- Bất đẳng thức Bunhiacopxki: \[\left[ {{a^2} + {b^2}} \right]\left[ {{c^2} + {d^2}} \right] \ge {\left[ {ac + bd} \right]^2}\]
- Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: \[\left| {\left| {{z_1}} \right| - \left| {{z_2}} \right|} \right| \le \left| {{z_1} \pm {z_2}} \right| \le \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|\]
Quảng cáo
2. Một số dạng toán thường gặp
Dạng 1: Tìm số phức thỏa mãn điều kiện có mô đun nhỏ nhất, lớn nhất.
Phương pháp:
- Bước 1: Gọi số phức \[z = x + yi\left[ {x,y \in R} \right]\].
- Bước 2: Thay \[z\] và biểu thức đã cho tìm mối quan hệ của \[x,y\].
- Bước 3: Đánh giá biểu thức có được để tìm max, min, từ đó suy ra \[x,y \Rightarrow z\].
Ví dụ: Cho \[{z_1};{z_2}\] thỏa mãn \[\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 1;\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = 3.\] Tính max\[T = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|.\]
- \[8\]
- \[10\]
- \[4\]
- \[\sqrt {10} \]
Giải
Đặt \[{z_1} = {x_1} + {y_1}i;{z_2} = {x_2} + {y_2}i.\] \[[{x_1},{y_1},{x_2},{y_2} \in R]\]. Điều kiện đã cho trở thành
+] \[\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 1\]\[ \Rightarrow \left| {{x_1} + {y_1}i - {x_2} - {y_2}i} \right| = 1 \Leftrightarrow \sqrt {{{[{x_1} - {x_2}]}^2} + {{[{y_1} - {y_2}]}^2}} = 1\]
\[ \Leftrightarrow {x_1}^2 + {x_2}^2 + {y_1}^2 + {y_2}^2 - 2{x_1}{x_2} - 2{y_1}{y_2} = 1\] [1]
+] \[\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = 3 \Rightarrow \left| {{x_1} + {y_1}i + {x_2} + {y_2}i} \right| = 3\]
\[ \Leftrightarrow {x_1}^2 + {x_2}^2 + {y_1}^2 + {y_2}^2 + 2{x_1}{x_2} + 2{y_1}{y_2} = 9\] [2]
Cộng vế với vế của [1] và [2] ta được \[{x_1}^2 + {x_2}^2 + {y_1}^2 + {y_2}^2 = 5\]
+] \[T = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = \sqrt {{x_1}^2 + {y_1}^2} + \sqrt {{x_2}^2 + {y_2}^2} \]
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được
\[T = 1.\sqrt {{x_1}^2 + {y_1}^2} + 1.\sqrt {{x_2}^2 + {y_2}^2} \le \sqrt {\left[ {1 + 1} \right].\left[ {{x_1}^2 + {x_2}^2 + {y_1}^2 + {y_2}^2} \right]} \]
\[ = \sqrt {2.5} = \sqrt {10} \Rightarrow \] \[\max T = \sqrt {10} .\]
Đáp án D
Có thể sử dụng phương pháp hình học để giải các bài tập dạng này.
Phương pháp:
Bước 1: Tìm tập hợp điểm biểu diễn của số phức. Có 4 tập hợp điểm thường gặp
+] Đường thẳng
+] Đường tròn
+] Đường elip
+] Parabol
Bước 2: Vẽ tập hợp điểm biểu diễn của số phức. Từ đó tìm max, min của mô đun
Số phức \[z = x + yi[x,y \in R]\] có điểm biểu diễn là \[M[x,y]\]. Mô đun của số phức \[z\] là độ dài đoạn thẳng \[OM\] với \[O\] là gốc tọa độ.
Ví dụ: Cho số phức \[z = x + yi\] thỏa mãn \[\left| {z - 2 - 4i} \right| = \left| {z - 2i} \right|\] đồng thời có mô đun nhỏ nhất. Tính \[N = {x^2} + {y^2}.\]
- \[N = 8\]
- \[N = 10\]
- \[N = 16\]
- \[N = 26\]
Giải
Gọi \[M[x,y]\] là điểm biểu diễn của số phức \[z = x + yi\]
+] \[\left| {z - 2 - 4i} \right| = \left| {z - 2i} \right|\]\[ \Rightarrow {[x - 2]^2} + {[y - 4]^2} = {x^2} + {[y - 2]^2} \Leftrightarrow - 4x + 4 - 8y + 16 = - 4y + 4\]
\[ \Leftrightarrow 4x + 4y = 16 \Leftrightarrow x + y - 4 = 0\]
Suy ra tập hợp điểm biểu diễn của \[z\] là một đường thẳng \[x + y - 4 = 0\]
+] \[N = {x^2} + {y^2} = {\left| z \right|^2}\]
\[ \Rightarrow N\]min\[ \Leftrightarrow \left| z \right|\]min\[ \Leftrightarrow OM\]min \[ \Rightarrow OM \bot d:x + y - 4 = 0\]
\[ \Rightarrow M[2,2]\] \[ \Rightarrow N = {2^2} + {2^2} = 8\]
Đáp án A.
Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN của mô đun số phức thỏa mãn điều kiện cho trước.
Phương pháp:
- Sử dụng các bất đẳng thức Cô si, Bunhiacopxki và bất đẳng thức tam giác.
Ví dụ: Cho \[z\] thỏa mãn \[\left| {z - 2 - 4i} \right| = \sqrt 5 .\] Tìm max\[\left| z \right|.\]
- \[3\sqrt 5 \]
- \[5\]
- \[\sqrt 5 \]
- \[\sqrt {13} \]
Giải
Dấu hiệu: Đề bài yêu cầu tính max của một mô đun ta sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đôi.
Ta có: \[\left| z \right| - \left| { - 2 - 4i} \right| \le \left| {z - 2 - 4i} \right| \Leftrightarrow \left| z \right| - \sqrt {20} \le \sqrt 5 \Leftrightarrow \left| z \right| \le \sqrt {20} + \sqrt 5 = 3\sqrt 5 \]
\[ \Rightarrow \] max\[\left| z \right| = 3\sqrt 5 \]
Đáp án A.
- Dạng lượng giác của số phức
- Các dạng toán về điểm biểu diễn số phức
- Bài 6 trang 144 SGK Giải tích 12 Giải bài 6 trang 144 SGK Giải tích 12. Trong các kết luận sau, kết luận nào là sai?
- Bài 5 trang 144 SGK Giải tích 12 Giải bài 5 trang 144 SGK Giải tích 12. Biết rằng nghịch đảo của số phức z bằng số phức liên hợp của nó, trong các kết luận sau, kết luận nào là đúng?
- Bài 4 trang 144 SGK Giải tích 12 Giải bài 4 trang 144 SGK Giải tích 12. Đẳng thức nào trong các đẳng thức sau là đúng?
\>> Xem thêm
Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay
\>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.