Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh SA vuông góc với mặt đáy SA = a. Tính:
a] Khoảng cách từ điểm S đến mp[A1CD] trong đó A1 là trung điểm của SA;
b] Khoảng cách giữa AC và SD.
Trả lời
a] Ta có \[C{\rm{D}} \bot \left[ {SA{\rm{D}}} \right]\] nên \[\left[ {C{\rm{D}}{A_1}} \right] \bot \left[ {SA{\rm{D}}} \right]\]. Từ đó, khi kẻ đường cao SH của tam giác SA1D thì:
\[SH \bot mp\left[ {C{\rm{D}}{A_1}} \right]\].
và \[SH = d\left[ {S;mp\left[ {C{\rm{D}}{A_1}} \right]} \right]\].
Ta có
\[\eqalign{ & SH.{A_1}D = 2{{\rm{S}}_{S{A_1}D}} = {S_{SA{\rm{D}}}} = {{{a^2}} \over 2} \cr & {A_1}D = \sqrt {{a^2} + {{{a^2}} \over 4}} = {{a\sqrt 5 } \over 2} \cr} \]
Vậy \[SH = {{{a^2}} \over 2}.{2 \over {a\sqrt 5 }} = {a \over {\sqrt 5 }} = {{a\sqrt 5 } \over 5}.\]
Kẻ qua D đường thẳng song song với AC, cắt đường thẳng AB tại B', khi đó \[B'D = a\sqrt 2 ,AB' = a,SB' = a\sqrt 2 ,S{\rm{D}} = a\sqrt 2 \].
Vậy SBD là tam giác đều. Gọi I là trung điểm của SB thì:
\[DI = {{a\sqrt 6 } \over 2},SB' \bot \left[ {AI{\rm{D}}} \right]\].
từ đó \[\left[ {AI{\rm{D}}} \right] \bot \left[ {SB'D} \right]\].
Vậy khi kẻ đường cao AK của tam giác AID thì AK là khoảng cách từ A đến mp[SBD]. Mặt khác AC // [SBD] nên AK cũng là khoảng cách giữa AC và SD.
Ta có \[{\rm{AI = }}{{a\sqrt 2 } \over 2},A{\rm{D}} = a\]
Vì \[A{\rm{D}} \bot \left[ {SAB} \right]\] nên \[A{\rm{D}} \bot AI\].
Do đó \[AK = {{AI.A{\rm{D}}} \over {DI}} = {{{{a\sqrt 2 } \over 2}.a} \over {{{a\sqrt 6 } \over 2}}} = {a \over {\sqrt 3 }}\].
Vậy khoảng cách giữa AC và SD bằng \[{{a\sqrt 3 } \over 3}\].
Sachbaitap.com Báo lỗi - Góp ý
Xem lời giải SGK - Toán 11 Nâng cao - Xem ngay
>> Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Xem thêm tại đây: Bài 5: Khoảng cách
Bình luận