Nội dung bài viết gồm 2 phần:
- Ôn tập lý thuyết
- Hướng dẫn giải bài tập sgk
Để giải bài toán bằng cách lập hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn ta làm theo ba bước sau:
Bước 1: Lập hệ phương trình
- Chọn hai ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho chúng
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết
- Lập hai phương trình biểu thị mỗi quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải hệ phương trình nói trên.
Bước 3: Trả lời. Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận.
B. Bài tập và hướng dẫn giải
Câu 31: trang 23 sgk toán lớp 9 tập 2
Tính độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông, biết rằng nếu tăng mỗi cạnh lên 3cm thì diện tích tam giác đó sẽ tăng thêm $36cm^{2}$,và nếu một cạnh giảm đi 2cm, cạnh kia giảm đi 4cm thì diện tích của tam giác giảm đi $26cm^{2}$
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 32: trang 23 sgk toán lớp 9 tập 2
Hai vòi nước cùng chảy vào một bể nước cạn [không có nước] thì sau $4\frac{4}{5}$giờ đầy bể. Nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất và sau 9 giờ mới mở thêm vòi thứ hai thì sau $\frac{6}{5}$giờ nữa mới đầy bể. Hỏi nếu ngay từ đầu chỉ mở vòi thứ hai thì sau bao lâu đầy bể?
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 33: trang 24 sgk toán lớp 9 tập 2
Hai người thợ cùng làm trong một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm việc 3 giờ và người thứ hai làm 6 giờ thì hoàn thành được 25% công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc đó trong bao lâu?
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 34: trang 24 sgk toán lớp 9 tập 2
Nhà Lan có một mảnh vườn trồng sau cải bắp. Vườn được đánh thành nhiều luống, mỗi luống trồng cùng một số cây cải bắp. Lan tính rằng: Nếu tăng thêm 8 luống rau, nhưng mỗi luống trồng ít đi 3 cây thì số cây toàn vườn ít đi 54 cây. Nếu giảm đi 4 luống rau nhưng mỗi luống trồng tăng thêm 2 cây thì số cây toàn vườn sẽ tăng thêm 32 cây. Hỏi vườn nhà Lan trồng bao nhiêu cây sau cải bắp?
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 35: trang 24 sgk toán lớp 9 tập 1
[Bài toán cổ Ấn Độ] Số tiền mua 9 quả thanh yên và 8 quả táo rừng thơm là 107 rupi. Số tiền mua 7 quả thanh yên và 7 quả táo rừng thơm là 91 rupi. Hỏi giá tiền mỗi quả thanh yên và mỗi quả táo rừng thơm là bao nhiêu rupi?
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 36: trang 24 sgk toán lớp 9 tập 1
Điểm số trung bình của một vận động viên bắn súng sau 100 lần bắn là 8,69 điểm. Kết quả cụ thể được ghi trong bảng sau, trong đó có hai ô bị mờ không đọc được [đánh dấu *]:
| Điểm số của mỗi lần bắn | 10 | 9 | 8 | 7 | 6 |
| Số lần bắn | 25 | 42 | * | 15 | * |
Em hãy tìm lại các số trong hai ô đó.
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 37: trang 24 sgk toán lớp 9 tập 2
Hai vật chuyển động đều trên một đường tròn có đường kính 20cm, xuất phát cùng một lúc, từ cùng một điểm. Nếu chuyển động cùng chiều thì cứ 20 giây chúng lại gặp nhau. Nếu chuyển động ngược chiều thì cứ 4 giây chúng gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi vật.
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 38: trang 24 sgk toán lớp 9 tập 2
Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một bể nước cạn [không có nước] thì bể sẽ đầy trong 1 giờ 20 phút. Nếu mở vòi thứ nhất trong 10 phút và mở vòi thứ hai trong 12 phút thì chỉ chảy được $\frac{2}{15}$bể. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì thời gian mỗi vòi chảy đầy bể là bao nhiêu?
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 39: trang 25 sgk toán lớp 9 tập 2
Một người mua hai loại hàng và phải trả tổng cộng 2,17 triệu đồng, kể cả thuế giá trị gia tăng [VAT] với mức 10% đối với loại hàng thứ nhất và 8% đối với loại hàng thứ hai. Nếu thuế VAT là 9% đối với cả hai loại hàng thì người đó phải trả tổng cộng 2,18 triệu đồng. Hỏi nếu không kể thuế VAT thì người đó phải trả bao nhiêu tiền cho mỗi loại hàng?
=> Xem hướng dẫn giải
Trắc nghiệm Toán 9 bài 5: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình tiếp theo [P2]Với giải bài tập Toán lớp 9 Bài 6: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình [tiếp theo] chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 9.
31.129 lượt xem
Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình Dạng chuyển động
Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng chuyển động được GiaiToan.com biên soạn bao gồm đáp án chi tiết cho từng bài tập giúp các bạn học sinh ngoài bài tập trong sách giáo khoa [sgk] có thể luyện tập thêm các dạng bài tập cơ bản và nâng cao để biết được cách giải các bài toán bằng cách lập hệ phương trình. Đây là tài liệu tham khảo hay dành cho quý thầy cô và các vị phụ huynh lên kế hoạch ôn tập học kì môn Toán 9 và ôn tập thi vào lớp 10. Mời các bạn học sinh và quý thầy cô cùng tham khảo tài liệu chi tiết!
1. Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
Bước 1: Lập hệ phương trình:
+ Đặt ẩn và tìm điều kiện của ẩn [nếu có].
+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
+ Lập hệ phương trình biểu diễn tương quan giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải hệ phương trình.
Bước 3: So sánh với điều kiện và kết luận.
2. Công thức tính quãng đường, công thức tính vận tốc
- Quãng đường bằng vận tốc nhân với thời gian
Công thức:
Trong đó: S là quãng đường [km], v là vận tốc [km/h]; t là thời gian [s]
- Các dạng bài toán chuyển động thường gặp là: chuyển động cùng nhau ngược nhau, chuyển dộng trước sau; chuyển động xuôi dòng – ngược dòng; …
3. Công thức tính vận tốc dòng nước
- Vận tốc của cano khi chuyển động trên dòng nước:
Vận tốc xuôi dòng = vận tốc thực của cano + vận tốc dòng nước
Vận tốc ngược dòng = vận tốc thực của cano - vận tốc dòng nước
Vận tốc dòng nước = [vận tốc xuôi dòng – vận tốc ngược dòng]/2
4. Cách giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
Ví dụ 1: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:
Quãng đường AB là một con dốc. Một người đi xe đạp xuống dốc với vận tốc lớn hơn lên dốc là 4km/h và đi từ A đến B mất 2 giờ 10phút, từ B đến A mất ít hơn 10 phút. Tìm vận tốc của xe đạp khi lên dốc.
Hướng dẫn giải
Gọi vận tốc khi lên dốc là x [km/h]
Vận tốc lúc xuống dốc là y [km/h] [x; y > 0]
Vận tốc xuống dốc lớn hơn vận tốc lên dốc 4km/h nên ta có phương trình:
y – x = 4 [1]
Thời gian từ A đến B lớn hơn thời gian từ B đến A nên từ A đến B là lên dốc và từ B đến A là xuống dốc
Thời gian lên dốc từ A đến B là
Thời gian xuống dốc từ B đến A là:
Từ [1] và [2] ta có hệ phương trình:
Vậy thời gian lên dốc là 48km/h.
Ví dụ 2: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
Một cano xuôi dòng 44km rồi ngược dòng 27km hết tất cả 3 giờ 30 phút. Biết vận tốc thực của cano là 20km/h. Tính vận tốc dòng nước.
Hướng dẫn giải
Gọi vận tốc xuôi dòng là x [km/h]
Vận tốc ngược dòng là y [km/h] [x; y > 0]
Thời gian cano đi xuôi dòng là:
Thời gian cano đi ngược dòng là:
Tổng thời gian đi xuôi dòng và ngược dòng của cano là 3 giờ 30 phút
Ta có phương trình:
Ta có:
Vận tốc dòng nước = Vận tốc xuôi dòng - vận tốc thực của cano
Vận tốc dòng nước = vận tốc thực của cano - vận tốc ngược dòng
Ta có phương trình:
x – 20 = 20 – y
=> x + y = 40 [2]
Từ [1] và [2] ta có hệ phương trình:
=> Vận tốc dòng nước là: 2km/h
Ví dụ 3: Một xe tải đi từ A đến B với vận tộc 45km/h. Sau 1 giờ 30 phút thì một xe ô tô cũng xuất phát từ A đến B với vận tốc 60km/h và đến B cùng một lúc với xe tải. Tính quãng đường AB
Hướng dẫn giải
Gọi độ dài quãng đường AB là a [km] [a > 0]
Thời gian xe tải đi từ A đến B là
Thời gian xe ô tô đi từ A đến B là:
Vì xe ô tô xuất phát sau xe tải 1 giờ 30 phút = 1,5 giờ nên ta có phương trình:
Vậy quãng đường AB dài 270km.
Ví dụ 4: Hai tỉnh A và B cách nhau 180km/h. Cùng một lúc, ô tô đi từ A đến B và một xe máy đi từ B về A. Hai xe gặp nhau tại tỉnh C, Từ C đến B ô tô đi hết 2 giờ, còn từ C về A xe máy đi hết 4 giờ 30 phút. Tính vận tốc của xe ôt ô và xe máy biết rằng trên quãng đường AB hai xe đều chạy với vận tốc không thay đổi.
Hướng dẫn giải
Gọi vận tốc của ô tô là x [km/h], vận tốc của xe máy là y [km/h] [điều kiện x, y > 0]
Sau một thời gian hai xe gặp nhau tại C, xe ô tô phải chạy tiếp hai giờ nữa thì tới B nên quãng đường CB dài 2x [km]
Còn xe máy phải đi tiếp 4 giờ 30 phút = 4,5 giờ mới tới A nên quãng đường CA dài 4,5y [km]
Do đó ta có phương trình: 2x + 4,5y = 180 [1]
Vận tốc của ô tô là x [km/h] => Quãng đường AC là
Vận tốc của xe máy là y [km/h] => Quãng đường CB là
Vì hai xe khỏi hành cùng một lúc và gặp nhau tại C nên lúc gặp nhau hai xe đã đi được một khoảng thời gian như nhau, khi đó ta có phương trình:
Từ [1] và [2] ta có hệ phương trình:
Vậy vận tốc của ô tô là 36km/h và vận tốc của xe máy là 24km/h.
Ví dụ 5: Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy mỗi giờ nhanh hơn km đến sớm hơn dự định 3 giờ, còn xe chạy chậm lại mỗi giờ 10km thì đến nơi chậm mất 5 giờ. Tính vận tốc của xe lúc đầu, thời gian dự định và chiều dài quãng đường AB.
Hướng dẫn giải
Gọi thời gian dự định là x [giờ], vận tốc của xe lúc đầu là y [km/h] [điều kiện x, y > 0]
Khi đó chiều dài quãng đường AB là xy [km]
Khi xe chạy nhanh hơn 10km mỗi giờ thì vận tốc của xe lúc này là y + 10 [km/h]
Thời gian xe đi hết quãng đường AB là x - 3 [giờ]
Ta có phương trình [x - 3][y + 10] = xy [*]
Khi xe chạy chậm hơn 10km mỗi giờ thì vận tốc xe lúc này là y - 10 [km/h]
Thời gian xe đi hết quãng đường AB là x + 5 [giờ]
Ta có phương trình: [x + 5] [y - 10] = xy [**]
Từ [*] và [**] ta có hệ phương trình:
Thời gian xe dự định đi hết quãng đường AB là 15 giờ
Vận tốc của xe lúc đầu là 40km/h
Quãng đường AB có độ dài là 15.40 = 600 [km]
5. Bài tập giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
Bài 1: Trên quãng đường AB dài 200km có hai xe đi ngược chiều nhau, xe 1 khởi hành từ A đến B, xe hai khởi hành từ B về A. Hai xe khởi hành cùng một lúc và gặp nhau sau 2 giờ. Tính vận tốc mỗi xe, biết xe hai đi nhanh hơn xe 1 là 10km/h.
Bài 2: Một cano xuôi dòng từ bến A đến bến B với vận tốc trung bình 30km/h. sau đó lại ngược dòng từ B về A. Thời gian đi xuôi dòng ít hơn thời gian đi ngược dòng là 40 phút. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B, biết vận tốc dòng nước là 3km/h và vận tốc thực của cano không thay đổi.
Bài 3: Một ô tô chuyển động trên một đoạn đường. Trong nửa thời gian đầu ô tô chuyển động với vận tốc 60km/h, trong nửa thời gian còn lại ô tô chuyển động với vận tốc 40km/h. Tính vận tốc trung bình của ô tô trên cả đoạn đường.
Bài 4: Một cano chuyển động đều xuôi dòng sông từ A đến B mất thời gian 1 giờ khi canô chuyển động ngược dòng sông từ B về A mất thời gian 1,5 giờ biết vận tốc cano đối với dòng nước và vận tốc của dòng nước là không đổi nếu cano tắt máy thả trôi từ A đến B thì mất thời gian là?
Bài 5: Hai bến sông A và B cách nhau 36km. Dòng nước chảy theo hướng từ A đến B với vận tốc 4km/h. Một canô chuyển động từ A về B hết 1 giờ. Hỏi canô đi ngược từ B đến A trong bao lâu?
Bài 6: Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ 2 tỉnh A và B cách nhau 400km đi ngược chiều và gặp nhau sau 5h. Nếu vận tốc của mỗi xe không thay đổi nhưng xe đi chậm xuất phát trước xe kia 40 phút thì 2 xe gặp nhau sau 5h22 phút kể từ lúc xe khởi hành. Tính vận tốc của mỗi xe?
Bài 7: Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy mỗi giờ nhanh hơn 10km thì đến sớm hơn dự định 3 giờ, nếu xe chạy chậm lại mỗi giờ 10km thì đến nơi chậm mất 5 tiếng. Tính vận tốc của xe lúc ban đầu, thời gian dự định và độ dài quãng đường AB.
Bài 8: Quãng đường AB dài 60km, người thứ nhất đi từ A đến B người thứ 2 đi từ B đến A. Họ khởi hành cùng một lúc và gặp nhau tại C sau 1,2 giờ. Người thứ nhất đi tiếp đến B với vận tốc giảm hơn trước là 6km/h, người thứ hai đi đến A với vận tốc như cũ. Kết quả người thứ nhất đến sớm hơn người thứ hai là 48 phút. Tính vận tốc ban đầu của mỗi người.
6. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng làm chung làm riêng
Ví dụ 1: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình.
Hai đội công nhân cùng làm việc và hoàn thành trong 24 giờ. Nếu đội thứ nhất làm 10 giờ, đội thứ hai làm 15 giờ, thì cả hai đội làm được một nửa công việc. Tính thời gian mỗi đội làm một mình để xong công việc.
Hướng dẫn giải
Gọi a, b lần lượt là số phần công việc mà đội I và đội II làm được trong 1h
Vì 2 đội cùng làm việc thì hoàn thành công việc trong 24h nên trong 1h cả 2 đội làm được
Trong 10h, đội I làm được 10a phần công việc, trong 15h đội II làm được 15b phần công việc.
Vì khi đó cả 2 đội làm được
Từ [1] và [2] ta được hệ phương trình:
Vậy đội I làm trong 40h thì xong công việc, đội II làm trong 60h thì xong công việc.
Ví dụ 2: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
Hai người làm chung một công việc thì sau 20 ngày sẽ hoàn thành. Nhưng sau khi làm chung được 10 ngày thì người thứ nhất đi làm việc khác, người thứ hai vẫn tiếp tục công việc đó và hoàn thành trong 15 ngày. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu ngày để hoàn thành công việc?
Hướng dẫn giải
Gọi số ngày người thứ nhất làm một mình hoàn thành công việc là x [ngày]
Số ngày người thứ làm một mình hoàn thành công việc là: y [ngày] [x, y > 0]
Một ngày người thứ nhất làm được số công việc là:
Một ngày người thứ hai làm được số công việc là:
Hai người làm chung một công việc thì sau 20 ngày sẽ hoàn thành. Ta có phương trình:
Khi làm chung được 10 ngày số công việc làm được là:
Người thứ hai vẫn tiếp tục công việc còn lại và hoàn thành trong 15 ngày
Ta có phương trình:
Từ [1] và [2] ta có hệ phương trình:
Vậy người thứ nhất làm một mình xong công việc trong 60 ngày.
Xem chi tiết tại đây
7. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng năng suất
Xem chi tiết tại đây
8. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng tìm số
Xem chi tiết tại đây
----------------------------------------
Tài liệu liên quan:
------------------------------------------------------------
Hy vọng tài liệu Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình giúp sẽ giúp ích cho các bạn học sinh học nắm chắc cách giải hệ phương trình đồng thời học tốt môn Toán lớp 9. Chúc các bạn học tốt, mời các bạn tham khảo! Mời thầy cô và bạn đọc tham khảo thêm một số tài liệu liên quan: Lý thuyết Toán 9, Giải Toán 9, Luyện tập Toán 9, ...
Cập nhật: 27/08/2022