12\pi }} < k < {5 \over {12}} - {{30} \over {12\pi }} \cr & Vì\, - 1,38 < - {7 \over {12}} - {{30} \over {12\pi }} < k < {5 \over {12}} - {{30} \over {12\pi }} < - 0,37\,,\,k \in\mathbb Z\,\text{ nên }\, \cr & \,\,\,\,\, - 1,38 < k < - 0,37 \cr}\]
Chỉ có một giá trị k nguyên thỏa mãn các điều kiện đó là k = −1.
Ta có nghiệm thứ nhất của phương trình là \[x = {\pi \over 6} + 5 - 2\pi = 5 - {{11\pi } \over 6}\]
Tương tự, xét họ nghiệm thứ hai:
\[- \pi < - {\pi \over 6} + 5 + k2\pi < \pi \\ \Leftrightarrow - 5\pi - 30 < 12k\pi < 7\pi - 30.\]
Vậy k = −1
Ta có nghiệm thứ hai của phương trình là \[x = - {\pi \over 6} + 5 - 2\pi = 5 - {{13\pi } \over 6}\]
Vậy \[x = 5 - {{11\pi } \over 6}\,\text{ và }\,x = 5 - {{13\pi } \over 6}\]
4. Giải bài 17 trang 29 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao
Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A ở vĩ độ 40˚ bắc trong ngày thứ t của một năm không nhuận được cho bởi hàm số
\[ d\left[ t \right] = 3\sin \left[ {{\pi \over {182}}\left[ {t - 80} \right]} \right] + 12\] với \[t \in Z\] và \[0 < t \le 365.\]
- Thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày nào trong năm?
- Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có ít giờ có ánh sáng mặt trời nhất?
- Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất?
Phương pháp giải:
- Giải phương trình d[t] = 12 và kết luận.
- Giải phương trình \[ \sin \left[ {{\pi \over {182}}\left[ {t - 80} \right]} \right] = - 1\] và kết luận.
- Giải phương trình \[ \sin \left[ {{\pi \over {182}}\left[ {t - 80} \right]} \right] = 1\] và kết luận.
Hướng dẫn giải:
Ta giải phương trình d[t] = 12 với \[t \in\mathbb Z\] và 0 < t ≤ 365
Ta có d[t] = 12
\[ \Leftrightarrow 3\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left[ {t - 80} \right]} \right] + 12 = 12 \\ \Leftrightarrow \sin \left[ {{\pi \over {182}}\left[ {t - 80} \right]} \right] = 0 \\ \Leftrightarrow {\pi \over {182}}\left[ {t - 80} \right] = k\pi \\ \Leftrightarrow t - 80 = 182k \\ \Leftrightarrow t = 182k + 80\,\left[ {\,k \in\mathbb Z} \right]\]
Ta lại có:
\[ 0 < 182k + 80 \le 365 \\ \Leftrightarrow - {{80} \over {182}} < k \le {{285} \over {182}} \\ \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{k = 0} \cr {k = 1} \cr} } \right.\]
Vậy thành phố A có đúng 12 giờ ánh sáng mặt trời vào ngày thứ 80 [ứng với k = 0 ] và ngày thứ 262 [ứng với k = 1 ] trong năm.
- Do \[\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left[ {t - 80} \right]} \right] \ge - 1 \Rightarrow d\left[ t \right] \le 3.\left[ { - 1} \right] + 12 = 9\] với mọi x
Vậy thành phố A có ít giờ ánh sáng mặt trời nhất khi và chỉ khi:
\[ \sin \left[ {{\pi \over {182}}\left[ {t - 80} \right]} \right] = - 1 \text{ với } \,t \in \mathbb Z\,\text { và }\,0 < t \le 365\]
\[\Leftrightarrow {\pi \over {182}}\left[ {t - 80} \right] = - {\pi \over 2} + k2\pi \\ \Leftrightarrow t - 80 = 182\left[ { - \frac{1}{2} + 2k} \right] \\ \Leftrightarrow t = 364k - 11\,\left[ {\,k \in\mathbb Z} \right]\]
Mặt khác, \[0 < 364k - 11 \le 365 \Leftrightarrow {{11} \over {364}} < k \le {{376} \over {364}} \Leftrightarrow k = 1\] [do k nguyên]
Vậy thành phố A có ít giờ ánh sáng mặt trời nhất [9 giờ] khi t = 353, tức là vào ngày thứ 353 trong năm.
- Vì \[\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left[ {t - 80} \right]} \right] \le 1 \Rightarrow d\left[ t \right] \le 3.1 + 12 = 15\]
Nên d[t] đạt GTLN khi \[\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left[ {t - 80} \right]} \right] = 1\]
Ta phải giải phương trình:
\[ \eqalign{ & \sin \left[ {{\pi \over {182}}\left[ {t - 80} \right]} \right] = 1\cr &\text{ với }\,t \in\mathbb Z\,\text{ và }\,0 < t \le 365 \cr & \Leftrightarrow {\pi \over {182}}\left[ {t - 80} \right] = {\pi \over 2} + k2\pi \cr&\Leftrightarrow t = 364k + 171 \cr & 0 < 364k + 171 \le 365 \cr&\Leftrightarrow - {{171} \over {364}} < k \le {{194} \over {364}} \Leftrightarrow k = 0 \cr} \]
Vậy thành phố A có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất [ 15 giờ] vào ngày thứ 171 trong năm.
5. Giải bài 18 trang 29 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao
Giải các phương trình sau:
- \[\tan 3x = \tan {{3\pi } \over 5}\]
- \[ \tan[x – 15^0] = 5\]
- \[ \tan \left[ {2x - 1} \right] = \sqrt 3\]
- \[ \cot 2x = \cot \left[ { - {1 \over 3}} \right]\]
- \[ \cot \left[ {{x \over 4} + 20^\circ } \right] = - \sqrt 3\]
- \[ \cot 3x = \tan {{2\pi } \over 5}\]
Phương pháp giải:
- Phương trình tanx = tan α có nghiệm là x = α + kπ, k ∈ Z
- Phương trình tanx = tan βo có nghiệm là x= βo + k180o, k ∈ Z
Hướng dẫn giải:
- \[\tan 3x = \tan {{3\pi } \over 5} \]
\[\\ \Leftrightarrow 3x = {{3\pi } \over 5} + k\pi\]
\[ \Leftrightarrow x = {\pi \over 5} + k{\pi \over 3},k \in\mathbb Z\]
- Ta có:
\[ \begin{array}{l} \tan \left[ {x - {{15}^0}} \right] = 5\\ \Leftrightarrow x - {15^0} = \arctan 5 + k{180^0}\\ \Leftrightarrow x = {15^0} + \arctan 5 + k{180^0},k \in\mathbb Z \end{array}\]
- \[\tan \left[ {2x - 1} \right] = \sqrt 3\]
\[ \eqalign{ & \tan \left[ {2x - 1} \right] = \sqrt 3 \cr&\Leftrightarrow \tan \left[ {2x - 1} \right] = \tan {\pi \over 3} \cr & \Leftrightarrow 2x - 1 = {\pi \over 3} + k\pi \cr&\Leftrightarrow x = {\pi \over 6} + {1 \over 2} + k{\pi \over 2};k \in\mathbb Z \cr}\]
- \[ \cot 2x = \cot \left[ { - {1 \over 3}} \right]\]
\[ \cot 2x = \cot \left[ { - {1 \over 3}} \right] \\ \Leftrightarrow 2x = - {1 \over 3} + k\pi \\ \Leftrightarrow x = - {1 \over 6} + k{\pi \over 2},k \in\mathbb Z\]
- \[ \cot \left[ {{x \over 4} + 20^\circ } \right] = - \sqrt 3\]
\[ \eqalign{ & \Leftrightarrow \cot \left[ {{x \over 4} + 20^\circ } \right] = \cot \left[ { - 30^\circ } \right] \cr & \Leftrightarrow {x \over 4} + 20^\circ = - 30^\circ + k180^\circ \cr&\Leftrightarrow x = - 200^\circ + k720^\circ,k \in\mathbb Z \cr}\]
- \[ \cot 3x = \tan {{2\pi } \over 5}\]
\[ \Leftrightarrow \cot 3x = \cot \left[ {{\pi \over 2} - {{2\pi } \over 5}} \right] = \cot \frac{\pi }{{10}} \\ \Leftrightarrow 3x = {\pi \over {10}} + k\pi \\ \Leftrightarrow x = {\pi \over {30}} + k.{\pi \over 3},k \in\mathbb Z\]
6. Giải bài 19 trang 29 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao
Vẽ đồ thị của hàm số y = tan x rồi chỉ ra trên đồ thị đó có các điểm có hoành độ thuộc khoảng [-π ; π] là nghiệm của mỗi phương trình sau
1. tan x = -1
2. tan x = 0
Cũng câu hỏi tương tự cho hàm số y = cot x và cho mỗi phương trình sau
1. \[ \cot x = {{\sqrt 3 } \over 3}\]
2. cot x = 1
Phương pháp giải:
- Vẽ đồ thị hàm số y = tan x trên khoảng [-π ; π] và tìm nghiệm của mỗi phương trình dựa trên đồ thị đó.
- Vẽ đồ thị hàm số y = cot x trên khoảng [-π ; π] và tìm nghiệm của mỗi phương trình dựa trên đồ thị đó.
Hướng dẫn giải:
- Đồ thị của hàm số y = tan x
1. Phương trình tan x = -1 có nghiệm thuộc khoảng [-π; π] là:
\[ x = - {\pi \over 4}\,\text{ và }\,x = {{3\pi } \over 4}\]
2. Phương trình tan x = 0 có nghiệm thuộc khoảng [-π; π] là x = 0
- Đồ thị của hàm số y = cot x
1. Phương trình có nghiệm thuộc khoảng [-π; π] là:
\[ x = {\pi \over 3}\,\text{ và }\,x = - {{2\pi } \over 3}\]
2. Phương trình cot x = 1 có nghiệm thuộc khoảng [-π; π] là:
\[ x = {\pi \over 4}\,\text{ và }\,x = - {{3\pi } \over 4}\]
7. Giải bài 20 trang 29 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao
Tìm nghiệm của các phương trình sau trên khoảng đã cho:
- \[\tan \left[ {2x - {{15}^0}} \right] = 1\] với \[ - {180^0} < x < {90^0}\]
- \[ \cot 3x = - {1 \over {\sqrt 3 }}\,\text{ với }\, - {\pi \over 2} < x < 0.\]
Phương pháp giải:
- Phương trình tan x = tan α có nghiệm là x = α + kπ, k ∈ Z
- Phương trình tan x = tan βo có nghiệm là x= βo + k180o, k ∈ Z
Hướng dẫn giải:
- \[ \tan \left[ {2x-{{15}^0}} \right] = 1\]
\[ \Leftrightarrow 2x - {15^0} = {45^0} + k{180^0} \\ \Leftrightarrow {\rm{ }}2x{\rm{ }} = {\rm{ }}{15^0} + {\rm{ }}{45^0} + {\rm{ }}k{180^0} \\ \Leftrightarrow {\rm{ }}x{\rm{ }} = {\rm{ }}{30^0} + {\rm{ }}k{90^0} \\ - {180^0} < {\rm{ }}{30^0} + {\rm{ }}k{90^0} < {\rm{ }}{90^0} \\ \begin{array}{l} \Leftrightarrow - {210^0} < k{90^0} < {60^0}\\ \Leftrightarrow - \frac{7}{3} < k < \frac{2}{3} \end{array}\]
\[ \Leftrightarrow k \in \left\{ { - 2; - 1;0} \right\}\] [do k nguyên]
Vậy các nghiệm của phương trình là \[x = - {150^0},{\rm{ }}x{\rm{ }} = - {60^0} \] và \[ x{\rm{ }} = {\rm{ }}{30^0}\]
- \[ \cot 3x = - {1 \over {\sqrt 3 }}\]
\[ \begin{array}{l} \Leftrightarrow \cot 3x = \cot \left[ { - \frac{\pi }{3}} \right]\\ \Leftrightarrow 3x = - \frac{\pi }{3} + k\pi \\ \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{9} + \frac{{k\pi }}{3} \end{array}\]
Do \[- {\pi \over 2} < x < 0\] nên:
\[ \begin{array}{l} - \frac{\pi }{2} < - \frac{\pi }{9} + \frac{{k\pi }}{3} < 0\\ \Leftrightarrow - \frac{{11\pi }}{{18}} < \frac{{k\pi }}{3} < \frac{\pi }{9}\\ \Leftrightarrow - \frac{{11}}{6} < k < \frac{1}{3} \end{array}\]
Vì k nguyên nên k = -1, k = 0.
Vậy các nghiệm của phương trình là \[x = - {{4\pi } \over 9}\,\text{ và }\,x = - {\pi \over 9}.\]
8. Giải bài 21 trang 29 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao
Khi giải phương trình \[\tan x = - \sqrt 3 \]; bạn Phương nhận thấy \[ - \sqrt 3 = \tan \left[ { - {\pi \over 3}} \right]\] và viết
\[ \tan x = - \sqrt 3 \\ \Leftrightarrow \tan x = \tan \left[ { - {\pi \over 3}} \right] \\ \Leftrightarrow x = - {\pi \over 3} + k\pi.\]
Cũng phương trình đó, bạn Quyên lấy \[ - \sqrt 3 = \tan {{2\pi } \over 3}\] nên giải như sau:
\[ \tan x = - \sqrt 3 \\ \Leftrightarrow \tan x = \tan {{2\pi } \over 3} \\ \Leftrightarrow x = {{2\pi } \over 3} + k\pi.\]
Theo em, ai giải đúng, ai giải sai?
Phương pháp giải:
- Phương trình tan x = tan α có nghiệm là x = α + kπ, k ∈ Z.
- Kiểm tra cách giải của hai bạn và trả lời câu hỏi.
Hướng dẫn giải:
Cả hai bạn đều giải đúng.
Hai họ nghiệm chỉ khác nhau về hình thức, thực chất chỉ là một.
Họ nghiệm \[x = {{2\pi } \over 3} + k\pi \] có thể viết lại là \[x = {{2\pi } \over 3} - \pi + \left[ {k + 1} \right]\pi \] hay \[x = - {\pi \over 3} + \left[ {k + 1} \right]\pi \]
9. Giải bài 22 trang 30 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao
Tính các góc của tam giác ABC, biết \[AB = \sqrt 2 cm, AC =\sqrt 3 cm\] và đường cao AH = 1cm. [Gợi ý: Xét trường hợp B, C nằm khác phía đối với H và trường hợp B, C nằm cùng phía đối với H ].
Phương pháp giải:
Xét hai trường hợp:
+ B, C nằm khác phía đối với H.
+ B, C nằm cùng phía đối với H.
Hướng dẫn giải:
Ta xét hai trường hợp:
- B và C nằm khác phía đối với H
Trong tam giác vuông ABH ta có:
\[ \sin B = {{AH} \over {AB}} = {1 \over {\sqrt 2 }} \]
Suy ra \[\widehat B = 45^\circ \] [chú ý rằng góc B nhọn]
Trong tam giác ACH ta có:
\[ \sin C = {{AH} \over {AC}} = {1 \over {\sqrt 3 }}\], suy ra \[\widehat C \approx 35^\circ 15'52\]
Từ đó \[ \widehat A = 180^\circ - \left[ {\widehat B + \widehat C} \right] \approx 99^\circ 44'8\]
- B và C nằm cùng phía đối với H:
Tương tự như trên ta có:
\[ \sin \widehat {ABH} = \frac{{AH}}{{AB}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \widehat {ABH} = {45^0}\]
\[ \eqalign{ & \widehat {ABC} = 180^\circ - \widehat {ABH} \cr&= 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ \cr } \\ \sin \widehat {ACH} = \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \widehat {ACH} = {35^0}15'52''\]
Từ đó \[\widehat A = 180^\circ - \left[ {\widehat B + \widehat C} \right] \approx 9^\circ 44'8\]
10. Giải bài 23 trang 31 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao
Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau:
- \[y = {{1 - \cos x} \over {2\sin x + \sqrt 2 }}\]
- \[ y = {{\sin \left[ {x - 2} \right]} \over {\cos 2x - \cos x}}\]
- \[y = {{\tan x} \over {1 + \tan x}}\]
- \[y = {1 \over {\sqrt 3 \cot 2x + 1}}\]
Phương pháp giải:
- b] Phân thức xác định khi mẫu số khác không.
- - Phân thức xác định khi mẫu số khác không.
- \[\tan x\] xác định khi \[\cos x \ne 0\]
- - Phân thức xác định khi mẫu số khác không.
- \[\cot 2x\] xác định khi \[\sin2x \ne 0\]
Hướng dẫn giải:
- \[ y = {{1 - \cos x} \over {2\sin x + \sqrt 2 }}\]
Điều kiện xác định: \[2\sin x + \sqrt 2 \ne 0\]
\[ \Leftrightarrow \sin x \ne - {{\sqrt 2 } \over 2}\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x \ne - {\pi \over 4} + k2\pi } \cr {x \ne {{5\pi } \over 4} + k2\pi } \cr} } \right.\]
Vậy tập xác định của hàm số đã cho là:
\[ D =\mathbb R \backslash \left[ {\left\{ { - {\pi \over 4} + k2\pi,k \in\mathbb Z} \right\} \cup \left\{ {{{5\pi } \over 4} + k2\pi,k \in\mathbb Z} \right\}} \right]\]
- \[y = {{\sin \left[ {x - 2} \right]} \over {\cos 2x - \cos x}}\]
Điều kiện xác định: \[\cos 2x - \cos x \ne 0\]
\[ \eqalign{& \Leftrightarrow \cos 2x \ne \cos x \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{2x \ne x + k2\pi } \cr {2x \ne - x + k2\pi } \cr} } \right. \cr&\Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x \ne k2\pi } \cr {x \ne k{{2\pi } \over 3}} \cr} } \right. \cr&\Leftrightarrow x \ne k{{2\pi } \over 3} \cr} \]
Vậy \[D =\mathbb R \backslash \left\{ {k{{2\pi } \over 3},k \in\mathbb Z} \right\}\]
- \[ y = {{\tan x} \over {1 + \tan x}}\]
Điều kiện xác định:
\[ \left\{ \begin{array}{l} x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \\ 1 + \tan x \ne 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \\ \tan x \ne - 1 \end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x \ne {\pi \over 2} + k\pi } \cr {x \ne - {\pi \over 4} + k\pi } \cr} } \right.\]
Vậy \[D =\mathbb R \backslash \left[ {\left\{ {{\pi \over 2} + k\pi,k \in\mathbb Z} \right\} \cup \left\{ { - {\pi \over 4} + k\pi,k \in\mathbb Z} \right\}} \right]\]
- \[ y = {1 \over {\sqrt 3 \cot 2x + 1}} \]
Điều kiện xác định:
\[ \left\{ \begin{array}{l} 2x \ne k\pi \\ \sqrt 3 \cot 2x + 1 \ne 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne \frac{{k\pi }}{2}\\ \cot 2x \ne - \frac{1}{{\sqrt 3 }} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne \frac{{k\pi }}{2}\\ 2x \ne - \frac{\pi }{3} + k\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne \frac{{k\pi }}{2}\\ x \ne - \frac{\pi }{6} + \frac{{k\pi }}{2} \end{array} \right.\]
Vậy \[D =\mathbb R \backslash \left[ {\left\{ {k{\pi \over 2},k \in\mathbb Z} \right\} \cup \left\{ { - {\pi \over 6} + k{\pi \over 2},k \in\mathbb Z} \right\}} \right]\]
11. Giải bài 24 trang 31 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao
Giả sử một con tàu vũ trụ được phóng lên từ mũi Ca-na-vơ-ran [Canaveral] ở Mĩ. Nó chuyển động theo một quỹ đạo được mô tả trên một bản đồ phẳng [quanh đường xích đạo] của mặt đất như hình 1.23: điểm M mô tả cho con tàu, đường thẳng ∆ mô tả cho đường xích đạo.
Khoảng cách h [kilomet] từ M đến ∆ được tính theo công thức h = |d|, trong đó:
\[ d = 4000\cos \left[ {{\pi \over {45}}\left[ {t - 10} \right]} \right],\]
Với t [phút] là thời gian trôi qua kể từ khi con tàu đi vào quỹ đạo, d > 0 nếu M ở phía trên ∆, d < 0 nếu M ở phía dưới ∆.
- Giả thiết rằng con tàu đi vào quỹ đạo ngay từ khi phóng lên tại mũi Ca-na-vơ-ran [tức là ứng với t = 0 ]. Hãy tính khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng ∆, trong đó C là điểm trên bản đồ biểu diễn cho mũi Ca-na-vơ-ran.
- Tìm thời điểm sớm nhất sau khi con tàu đi vào quỹ đạo để có d = 2000.
- Tìm thời điểm sớm nhất sau khi con tàu đi vào quỹ đạo để có d = -1236.
[Tính chính xác các kết quả đến hàng phần nghìn].
Phương pháp giải:
- Thay t = 0 vào \[ d = 4000\cos \left[ {{\pi \over {45}}\left[ {t - 10} \right]} \right]\] để tính d.
- Thay d = 2000 vào \[ d = 4000\cos \left[ {{\pi \over {45}}\left[ {t - 10} \right]} \right]\] để tính t.
- - Thay d = -1236 vào \[ d = 4000\cos \left[ {{\pi \over {45}}\left[ {t - 10} \right]} \right]\] để tính t.
- Chọn t bé nhất và kết luận.
Hướng dẫn giải:
- Vì t = 0 nên \[d = 4000\cos \left[ { - {{10\pi } \over {45}}} \right] = 4000\cos {{2\pi } \over 9}.\]
Do đó:
h = |d| ≈ 3064,178 [km]
- Ta có:
\[ \eqalign{& d = 2000 \cr&\Leftrightarrow 4000\cos \left[ {{\pi \over {45}}\left[ {t - 10} \right]} \right] = 2000\cr&\Leftrightarrow \cos \left[ {{\pi \over {45}}\left[ {t - 10} \right]} \right] = {1 \over 2} \cr & \Leftrightarrow {\pi \over {45}}\left[ {t - 10} \right] = \pm {\pi \over 3} + k2\pi \cr&\Leftrightarrow t = 10 \pm 15 + 90k \cr&\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{t = 25 + 90k} \cr {t = - 5 + 90k} \cr} } \right. \cr} \]
Chú ý rằng t > 0 ta thấy ngay giá trị nhỏ nhất của t là t = 25.
Vậy d = 2000 [km] xảy ra lần đầu tiên sau khi phóng con tàu vào quỹ đạo được 25 phút.
- Ta có:
\[ \eqalign{ & d = - 1236\cr& \Leftrightarrow 4000\cos \left[ {{\pi \over {45}}\left[ {t - 10} \right]} \right] = - 1236 \cr&\Leftrightarrow \cos \left[ {{\pi \over {45}}\left[ {t - 10} \right]} \right] = - 0,309 \cr & \Leftrightarrow {\pi \over {45}}\left[ {t - 10} \right] = \pm \alpha + k2\pi \cr&\left[ {\text{ với }\,k \in \mathbb Z\,\text{ và }\,\cos \alpha = - 0,309} \right] \cr & \Leftrightarrow t = \pm {{45} \over \pi }\alpha + 10 + 90k \cr} \]
Sử dụng bảng số hoặc máy tính bỏ túi, ta có thể chọn α ≈ 1,885. Khi đó ta có:
t ≈ ± 27000 + 10 + 90k, tức là t ≈ - 17000 + 90k hoặc t ≈ 37000 + 90k
Dễ thấy giá trị dương nhỏ nhất của t là 37000.
Vậy d = -1236 [km] xảy ra lần đầu tiên là 37000 phút sau khi con tàu được phóng vào quỹ đạo.
12. Giải bài 25 trang 32 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao
Một chiếc guồng nước có dạng hình tròn bán kính 2,5m; trục của nó đặt cách mặt nước 2m [h.1.24]. Khi guồng quay đều, khoảng cách h [mét] từ một chiếc gầu gắntại điểm A của guồng đến mặt nước được tính theo công thức h = |y|, trong đó \[ y = 2 + 2,5\sin \left[ {2\pi \left[ {x - {1 \over 4}} \right]} \right]\]
Với x là thời gian quay guồng [ x ≥ 0 ], tính bằng phút ; ta quy ước rằng y > 0 khi gầu ở bên trên mặt nước và y < 0 khi gầu ở dưới nước [xem bài đọc thêm về dao động điều hòa trang 15]. Hỏi:
- Khi nào thì chiếc gầu ở vị trí thấp nhất?
- Khi nào thì chiếc gầu ở vị trí cao nhất?
- Chiếc gầu cách mặt nước 2m lần đầu tiên khi nào?
Phương pháp giải:
- Chiếc gầu ở vị trí thấp nhất khi \[\sin \left[ {2\pi \left[ {x - {1 \over 4}} \right]} \right] = - 1\]
⇒ Giải phương trình tìm x và kết luận.
- Chiếc gầu ở vị trí cao nhất khi \[\sin \left[ {2\pi \left[ {x - {1 \over 4}} \right]} \right] = 1\].
⇒ Giải phương trình tìm x và kết luận.
- - Thay y = 2 vào \[ y = 2 + 2,5\sin \left[ {2\pi \left[ {x - {1 \over 4}} \right]} \right]\]
- Tìm x vfa kết luận giá trị x bé nhất.
Hướng dẫn giải:
- Ta có:
\[\sin \left[ {2\pi \left[ {x - \frac{1}{4}} \right]} \right] \ge - 1 \Rightarrow y \ge 2 + 2,5.\left[ { - 1} \right] = - 0,5\]
Chiếc gầu ở vị trí thấp nhất khi \[\sin \left[ {2\pi \left[ {x - {1 \over 4}} \right]} \right] = - 1\].
Ta có:
\[ \sin \left[ {2\pi \left[ {x - {1 \over 4}} \right]} \right] = - 1 \\ \Leftrightarrow 2\pi \left[ {x - {1 \over 4}} \right] = - {\pi \over 2} + k2\pi \\ \Leftrightarrow x - \frac{1}{4} = - \frac{1}{4} + k \\ \Leftrightarrow x = k\,\left[ {\,k \in\mathbb Z} \right]\]
Điều đó chứng tỏ rằng chiếc gầu ở vị trí thấp nhất tại các thời điểm 0 phút; 1 phút; 2 phút; 3 phút…
- Ta có:
\[\sin \left[ {2\pi \left[ {x - \frac{1}{4}} \right]} \right] \le 1 \Rightarrow y \le 2 + 2,5.1 = 4,5\]
Chiếc gầu ở vị trí cao nhất khi \[\sin \left[ {2\pi \left[ {x - {1 \over 4}} \right]} \right] = 1\].
Ta có:
\[ \sin \left[ {2\pi \left[ {x - {1 \over 4}} \right]} \right] = 1 \\ \Leftrightarrow 2\pi \left[ {x - {1 \over 4}} \right] = {\pi \over 2} + k2\pi \\ \Leftrightarrow x - \frac{1}{4} = \frac{1}{4} + k \\ \Leftrightarrow x = {1 \over 2} + k\,\left[ {\,k \in N} \right]\]
Điều đó chứng tỏ chiếc gàu ở vị trí cao nhất tại các thời điểm 0,5 phút; 1,5 phút ; 2,5 phút ; 3,5 phút …
- Chiếc gàu cách mặt nước 2 mét khi:
\[ \begin{array}{l} 2 + 2,5\sin \left[ {2\pi \left[ {x - \frac{1}{4}} \right]} \right] = 2\\ \Leftrightarrow 2,5\sin \left[ {2\pi \left[ {x - \frac{1}{4}} \right]} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \sin \left[ {2\pi \left[ {x - \frac{1}{4}} \right]} \right] = 0\\ \Leftrightarrow 2\pi \left[ {x - \frac{1}{4}} \right] = k\pi \\ \Leftrightarrow x - \frac{1}{4} = \frac{k}{2}\\ \Leftrightarrow x = \frac{k}{2} + \frac{1}{4} \end{array}\]
Nghĩa là tại các thời điểm \[x = {1 \over 4} + {1 \over 2}k\] [phút] thì chiếc gầu cách mặt nước 2m;
Do đó lần đầu tiên nó cách mặt nước 2 mét khi quay được \[{1 \over 4}\] phút [ứng với k = 0 ].
13. Giải bài 26 trang 32 SGK Đại số & Giải tích 11 Nâng cao
Dùng công thức biến đổi tổng thành tích, giải các phương trình sau:
- \[\cos 3x = \sin 2x\]
- \[\sin [x – 120˚] – \cos 2x = 0\]
Phương pháp giải:
- Biến đổi phương trình phương trình bằng cách áp dụng công thức: \[\sin \alpha = \cos \left[ {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right]\].
- Biến đổi phương trình phương trình bằng cách áp dụng công thức: \[\sin \alpha = \cos \left[ {{{90}^o} - \alpha } \right]\]
Hướng dẫn giải:
- \[\cos 3x = \sin 2x\]
\[ \eqalign{& \Leftrightarrow \cos 3x = \cos \left[ {\frac{\pi }{2} - 2x} \right]\cr&\Leftrightarrow \cos 3x - \cos \left[ {{\pi \over 2} - 2x} \right] = 0 \cr & \Leftrightarrow - 2\sin \left[ {\frac{{3x + \frac{\pi }{2} - 2x}}{2}} \right]\sin \left[ {\frac{{3x - \frac{\pi }{2} + 2x}}{2}} \right] = 0\cr&\Leftrightarrow - 2\sin \left[ {{x \over 2} + {\pi \over 4}} \right]\sin \left[ {{{5x} \over 2} - {\pi \over 4}} \right] = 0 \cr}\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin \left[ {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4}} \right] = 0\\ \sin \left[ {\frac{{5x}}{2} - \frac{\pi }{4}} \right] = 0 \end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{{x \over 2} + 105^\circ = k180^\circ } \\ {105^\circ - {{3x} \over 2} = k180^\circ } \cr} } \right. \\\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = - 210^\circ + k360^\circ } \\ {x = 70^\circ - k120^\circ } \cr} } \right.,k\in Z \]