Bài tập về tam giác đồng dạng lớp 8 có lời giải

Tài liệu gồm 57 trang, tổng hợp tóm tắt lý thuyết và tuyển chọn các dạng bài tập tam giác đồng dạng, có đáp án và lời giải chi tiết, giúp học sinh lớp 8 tham khảo khi học chương trình Toán 8 phần Hình học chương 3.

Nội dung chính Show

• Các trường hợp đồng dạng của tam giác thường
• Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông
• Tính chất tam giác đồng dạng là gì?
• Trường hợp đồng dạng thứ nhất – Phiếu bài tập tam giác đồng dạng
• Trường hợp đồng dạng thứ hai
• Trường hợp đồng dạng thứ ba
• Trường hợp đồng dạng của tam giác vuông
• Bài tập tam giác đồng dạng tổng hợp
• Bài tập tam giác đồng dạng nâng cao
• Video liên quan

Chương 3. Tam giác đồng dạng 422.
1. Định lý Ta-lét 422. 1. Tóm tắt lý thuyết 422. 2. Bài tập và các dạng toán 423. + Dạng 36. Viết tỉ số các cặp đoạn thẳng hoặc tính tỉ số của hai đoạn thẳng 423. + Dạng 37. Sử dụng định lý Ta-lét để tính độ dài đoạn thẳng hoặc chứng minh đoạn thẳng tỉ lệ 424. 3. Bài tập về nhà 426.

2. Định lý đảo và hệ quả của định lý Ta-lét 428.

1. Tóm tắt lý thuyết 428. 2. Bài tập và các dạng toán 429. + Dạng 38. Sử dụng hệ quả của định lý Ta-lét để tính độ dài đoạn thẳng 429. + Dạng 39. Sử dụng định lý Ta-lét đảo để chứng minh các đường thẳng song song 430. + Dạng 40. Sử dụng hệ quả định lý Ta-lét để chứng minh các hệ thức, các đoạn thẳng bằng nhau 431. 3. Bài tập về nhà 433.

3. Tính chất của đường phân giác của tam giác 436.

1. Tóm tắt lý thuyết 436. 2. Bài tập và các dạng toán 436. + Dạng 41. Sử dụng tính chất đường phân giác của tam giác để tính độ dài đoạn thẳng 436. + Dạng 42. Sử dụng tính chất đường phân giác của tam giác để tính tỉ số, chứng minh các hệ thức, các đoạn thẳng bằng nhau, các đường thẳng song song 438. 3. Bài tập về nhà 440.

4. Khái niệm hai tam giác đồng dạng 443.

1. Tóm tắt lý thuyết 443. 2. Bài tập và các dạng toán 444. + Dạng 43. Chứng minh hai tam giác đồng dạng 444. + Dạng 44. Tìm tỉ số đồng dạng, tính độ dài cạnh, chứng minh đẳng thức cạnh thông qua tam giác đồng dạng 444. 3. Bài tập về nhà 447.

5. Trường hợp đồng dạng thứ nhất 449.

1. Tóm tắt lý thuyết 449. 2. Bài tập và các dạng toán 449. + Dạng 45. Chứng minh hai tam giác đồng dạng 449. + Dạng 46. Sử dụng trường hợp đồng dạng thứ nhất để tính độ dài các cạnh hoặc chứng minh các góc bằng nhau 451. 3. Bài tập về nhà 452.

6. Trường hợp đồng dạng thứ hai 453.

1. Tóm tắt lý thuyết 453. 2. Bài tập và các dạng toán 453. + Dạng 47. Chứng minh hai tam giác đồng dạng 453. + Dạng 48. Sử dụng trường hợp đồng dạng thứ hai để tính độ dài cạnh hoặc chứng minh các góc bằng nhau 454. 3. Bài tập về nhà 456.

7. Trường hợp đồng dạng thứ ba 458.

1. Tóm tắt lý thuyết 458. 2. Bài tập và các dạng toán 458. + Dạng 49. Chứng minh hai tam giác đồng dạng 458. + Dạng 50. Sử dụng trường hợp đồng dạng thứ ba để tính độ dài các cạnh, chứng minh hệ thức cạnh, hoặc chứng minh các góc bằng nhau 459. 3. Bài tập về nhà 461.

8. Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông 463.

1. Tóm tắt lý thuyết 463. 2. Bài tập và các dạng toán 463. + Dạng 51. Chứng minh hai tam giác vuông đồng dạng 463. + Dạng 52. Sử dụng trường hợp đồng dạng của tam giác vuông tính độ dài cạnh, chứng minh hệ thức cạnh hoặc chứng minh các góc bằng nhau 464. + Dạng 53. Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng 466. 3. Bài tập về nhà 467.

9. ôn tập chương III 469.

1. Tóm tắt lý thuyết 469. 2. Bài tập và các dạng toán 469. 3. Bài tập về nhà 472.

4. Đề kiểm tra chương III 474.

Skip to content

Home   Giáo viên- Học Sinh   Bài giảng toán   Toán 8   Lý thuyết – Bài tập tam giác đồng dạng lớp 8 có giải chi tiết

Bài tập tam giác đồng dạng lớp 8 có giải chi tiết.

Các trường hợp đồng dạng của tam giác thường

• Hai tam giác có ba cặp cạnh tương ứng tỷ lệ với nhau thì đồng dạng. (cạnh-cạnh-cạnh).
• Hai tam giác có hai cặp góc tương ứng bằng nhau thì đồng dạng. (góc-góc).
• Hai tam giác có hai cặp cạnh tương ứng tỷ lệ với góc xen giữa hai cặp cạnh ấy bằng nhau thì đồng dạng. (cạnh-góc-cạnh).

Bài tập tam giác đồng dạng lớp 8 có giải chi tiết

Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

Định lí 1 : Nếu cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác này tỉ lệ với cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác đồng dạng.

Định lí 2 : Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác đồng dạng. (hai cạnh góc vuông)

Định lí 3: Nếu góc nhọn của tam giác vuông này bằng góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác đồng dạng. (góc)

Tính chất tam giác đồng dạng là gì?

• Tỉ số hai đường phân giác, hai đường cao, hai đường trung tuyến, hai bán kính nội tiếp và ngoại tiếp, hai chu vi tương ứng của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng.
• Tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng thì bằng bình phương tỉ số đồng dạng.

• Phương pháp 1: Hai tam giác được coi là đồng dạng nếu chúng có các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ và các góc tương ứng tỉ lệ.
• Phương pháp 2: Định lý Talet: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó vạch ra trên cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ.
• Phương pháp 3: CM các điều kiện cần và đủ để hai tam giác đồng dạng: Hai tam giác có các cặp cạnh tương ứng tỷ lệ thì đồng dạng. Hai tam giác có hai cặp góc tương ứng bằng nhau thì đồng dạng. Hai tam giác có hai cặp cạnh tương ứng tỷ lệ, hai góc xen giữa hai cặp cạnh ấy bằng nhau thì đồng dạng.
• Phương pháp 4: Chứng minh trường hợp 1 (cạnh-cạnh-cạnh): Nếu 3 cạnh của tam giác này tỷ lệ với 3 cạnh của tam giác kia thì 2 tam giác đó đồng dạng.
• Phương pháp 5: Chứng minh trường hợp 2 (cạnh-góc-cạnh): Nếu 2 cạnh của tam giác này tỷ lệ với 2 cạnh của tam giác kia và 2 góc tạo bởi tạo các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam đó giác đồng dạng.

Bài toán 1: Cho △ABC(AB

Bài toán 2: Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BD và CE. Kẻ các đường cao DF và EG của  ∆ADE. Chứng minh:

a) Xét ∆ABD và ∆AEG, ta có :

b) Từ a) Suy ra AB/ AE = AD/ AG

CM tương tự, ta được : AD.AE = AC.AF (2)

c) Xét tam giác ABC, ta có :

AB.AG = AC.AF (cmb) suy ra: AB/AF=AC/AG

Suy ra: FG // BC (định lí Talet đảo)

Bài toán 3: Cho △ABC có các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh:

b) △HED∼△HBC và góc HDE = góc HAE

Bài 4: Cho ΔABC cân tại A; BC = 2a. Gọi M là trung điểm của BC. Lấy các điểm D và E trên AB; AC sao cho góc DME= góc B

a) Chứng minh rằng: ΔBDM ∽ ΔCME

b) Chứng minh: ΔMDE ∽ ΔDBM

c) Chứng minh: BD.CE không đổi?

Bài 5: Cho hình thang ABCD có AB= 12,5 cm,  DC = 28,5 cm, AB// DC, góc DAB = góc DBC; Tính độ dài đoạn thẳng DB.

Bài 6: Cho ΔABC vuông tại A, đường cao AH. M, N lần lượt là trung điểm của BH và AH

Trường hợp đồng dạng thứ nhất – Phiếu bài tập tam giác đồng dạng

Trường hợp đồng dạng thứ hai

Trường hợp đồng dạng thứ ba

Trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

Bài tập tam giác đồng dạng tổng hợp

Bài tập tam giác đồng dạng nâng cao

Bài viết cùng series:

Like share và ủng hộ chúng mình nhé:

Bạn đang xem tài liệu "20 Bài tập về Tam giác đồng dạng Hình học Lớp 8 (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

BÀI TÂP CHƯƠNG TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG Bài 1: Cho ABC vuông tại A, Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giác ABD vuông cân ở B, ACF vuông cân ở C. Gọi H là giao điểm của AB và CD, K là giao điểm của Ac và BF. Chứng minh rằng: a) AH = AK b) AH2 = BH. CK Bài 2: Cho hình bình hành ABCD, đường thẳng a đi qua A lần lượt cắt BD, BC, DC theo thứ tự tại E, K, G. Chứng minh rằng: a) AE2 = EK. EG b) c) Khi đường thẳng a thay đổi vị trí nhưng vẫn qua A thì tích BK. DG có giá trị không đổi Bài 3: Cho tứ giác ABCD, các điểm E, F, G, H theo thứ tự chia trong các cạnh AB, BC, CD, DA theo tỉ số 1:2. Chứng minh rằng: a) EG = FH b) EG vuông góc với FH Bài 4: Cho ABC ( AB < AC) các phân giác BD, CE a) Đường thẳng qua D và song song với BC cắt AB ở K, chứng minh E nằm giữa B và K b) Chứng minh: CD > DE > BE Bài 5: Cho ABC có, AB = 8 cm, BC = 10 cm. a)Tính AC b)Nếu ba cạnh của tam giác trên là ba số tự nhiên liên tiếp thì mỗi cạnh là bao nhiêu? Bài 6: Cho ABC cân tại A và O là trung điểm của BC. Một điểm O di động trên AB, lấy điểm E trên AC sao cho . Chứng minh rằng a) DBOOCE b) DOE DBOOCE c) DO, EO lần lượt là phân giác của các góc BDE, CED d) khoảng cách từ O đến đoạn ED không đổi khi D di động trên AB Bài 6: Cho ABC cân tại A và O là trung điểm của BC. Một điểm O di động trên AB, lấy điểm E trên AC sao cho . Chứng minh rằng a) DBOOCE b) DOE DBOOCE c) DO, EO lần lượt là phân giác của các góc BDE, CED d) khoảng cách từ O đến đoạn ED không đổi khi D di động trên AB Bài 7: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AM, cắt AB, AC tại E và F a) chứng minh DE + DF không đổi khi D di động trên BC b) Qua A vẽ đường thẳng song song với BC, cắt FE tại K. Chứng minh rằng K là trung điểm của FE Bài 8: Cho hình bình hành ABCD có đường chéo lớn AC,tia Dx cắt SC, AB, BC lần lượt tại I, M, N. Vẽ CE vuông góc với AB, CF vuông góc với AD, BG vuông góc với AC. Gọi K là điểm đối xứng với D qua I. Chứng minh rằng a) IM. IN = ID2 b) c) AB. AE + AD. AF = AC2 Bài 9: Cho tam giác ABC có BC bằng trung bình cộng của AC và AB; Gọi I là giao điểm của các phân giác, G là trọng tâm của tam giác. Chứng minh: IG // BC Bài 10: Cho điểm M di động trên đáy nhỏ AB của hình thang ABCD, Gọi O là giao điểm của hai cạnh bên DA, CB. Gọi G là giao điểm của OA và CM, H là giao điểm của OB và DM. CMR: Khi M di động trên AB thì tổng không đổi Bài 11: Cho tam giác ABC (AB < AC), phân giác AD. Trên AB lấy điểm M, trên AC lấy điểm N sao cho BM = CN, gọi giao điểm của CM và BN là O, Từ O vẽ đường thẳng song song với AD cắt AC, AB tại E và F. Chứng minh rằng: AB = CF; BE = CA Bài 12: Cho tam giác ABC vuông tại A, (AC > AB), đường cao AH. Trên tia HC lấy D sao cho HD = HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. M là trung điểm BE. a) Chứng minh BEC đồng dạng với ADC. b) Tính số đo góc AHM. Bài 13: Cho tứ giác lồi ABCD. Tìm tập hợp điểm O nằm trong tứ giác sao cho hai tứ giác OBCD và OBAD có diện tích bằng nhau. (Không yêu cầu chứng minh phần đảo). Bài 14. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi E; F;G;H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC; CD; DA. M là giao điểm của CE và DF. a. Chứng minh: Tứ giác EFGH là hình vuông. b. Chứng minh DF CE và MAD cân. c .Tính diện tích MDC theo a. Bài 15: Cho tam giác ABC nhọn (AB AB), đường cao AH (HBC). Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE theo . Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng. Tính số đo của góc AHM Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: . Bài 19: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. Điểm E thuộc cạnh BC, điểm F thuộc cạnh AD sao cho CE = AF. Các đường thẳng AE, BF cắt đường thẳng CD theo thứ tự tại M và N. a.Chứng minh rằng: DN.CM = a2 b. Gọi K là giao điểm của NA và MB. Chưng minh rằng MKN = 900 c. Các điểm E, F có vị trí như thế nào thì MN có độ dài nhỏ nhất? Khi đó hãy tính diện tích của tam giác KMN theo a? Bài 20: 1) Gọi H là hình chiếu của đỉnh B trên đường chéo AC của hình chữ nhật ABCD, M và K theo thứ tự là trung điểm của AH và CD. Tính số đo của góc BMK. 2) Cho tam giác ABC nhọn trực tâm H, trên đoạn BH lấy điểm M và trên trên đoạn CH lấy điểm N sao cho . CMR AM = AN. ĐÁP ÁN Bài 1: Giải : Đặt AB = c, AC = b. BD // AC (cùng vuông góc với AB) nên Hay (1) AB // CF (cùng vuông góc với AC) nên Hay (2) Từ (1) và (2) suy ra: AH = AK b) Từ và suy ra (Vì AH = AK) AH2 = BH . KC Bài 2 a) Vì ABCD là hình bình hành và K BC nên AD // BK, theo hệ quả của định lí Ta-lét ta có: b) Ta có: ; nên (đpcm) c) Ta có: (1); (2) Nhân (1) với (2) vế theo vế ta có: không đổi (Vì a = AB; b = AD là độ dài hai cạnh của hình bình hành ABCD không đổi) Bài 3: Cho tứ giác ABCD, các điểm E, F, G, H theo thứ tự chia trong các cạnh AB, BC, CD, DA theo tỉ số 1:2. Chứng minh rằng: a) EG = FH b) EG vuông góc với FH Giải Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của CF, DG Ta có CM = CF = BC EM // AC (1) Tương tự, ta có: NF // BD (2) mà AC = BD (3) Từ (1), (2), (3) suy ra : EM = NF (a) Tương tự như trên ta có: MG // BD, NH // AC và MG = NH = AC (b) Mặt khác EM // AC; MG // BD Và AC BD EM MG (4) Tương tự, ta có: (5) Từ (4) và (5) suy ra (c) Từ (a), (b), (c) suy ra EMG = FNH (c.g.c) EG = FH b) Gọi giao điểm của EG và FH là O; của EM và FH là P; của EM và FN là Q thì mà (đối đỉnh), (EMG = FNH) Suy ra EO OP EG FH Bài 4: Cho ABC ( AB < AC) các phân giác BD, CE a) Đường thẳng qua D và song song với BC cắt AB ở K, chứng minh E nằm giữa B và K b) Chứng minh: CD > DE > BE Giải a) BD là phân giác nên (1) Mặt khác KD // BC nên (2) Từ (1) và (2) suy ra E nằm giữa K và B b) Gọi M là giao điểm của DE và CB. Ta có (Góc so le trong) mà E nằm giữa K và B nên > > > EB < DE Ta lại có > > (Vì = ) Suy ra CD > ED CD > ED > BE Bài 5: Cho ABC có, AB = 8 cm, BC = 10 cm. a)Tính AC b)Nếu ba cạnh của tam giác trên là ba số tự nhiên liên tiếp thì mỗi cạnh là bao nhiêu? Giải Cách 1: Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho:BD = BC ACD ABC (g.g) = AB(AB + BC) = 8(10 + 8) = 144 AC = 12 cm Cách 2: Vẽ tia phân giác BE của ABE ACB = 8(8 + 10) = 144 AC = 12 cm b) Gọi AC = b, AB = a, BC = c thì từ câu a ta có b2 = a(a + c) (1) Vì b > anên có thể b = a + 1 hoặc b = a + 2 + Nếu b = a + 1 thì (a + 1)2 = a2 + ac 2a + 1 = ac a(c – 2) = 1 a = 1; b = 2; c = 3(loại) + Nếu b = a + 2 thì a(c – 4) = 4 - Với a = 1 thì c = 8 (loại) - Với a = 2 thì c = 6 (loại) - với a = 4 thì c = 6 ; b = 5 Vậy a = 4; b = 5; c = 6 Bài 6: Cho ABC cân tại A và O là trung điểm của BC. Một điểm O di động trên AB, lấy điểm E trên AC sao cho . Chứng minh rằng a) DBOOCE b) DOE DBOOCE c) DO, EO lần lượt là phân giác của các góc BDE, CED d) khoảng cách từ O đến đoạn ED không đổi khi D di động trên AB Giải a) Từ và (gt) DBOOCE b) Từ câu a suy ra (1) Vì B, O ,C thẳng hàng nên (2) trong tam giác EOC thì (3) Từ (1), (2), (3) suy ra DOE và DBO có (Do DBOOCE) và (Do OC = OB) và nên DOE DBOOCE c) Từ câu b suy ra DO là phân giác của các góc BDE Củng từ câu b suy ra EO là phân giác của các góc CED c) Gọi OH, OI là khoảng cách từ O đến DE, CE thì OH = OI, mà O cố định nên OH không đổi OI không đổi khi D di động trên AB Bài 7: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AM, cắt AB, AC tại E và F a) chứng minh DE + DF không đổi khi D di động trên BC b) Qua A vẽ đường thẳng song song với BC, cắt FE tại K. Chứng minh rằng K là trung điểm của FE Giải a) DE // AM (1) DF // AM (2) Từ (1) và (2) suy ra DE + DF = = không đổi b) AK // BC suy ra FKA AMC (g.g) (3) (2) (Vì CM = BM) Từ (1) và (2) suy ra FK = EK hay K là trung điểm của FE Bài 8: Cho hình bình hành ABCD có đường chéo lớn AC,tia Dx cắt SC, AB, BC lần lượt tại I, M, N. Vẽ CE vuông góc với AB, CF vuông góc với AD, BG vuông góc với AC. Gọi K là điểm đối xứng với D qua I. Chứng minh rằng a) IM. IN = ID2 b) c) AB. AE + AD. AF = AC2 Giải a) Từ AD // CM (1) Từ CD // AN (2) Từ (1) và (2) suy ra = hay ID2 = IM. IN b) Ta có (3) Từ ID = IK và ID2 = IM. IN suy ra IK2 = IM. IN (4) Từ (3) và (4) suy ra c) Ta có AGB AEC AB. AE = AG(AG+CG) (5) CGB AFC (vì CB = AD) AF . AD = AC. CG AF . AD = (AG + CG) .CG (6) Cộng (5) và (6) vế theo vế ta có: AB. AE + AF. AD = (AG + CG) .AG + (AG + CG) .CG AB. AE + AF. AD = AG2 +2.AG.CG + CG2 = (AG + CG)2 = AC2 Vậy: AB. AE + AD. AF = AC2 Bài 9: Cho tam giác ABC có BC bằng trung bình cộng của AC và AB; Gọi I là giao điểm của các phân giác, G là trọng tâm của tam giác. Chứng minh: IG // BC Giải Gọi khoảng cách từ a, I, G đến BC lần lượt là AH, IK, GD Vì I là giao điểm của ba đường phân giác nên khoảng cách từ I đến ba cạnh AB, BC, CA bằng nhau và bằng IK. Vì I nằm trong tam giác ABC nên: SABC = SAIB + SBIC + SCIA BC.AH = IK(AB+BC+CA) (1) Mà BC = AB + CA = 2 BC (2) Thay (2) vào (1) ta có: BC. AH = IK. 3BC IK = AH (a) Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên: SBGC = SABC BC . GD = BC. AH GD = AH (b) Từ (a) và (b) suy ra IK = GD hay k/ cách từ I, G đến BC bằng nhau nên IG // BC Bài 10: Cho điểm M di động trên đáy nhỏ AB của hình thang ABCD, Gọi O là giao điểm của hai cạnh bên DA, CB. Gọi G là giao điểm của OA và CM, H là giao điểm của OB và DM. CMR: Khi M di động trên AB thì tổng không đổi Giải Qua O kẻ đường thẳng song với AB cắt CM, DM theo thứ tự ở I và K. Theo định lí Talét ta có: ; (1) Qua M vẽ đường thẳng vuông góc với AB cắt IK, CD theo thứ tự ở P và Q, ta có: không đổi vì FO là khoảng cách từ O đến AB, MQ là đường cao của hình thang nên không đổi (2). Từ (1) và (2) suy ra không đổi Bài 11: Cho tam giác ABC (AB < AC), phân giác AD. Trên AB lấy điểm M, trên AC lấy điểm N sao cho BM = CN, gọi giao điểm của CM và BN là O, Từ O vẽ đường thẳng song song với AD cắt AC, AB tại E và F. Chứng minh rằng: AB = CF; BE = CA Giải. AD là phân giác nên EI // AD (góc đồng vị) Mà (đồng vị); (đối đỉnh) Suy ra AFE cân tại A AE =AF (a) Aùp dụng định lí Talét vào ACD , với I là giao điểm của EF với BC ta có (1). AD là phân giác của nên (2) Từ (1) và (2) suy ra (3). Kẻ đường cao AG của AFE . BP // AG (P AD); CQ // AG (Q OI) thì = 900 Gọi trung điểm của BC là K, ta có BPK = CQK (g.c.g) CQ = BP BPD = CQI (g.c.g) CI = BD (4) Thay (4) vào (3) ta có CF = BA (b) Từ (a) và (b) suy ra BE = CA Bài 12: Cho tam giác ABC vuông tại A, (AC > AB), đường cao AH. Trên tia HC lấy D sao cho HD = HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. M là trung điểm BE. a) Chứng minh BEC đồng dạng với ADC. b) Tính số đo góc AHM. 12 a) Do DEC ABC (Hai tam giác vuông có chung) Xét BEC và ADC Có chung kết hợp (*) =>BECADC (g.c.g) b b) BECADC =>, AHD vuông cân tại H nên M trung điểm BE nên: AM = MB = ME BMA vuông cân tại M AB2 =2BM2 hay mà AB2 = BH.BC (HS phải c/m); BH.BC = BE.BMBHMBECADC 13 Giả sử O là điểm nằm trong tứ giác thỏa mãn: SOBCD =SOBAD. Từ O kẻ đường thẳng // BC cắt AB tại D1, cắt AC tại B1. Nối OC, OB, AC, BD và kẻ các đường cao ha, hb, hc như hình vẽ . Khi đó: SOBCD = SBCD+SBOD= SBODA = Vì B1D1//BD nên Từ (1) và (2) Từ đó HS lập luận suy ra B1D1 đi qua trrung điểm cuả AC. Vậy O nằm trên đoạn B1D1//BD và đi qua trung điểm AC Chứng minh: EFGH là hình thoi. Chứng minh có 1 góc vuông. Kết luận Tứ giác EFGH là Hình vuông mà vuông tại C vuông tại M . Hay CE DF. Gọi N là giao điểm của AG và DF. Chứng minh tương tự: AG DF GN//CM mà G là trung điểm DC nên N là trung điểm DM. Trong MAD có AN vừa là đường cao vừa là trung tuyến MAD cân tại A. Do đó : Mà : . Vậy : . Trong theo Pitago ta có : . Do đó : Bài 15: Cho tam giác ABC nhọn (AB AB), đường cao AH (HBC). Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE theo . Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng. Tính số đo của góc AHM Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: . 1 + Hai tam giác ADC và BEC có: Góc C chung. (Hai tam giác vuông CDE và CAB đồng dạng) Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c). Suy ra: (vì tam giác AHD vuông cân tại H theo giả thiết). Nên do đó tam giác ABE vuông cân tại A. Suy ra: 2 Ta có: (do ) mà (tam giác AHD vuông cân tại H) nên (do ) Do đó (c.g.c), suy ra: 3 Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác góc BAC. Suy ra: , mà Do đó: Bài 20: 1) Gọi H là hình chiếu của đỉnh B trên đường chéo AC của hình chữ nhật ABCD, M và K theo thứ tự là trung điểm của AH và CD. Tính số đo của góc BMK. 2) Cho tam giác ABC nhọn trực tâm H, trên đoạn BH lấy điểm M và trên trên đoạn CH lấy điểm N sao cho . CMR AM = AN. a K A B F E N D C M Từ gt AB // MN nên ta có: CM.DN = AB2 = a2. b Theo chứng minh trên: Nên ( vì BA = CB) Và ADN = MCB ( = 900) đồng dạng với MBC = AND Mà MBC + BMC = 900 AND + MBC = 900 Vậy MKN = 900 c Vì MN = ND + CD + CM Nên MN nhỏ nhất ND + CM nhỏ nhất (Vì DC không đổi) Áp dụng bất đẳng thức cosi ta có: ND + CM Dấu “ =” sảy ra khi CM = DN = a DF và CE lần lượt là đường trung bình của tam giác NBC và tam giác MAD. Hay E,F là trung điểm của BC và AD Vậy MN đạt GTNN bằng 3a khi E,F là trung điểm của BC và AD. Khí đó SKMN = SKAB + SNAD + SCBM + SABCD = SKAB + 2SABCD. Lại vì tam giác KAB vuông cân tại K nên đường cao ứng với cạnh AB có độ dài bằng Và SABCD = a2. Vậy SKMN = Bài 20: 1) Gọi H là hình chiếu của đỉnh B trên đường chéo AC của hình chữ nhật ABCD, M và K theo thứ tự là trung điểm của AH và CD. Tính số đo của góc BMK. 2) Cho tam giác ABC nhọn trực tâm H, trên đoạn BH lấy điểm M và trên trên đoạn CH lấy điểm N sao cho . CMR AM = AN. Lời giải 1) Từ hình vẽ ( khá chính xác ) ta dự đoán góc AIJ = 900.Dựa vào yếu tố trung điểm mà đề đã cho mà vẽ thêm hình tạo sự liên kết giữa I và J . Cách 1 : ( hình 1,2) Vẽ hình phụ khai thác yếu tố trung điểm Tóm tắt lời giải cho hình 1 Gọi P là trung điểm của AH => PI là đường trung bỡnh của tam giỏc AHD => PI//AD mà AD^ AB hì IP ^ AB và P là trực tâm của rABI . Từ đó tứ giác BPIJ là h.b.h ,Þ BP // IJ mà BP ^ AI nên JI ^ AI . 1) Gọi P,Q lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và C. Tam giác vuông AMC có đường cao MP => AM2=AP.AC Tam giác vuông ANB có đường cao NQ => AN2=AQ.AB Xột tam giỏc APB và AQC có: Góc A chung Góc APB=AQC=90 độ => tam giác đồng dạng => AP.AC=AQ.AB => AM2=AN2=> AM=AN