Bài tập nhị thức Newton tìm hệ số


Tài liệu gồm 39 trang được tổng hợp và biên soạn bởi thầy Nguyễn Bảo Vương, tuyển tập 126 câu hỏi và bài tập trắc nghiệm nhị thức Newton (Niu-tơn) và các bài toán liên quan, có đáp án và lời giải chi tiết, giúp học sinh học tốt bài 3 chương 2 Đại số và Giải tích 11.

Mục lục tài liệu các dạng toán nhị thức Newton và các bài toán liên quan:
Phần A. CÂU HỎI Dạng 1. Tiếp cận với khai triển nhị thức Newton (Trang 2). Dạng 2. Tìm hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức Newton (Trang 3). Dạng 2.1 Khai triển của 1 biểu thức (Trang 3). Dạng 2.1.1 Bài toán tìm hệ số của số hạng (Trang 3). Dạng 2.1.2 Bài toán tìm số hạng thứ k (Trang 4). Dạng 2.1.3 Bài toán tìm hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức có thêm điều kiện (Trang 5). Dạng 2.1.4 Số hạng không chứa x (số hạng độc lập) (Trang 8). Dạng 2.2 Khai triển của nhiều biểu thức (Trang 11). Dạng 2.2.1 Dạng ${\left( {{a_1} + {a_2} + \ldots {a_k}} \right)^n}$ (Trang 11). Dạng 2.2.2 Tổng ${\left( {{a_1} + {b_1}} \right)^n} + {\left( {{a_2} + {b_2}} \right)^m} + \ldots + {\left( {{a_k} + {b_k}} \right)^h}$ (Trang 12). Dạng 2.2.3 Tích ${\left( {{a_1} + \ldots + {a_n}} \right)^m}.{\left( {{b_1} + \ldots + {b_n}} \right)^l}$ (Trang 12). Dạng 2.2.4 Dạng kết hợp tích và tổng (Trang 13). Dạng 3. Ứng dụng nhị thức Newton để giải toán (Trang 13). [ads]

Phần B. LỜI GIẢI THAM KHẢO

Dạng 1. Tiếp cận với khai triển nhị thức Newton (Trang 14). Dạng 2. Tìm hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức Newton (Trang 16). Dạng 2.1 Khai triển của 1 biểu thức (Trang 16). Dạng 2.1.1 Bài toán tìm hệ số của số hạng (Trang 16). Dạng 2.1.2 Bài toán tìm số hạng thứ k (Trang 18). Dạng 2.1.3 Bài toán tìm hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức có thêm điều kiện n (Trang 20). Dạng 2.1.4 Số hạng không chứa x (số hạng độc lập) (Trang 27). Dạng 2.2 Khai triển của nhiều biểu thức (Trang 31). Dạng 2.2.1 Dạng ${\left( {{a_1} + {a_2} + \ldots {a_k}} \right)^n}$ (Trang 31). Dạng 2.2.2 Tổng ${\left( {{a_1} + {b_1}} \right)^n} + {\left( {{a_2} + {b_2}} \right)^m} + \ldots + {\left( {{a_k} + {b_k}} \right)^h}$ (Trang 33). Dạng 2.2.3 Tích ${\left( {{a_1} + \ldots + {a_n}} \right)^m}.{\left( {{b_1} + \ldots + {b_n}} \right)^l}$ (Trang 35). Dạng 2.2.4 Dạng kết hợp tích và tổng . (Trang 35).

Dạng 3. Ứng dụng nhị thức Newton để giải toán (Trang 36).


Trong những năm gần đây nhị thức Newton là một trong những nội dung thi đại học. Bài viết này nhằm giới thiệu hai dạng toán cơ bản nhất về nhị thức Newton thường gặp trong các đề thi đại học.

A. KIẾN THỨC LIÊN QUAN.

  • Công thức khai triển nhị thức Newton: , .
  • Công thức số tổ hợp: , .
  • Tính chất lũy thừa: .

B. CÁC DẠNG TOÁN.

DẠNG 1: Tìm số hạng chứa trong khai triển .

Phương pháp.

  • Viết khai triển ;
  • Biến đổi khai triển thành ;
  • Số hạng chứa tương ứng với số hạng chứa thỏa .
  • Từ đó suy ra số hạng cần tìm.

Ví dụ 1. Tìm hệ số của trong khai triển đa thức:

Lời giải.

Ta có .

Số hạng chứa tương ứng với số hạng chứa thỏa .

Vậy hệ số của số hạng chứa là .

Ví dụ 2. (D-04) Tìm số hạng không chứa trong khai triển thành đa thức của biểu thức:

Lời giải.

Ta có .

Số hạng không chứa tương ứng số hạng chứa thỏa .

Vậy số hạng không chứa là .

Ví dụ 3. (A-03) Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển , biết:

Lời giải.

Theo giả thiết có:

.

Khi đó .

Số hạng chứa tương ứng số hạng chứa thỏa .

Vậy hệ số của số hạng chứa là .

Ví dụ 4. (A-04) Tìm hệ số của trong khai triển thành đa thức của biểu thức:

Lời giải.

Ta có khai triển:

.

Số hạng chứa tương ứng số hạng chứa và thỏa .

Vì nên hoặc .

Vậy hệ số của số hạng chứa là .

DẠNG 2. Ứng dụng của nhị thức Newton trong các bài toán liên quan đến .

Phương pháp.

  • Chọn một khai triển phù hợp, ở đây là hằng số.
  • Sử dụng các phép biến đổi đại số hoặc lấy đạo hàm, tích phân.
  • Dựa vào điều kiện bài toán, thay bởi một giá trị cụ thể.

Ví dụ 5. (D-02) Tìm số nguyên dương thoả mãn hệ thức:

Lời giải.

Xét khai triển .

Chọn ta có .

Lại theo giả thiết ta có .

Ví dụ 6. (A-06) Tìm hệ số của trong khai triển , biết:

Lời giải.

Xét khai triển .

Chọn ta có .

Lại có nên .

Lại theo giả thiết có .

Khi đó .

Số hạng chứa tương ứng số hạng chứa thỏa .

Vậy hệ số của số hạng chứa là .

Ví dụ 7. (D-08) Tìm số nguyên dương thoả mãn hệ thức:

Lời giải.

Xét khai triển .

Chọn lần lượt và ta có .

Trừ theo vế (1) và (2) ta có .

Lại theo giả thiết có .

Ví dụ 8. (A-05) Tìm số nguyên dương thỏa mãn:

Lời giải.

Xét khai triển .

Lấy đạo hàm hai vế được .

Thay ta có .

Theo giả thiết ta có .

Ví dụ 9. Chứng minh rằng:

Lời giải.

Xét khai triển .

Lấy đạo hàm cấp hai hai vế ta có: .

Chọn ta có (đpcm).

Ví dụ 10. (B-03) Cho là số nguyên dương. Tính tổng:

Lời giải.

Xét khai triển .

Lấy tích phân từ 1 đến 2 cả hai vế ta có:

.

Vậy .

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

1. Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển biểu thức .

2. (A-2012) Cho là số nguyên dương thỏa mãn .

Tìm số hạng chứa trong khai triển nhị thức Newton của .

3. (A-02) Cho khai triển biểu thức

biết rằng trong khai triển đó và số hạng thứ tư bằng . Tìm và .

4. (D-07) Tìm hệ số của trong khai triển thành đa thức của biểu thức:

5. (D-03) Với là số nguyên dương, gọi là hệ số của trong khai triển thành đa thức của . Tìm để .

6. Tính tổng .

7. (B-07) Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển biểu thức:

, biết

8. (A-08) Cho khai triển:

và các hệ số thoả mãn hệ thức .

Tìm số lớn nhất trong các số .

9. Tính tổng .

10. Tính tổng .

11. Tìm số tự nhiên sao cho .

12. Tính tổng .

13. Tính tổng .

14. (A-07) Chứng minh rằng .

Xem và tải về bản PDF bài viết và lời giải các bài tập ở đây;

Tải về file TEX bài viết và lời giải các bài tập ở đây.