Bài tập về khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng lớp 11

Các dạng bài tập Khoảng cách chọn lọc, có lời giải

Trang trước Trang sau

Phần Khoảng cách Toán lớp 11 với các dạng bài tập chọn lọc có trong Đề thi THPT Quốc gia và trên 100 bài tập trắc nghiệm chọn lọc, có lời giải. Vào Xem chi tiết để theo dõi các dạng bài Khoảng cách hay nhất tương ứng.

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

- Để tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ ta cần xác định được hình chiếu H của điểm M trên đường thẳng Δ. Khi đó MH chính là khoảng cách từ M đến đường thẳng. Điểm H thường được dựng theo hai cách sau:

+ Trong mp(M; Δ) vẽ MH vuông góc Δ ⇒ d(M; Δ) = MH

+ Dựng mặt phẳng (α) qua M và vuông góc với Δ tại H ⇒ d(M; Δ) = MH.

- Hai công thức sau thường được dùng để tính MH:

+ Tam giác AMB vuông tại M và có đường cao AH thì

Bài tập về khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng lớp 11

+ MH là đường cao của tam giác MAB thì

Bài tập về khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng lớp 11

Ví dụ 1: Cho hình chóp tam giác S.ABC với SA vuông góc với (ABC) và SA = 3a. Diện tích tam giác ABC bằng 2a2; BC = a. Khoảng cách từ S đến BC bằng bao nhiêu?

A. 2aB. 4aC.3aD. 5a

Hướng dẫn giải

+ Kẻ AH vuông góc với BC

Ta có: SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ BC

Lại có: AH ⊥ BC nên BC ⊥ (SAH)

⇒ SH ⊥ BC và khoảng cách từ S đến BC chính là SH

+ Ta có tam giác vuông SAH vuông tại A nên ta có

Chọn D

Ví dụ 2: Cho hình chóp ABCD có cạnh AC ⊥ (BCD) và BCD là tam giác đều cạnh bằng a. Biết AC = a√2 và M là trung điểm của BD. Khoảng cách từ C đến đường thẳng AM bằng

Hướng dẫn giải

+ Do tam giác BCD đều cạnh a nên đường trung tuyến CM đồng thời là đường cao và MC = a√3/2

+ Ta có: AC ⊥ (BCD) ⇒ AC ⊥ CM

Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AM

Ta có:

Bài tập về khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng lớp 11

Chọn đáp án C

Ví dụ 3: Cho tứ diện SABC trong đó SA; SB; SC vuông góc với nhau từng đôi một và SA = 3a; SB = a; SC = 2a. Khoảng cách từ A đến đường thẳng BC bằng:

Hướng dẫn giải

Chọn đáp án B

Xét trong tam giác SBC vuông tại S có SH là đường cao ta có:

+ Ta dễ chứng minh được AB ⊥ (SBC) ⊃ SH ⇒ AS ⊥ SH

⇒ tam giác SAH vuông tại S.

Áp dụng định lsi Pytago trong tam giác ASH vuông tại S ta có:

Chọn B

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Để tính được khoảng từ điểm A đến mặt phẳng (α) thì điều quan trọng nhất là ta phải xác định được hình chiếu của điểm A trên (α)

Cho trước SA ⊥ Δ; trong đó S ∈ (α) và Δ ⊂ (α)

Bước 1: Dựng AK ⊥ Δ ⇒ Δ ⊥ (SAK) ⇒(α) ⊥ (SAK) và (α) ∩ (SAK) = SK

Bước 2: Dựng AP ⊥ SK ⇒ AP ⊥ (α) ⇒ d(A, (α)) = AP

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh a. Trên tia Ax vuông góc với mặt phẳng (P) lấy điểm S sao cho SA = a . Khoảng cách từ A đến (SBC) bằng

Hướng dẫn giải

- Gọi M là trung điểm của BC , H là hình chiếu vuông góc của A trên SM

- Ta có BC ⊥ AM ( trong tam giác đều đường trung tuyến đồng thời là đường cao). Và BC ⊥ SA ( vì SA vuông góc với (ABC)). Nên BC ⊥ (SAM) ⇒ BC ⊥ AH

Mà AH ⊥ SM, do đó AH ⊥ (SBC)

Chọn đáp án C

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết AD = 2a; SA = a. Khoảng cách từ A đến (SCD) bằng:

Hướng dẫn giải

SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ CD, AD ⊥ CD

Suy ra (SAD) ⊥ CD

Trong ( SAD) kẻ AH vuông góc SD tại H

Khi đó AH ⊥ (SCD)

Chọn đáp án C

Ví dụ 3: Hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a cạnh bên bằng 2a. Khoảng cách từ S đến (ABC) bằng :

A. 2aB. a√3 C. aD. a√5

Hướng dẫn giải

+ Gọi O là trọng tâm tam giác ABC.Do tam giác ABC đều nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

+ Ta có: SA = SB = SC và OA = OB = OC nên SO là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Do đó SO ⊥ (ABC)

Chọn đáp án C

Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song

Cho đường thẳng d // (P); để tính khoảng cách giữa d và (P) ta thực hiện các bước:

+ Bước 1: Chọn một điểm A trên d, sao cho khoảng cách từ A đến (P) có thể được xác định dễ nhất.

+ Bước 2: Kết luận: d(d; (P)) = d(A; (P)).

Ví dụ 1: Cho hình chóp S. ABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B; AB = a. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính khoảng cách giữa đường thẳng IJ và (SAD)

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có: I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD nên IJ là đường trung bình của hình thang ABCD

Ví dụ 2: Cho hình thang vuông ABCD vuông ở A và D; AD = 2a. Trên đường thẳng vuông góc tại D với (ABCD) lấy điểm S với SD = a√2. Tính khỏang cách giữa đường thẳng CD và (SAB).

Hướng dẫn giải

Chọn A

Vì DC // AB nên DC // (SAB)

⇒ d(DC; (SAB)) = d(D; (SAB))

Kẻ DH ⊥ SA

Do AB ⊥ AD và AB ⊥ SA nên AB ⊥ (SAD)

⇒ DH ⊥ AB lại có DH ⊥ SA

⇒ DH ⊥ (SAB)

Nên d(CD; (SAB)) = DH.

Trong tam giác vuông SAD ta có:

Ví dụ 3: Cho hình chóp O.ABC có đường cao OH = 2a/√3 . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của OA và OB. Khoảng cách giữa đường thẳng MN và (ABC) bằng:

Hướng dẫn giải

Chọn D

Vì M và N lần lượt là trung điểm của OA và OB nên

MN // AB

⇒ MN // (ABC)

Khi đó, ta có:

(vì M là trung điểm của OA).

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Giới thiệu kênh Youtube Tôi

Trang trước Trang sau

Lý thuyết - Bài tập tính khoảng cách trong không gian lớp 11

Cập nhật lúc: 10:24 23-02-2017 Mục tin: LỚP 11


Hình Học 11 – Dạng 2: Tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, mặt phẳng

Hình Học 11 –Dạng 2: Tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, mặt phẳng

Chuyên đềkhoảng cáchhình học 11.Hệ thống lý thuyết đầy đủ và chi tiết, bao quát tất cả các dạng bài xuất hiện trong đề thi tốt nghiệp THPT, tóm tắt công thức giải nhanh dễ nhớ, dễ vận dụng – Bài tập luyện tập có hướng dẫn giải, bài tập trắc nghiệm có đáp án

1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Cho điểm O và đường thẳng D. Gọi H là hình chiếu của O trên D. Khi đó khoảng cách giữa hai điểm O và H được gọi là khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng D. Kí hiệu
Bài tập về khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng lớp 11

* Nhận xét
+ Xác định hình chiếu H của O trên D và tính OH
+ Áp dụng công thức

2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Cho điểm O và mặt phẳng (a). Gọi H là hình chiếu của O trên (a). Khi đó khoảng cách giữa hai điểm O và H được gọi là khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (a). Kí hiệu
Bài tập về khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng lớp 11

* Nhận xét

Cách 1. Tính trực tiếp. Xác định hình chiếu H của O trên (a) và tính OH

* Phương pháp chung.
+ Trong hình chóp đều, thì chân đường cao hạ từ đỉnh trùng với tâm đáy
+ Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì chân đường vuông góc hạ từ đỉnh sẽ thuộc giao tuyến của mặt bên đó với đáy
+ Hình chóp có 2 mặt bên vuông góc với đáy thì đường cao chính là giao tuyến của hai mặt bên này
+ Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau (hoặc tạo với đáy những góc bằng nhau) thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy
+ Hình chóp có các mặt bên tạo với đáy những góc bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đáy

Cách 2. Sử dụng công thức thể tích

Thể tích của khối chóp
Bài tập về khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng lớp 11
. Theo cách này, để tính khoảng cách từ đỉnh của hình chóp đến mặt đáy, ta đi tính V và S

Cách 3. Sử dụng phép trượt đỉnh

Ý tưởng của phương pháp này là: bằng cách trượt đỉnh O trên một đường thẳng đến một vị trí thuận lợi O', ta quy việc tính về việc tính
Bài tập về khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng lớp 11
. Ta thường sử dụng những kết quả sau:
Kết quả 1. Nếu đường thẳng D song song với mặt phẳng (a) và M, N Î D thì
Bài tập về khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng lớp 11

Kết quả 2. Nếu đường thẳng D cắt mặt phẳng (a) tại điểm I và M, N Î D (M, N không trùng với I) thì
Bài tập về khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng lớp 11

Đặc biệt, nếu M là trung điểm của NI thì
Bài tập về khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng lớp 11

nếu I là trung điểm của MN thì

Cách 4. Sử dụng tính chất của tứ diện vuông

Cơ sở của phương pháp này là tính chất sau: Giả sử OABC là tứ diện vuông tại O (OA\bot OB,OB\bot OC,OC\bot OA) và H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC). Khi đó đường cao OH được tính bằng công thức

Cách 5. Sử dụng phương pháp tọa độ

Cơ sở của phương pháp này là ta cần chọn hệ tọa độ thích hợp sau đó sử dụng các công thức sau:
với
Bài tập về khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng lớp 11
với D là đường thẳng đi qua A và có vectơ chỉ phương
Bài tập về khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng lớp 11

Bài tập về khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng lớp 11
với
Bài tập về khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng lớp 11
' là đường thẳng đi qua A' và có vtcp
Bài tập về khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng lớp 11

Cách 6. Sử dụng phương pháp vectơ