Biểu thức f(x) = 2 - 3x - (5x - 2) nhận giá trị dương khi x thuộc khoảng nào ?

§3. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHAT A. KIẾN THỨC CĂN BẢN Nhị thức bậc nhất Nhị thức bậc nhất đối với X là biểu thức dạng f(x) = ax + b, trong đó a, b là hai số đã cho, a * 0. Dấu của nhị thức bậc nhất Nhị thức f(x) = ax + b có giá trị cùng dấu với hệ số a khi X lấy các giá trị trong khoảng ;+»y trái dấu với hệ số a khi X lấy các giá trị trong khoảng f-oo;-—1. Ta có bảng: X b -00 a +00 f(x) = ax+b trái dấu với a 0 cùng dâu với a 3. Giải bất phương trình chứa ẩn ở mẫu ở đây, ta chỉ xét các bất phương trình có thể đưa về một trong các dạng ° ’ tron9 đó P(x) và Q(x) 'à tích của Q(x) Q(x) Q(x) Q(x) y v ' những nhị thức bậc nhất. Để giải các bất phương trình như vậy, ta lập bảng P(x) , . , .. ... . , i. .... xép dấu của phân thức • Khi !ập bảng xét dấu, nhớ răng phải ghi tât cả các nghiệm của hai đa thức P(x) và Q(x) lên trục số. Trong hàng cuối, tại những điểm mà Q(x) = 0, ta dùng kí hiệu I I để chỉ tại đó bất phương trình đã cho không xác định. 4. Giải phương trình, bất phương trình chứa dâu giá trị tuyệt đôi Cách 1: Một trong những cách giải bất phương trình hay bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối là sử dụng định nghĩa để khử dấu giá trị tuyệt đối. Ta thường phải xét phương trình hay bất phương trình trong nhiều khoảng (đoạn, nửa khoảng) khác nhau, trên đó mỗi biểu thức nằm trong dấu giá trị tuyệt đối đều có dấu xác định. Cách 2: Sử dụng biến đổi tương đương: ÍB>0 IAI = B IAI > B A = ±B A >B A <-B IAI -B < A < B B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP 1. Xét dấu các biểu thức a) f(x) = (2x - 1)(x + 3); c) t(x)= ~~4 ; 3x +1 2-x b) f(x) = (-3x - 3)(x + 2)(x + 3); d) f(x) = 4x2-1. a) 2x-l = 0x=i;x + 3 = 0ox = -3 2 Bảng xét dấu X —00 -3 1 2 +00 2x -1 - - 0 + X + 3 - 0 + + f[x) + 0 - 0 + b) -3x - 3 = 0 X = -1; x+2=0ox= -2; x + 3 = 0x = -3 Bảng xét dấu X —X -3 -ỉ ỉ -1 +00 -3x - 3 + + + 0 - X + 2 - 0 + + X + 3 - 0 + + + f(x) + 0-0+0 - c) f(x) ,-4(2-x)-3(3x + l) -5X-11 (3x + l)(2-x) (3x + l)(2-x) Bảng xét dấu X —X 11 5 1 3 2 +00 -5x - 11 + 0 — - - 3x + 1 - 0 + + 2 - X + + + 0 fix) - 0 + II - II + d) f(x) = 4x2 - 1 - (2x -l)(2x + 1) Bảng xét dâu X —X 1 2 1 2 +00 2x -1 - 0 + 2x + 1 - 0 + + fix) + 0 0 + 2. Giải các bất phương trình: a) —g— < 5 . ; b) —!—<——— ; X -1 2x -1 X +1 (x -1)2 . 1 , 2 3 .. x2-3x + 1 . a) Ta có: —-— < X2 — 1 X - 1 2x - 1 X - 1 2x - 1 . -*+3 so (x-l)(2x-l) 4x - 2 - 5x + 5 ~ (x-l)(2x-l) Tập nghiệm bất phương trình là: s = ( ^ ; 1) u [3; +ao) 2 1 Ị_ X + 1 (x - l)2 x + l (x-1)2 X2 -3x (x-l)2(x + l) ■ (x-ir (x-l)2(x + l) x(x - 3) (x-l)2(x + l) Bảng xét dấu X —X 1 2 1 3 +00 -X + 3 + + + ( X - 1 - - 0 + + 2x - 1 0 + + + -X + 3 + c (x-l)(2x-l) - + Bảng xét c X ấu 1 3 +00 -00 -1 0 X - - 0 + + + X - 3 - - - - 0 + (X - l)2 + + + ) + + X + 1 0 + + + + x(x - 3) - (x-l)2(x + l) + u u + . .. Tập nghiệm bất phương trình là: s = (-»; -1) u (0; 1) Ư (1; 3). . 1 2 3 _ í , 2 3 . X x + 4 x + 3 X x + 4 X + 3 o (x + 4)(x + 3) + 2x(x + 3) - 3x(x + 4) < 0 X + 12 < 0 x(x + 3)(x + 4) x(x + 3)(x + 4) X + 12 + + + + X - - - 0 + X + 3 - - - 0 + + X + 4 - - 0 + + + X +12 x(x + 3)(x + 4) + ) + - + Bảng xét dấu -12 -3 +« Tập nghiệm bâ't phương trình là: s = (-12; -4) u (-3; 0). Bảng xét dâu X - 2 -00 -1 — 1 +SO 3 -3x + 2 + + 0 X - 1 - 0 + X + 1 0 + + + -3x + 2 x2-l + 0 + - d) xz - 3x + 1 . X2 - 3x + 1 x2-l x2-l -1 -3x + 2 (x-l)(x + l) Tập nghiệm bất phương trình là: s = (-1; -|) u (1; +oo). 3 3. Giải các bất phương trình a)l5x-4|>6; a) Ta có: I 5x - 4 I >6 5x - 4 > 6 5x - 4 < -6 X > 2 2 X < —9 5 b) 10 x-1 Vậy: s = (-oo; -± ] u [2; +oo). 5 b) -5 10 x-1 o —< —2-- (1) |x + 2| |x - l| Điều kiện: x*-2 vàx* 1. Tacó(l) IX - 11 < 2 I X + 21 -» (x - l)2 - 4(x + 2)2 < 0 (x - 1 - 2x - 4)(x -l + 2x + 4) (—X - 5)(3x + 3) (x + 5)(3x + 3) > 0 Bảng xét dấu: X —00 -5 -1 +00 X + 5 0 + + 3x + 3 - 0 + (x + 5)(3x + 3) + 0 - ° + s = (-ao; -5) u (-1; + oc) \ 11} = (-ao; -5) u (-1; 1) u (1; +oo) c. BÀI TẬP LÀM THÊM 1. Xét dấu các biểu thức sau: a) (5 - 3x)(2x + 1); b) 7-4x c) (X2- 1)(1 - 3x); 2x + 1 2. Phân tích thành nhân tử rồi xét dấu đa thức sau: d) 3- x + 2 3x-1 a) 4 - 25x2: 3. Xét dấu biểu thức: a) X -6x + 5 b) -X3 + 7x - 6; 1 1 X2 -6x + 8 ’ 4. Giải các bất phương trình: 2x-1 x + 1 a) b) x + 2 2x + 1 c) X2 - X - 2 72 , |x| — 2 c) x + 1 2x-1 c) I3x - 5I < 3; b) Ix + 21 + Ix - 11 >5; d) lx-21 >2x- 3.

Với giải Hoạt động 1 trang 100 sgk Toán lớp 10 Đại số được biên soạn lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập môn Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải Toán 10 Bài 5: Dấu của tam thức bậc hai

Video Giải Hoạt động 1 trang 100 Toán lớp 10 Đại số

Hoạt động 1 trang 100 Toán lớp 10 Đại số:

1) Xét tam thức bậc hai f(x) = x2 – 5x + 4. Tính f(4), f(2), f(–1), f(0) và nhận xét về dấu của chúng.

2) Quan sát đồ thị hàm số y = x2 – 5x + 4 (h. 32a) và chỉ ra các khoảng trên đó đồ thị ở phía trên, phía dưới trục hoành.

3) Quan sát các đồ thị trong hình 32 và rút ra mối liên hệ về dấu của giá trị f(x) = ax2 + bx + c ứng với x tùy theo dấu của biệt thức Δ=b2−4ac.

Lời giải:

1) Ta có:

f(x) = x2 – 5x + 4

f(4) = 42 − 5.4 + 4 = 0

f(2) = 22 − 5.2 + 4 = −2 < 0

f(−1) = (−1)2 − 5.(−1) + 4 = 10 > 0

f(0) = 02 − 5.0 + 4 = 4 > 0

2) Nhìn vào đồ thị, ta thấy:

Với 1 < x < 4 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành.

Với x < 1 hoặc x > 4 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành.

3)

+ Hình 32a) có Δ>0 thì f(x) cùng dấu với a khi x nằm ngoài khoảng hai nghiệm của phương trình f(x) = 0; f(x) trái dấu với a khi x nằm trong khoảng hai nghiệm của phương trình f(x) = 0.

+ Hình 32b) có Δ=0 thì f(x) cùng dấu với a, trừ khi x=−b2a

+ Hình 32c) có Δ<0 thì f(x) cùng dấu với a.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 hay, chi tiết khác:

Hoạt động 2 trang 103 Toán 10 Đại số: Xét dấu các tam thức a) f(x) = 3x2 + 2x – 5...

Hoạt động 3 trang 103 Toán 10 Đại số: Trong các khoảng nào a) f(x) = –2x2 + 3x + 5...

Bài 1 trang 105 Toán 10 Đại số: Xét dấu các tam thức bậc hai a) 5x2 – 3x + 1...

Bài 2 trang 105 Toán 10 Đại số: Lập bảng xét dấu các biểu thức sau...

Bài 3 trang 105 Toán 10 Đại số: Giải các bất phương trình sau a) 4x2 – x + 1 < 0...

Bài 4 trang 105 Toán 10 Đại số: Tìm các giá trị của tham số m để...

Xem thêm các sách tham khảo liên quan:

Sách giải toán 10 Bài 5: Dấu của tam thức bậc hai giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 10 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:

Trả lời câu hỏi Toán 10 Đại số Bài 5 trang 100:

1) Xét tam thức bậc hai f(x) = x2 – 5x + 4. Tính f(4), f(2), f(-1), f(0) và nhận xét về dấu của chúng.

2) Quan sát đồ thị hàm số y = x2 – 5x + 4 (h.32a)) và chỉ ra các khoảng trên đó đồ thị ở phía trên, phía dưới trục hoành.

3) Quan sát các đồ thị trong hình 32 và rút ra mối liện hệ về dấu của giá trị f(x) = ax2 + bx + c ứng với x tùy theo dấu của biệt thức Δ = b2 – 4ac.

Lời giải

a) f(x) = x2 – 5x +4

f(4)= 0; f(2) = -2 < 0; f(-1)= 10 > 0; f(0) = 4 > 0;

b) Với 1 < x < 4 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành.

Với x < 1 hoặc x > 4 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành.

c) Hình 32a) có Δ > 0 ⇒ f(x) cùng dấu với a khi x nằm ngoài khoảng hai nghiệm của phương trình f(x) = 0; f(x) trái dấu với a khi x nằm trong khoảng hai nghiệm của phương trình f(x) = 0.

Hình 32b) có Δ = 0 ⇒ f(x) cùng dấu với a, trừ khi x = – b/2a.

Hình 32c) có Δ < 0 ⇒ f(x) cùng dấu với a.

Trả lời câu hỏi Toán 10 Đại số Bài 5 trang 103: Xét dấu các tam thức

a) f(x) = 3x2 + 2x – 5;

b) g(x) = 9x2 – 24x + 16.

Lời giải

a) f(x) = 3x2 + 2x – 5 có hai nghiệm phân biệt x = 1; x = -5/3, hệ số a = 3 >0.

Ta có bảng xét dấu f(x) như sau:

b) g(x) = 9x2 – 24x + 16 = (3x – 4)2 > 0 ∀x.

Vậy g(x) > 0 ∀x.

Trả lời câu hỏi Toán 10 Đại số Bài 5 trang 103: Trong các khoảng nào

a) f(x) = -2x2 + 3x + 5 trái dấu với hệ số của x2 ?

b) g(x) = -3x2 + 7x – 4 cùng dấu với hệ số của x2 ?

Lời giải

a) Với -1 < x < 5/2 thì f(x) trái dấu với hệ số của x2

b) Với x < 1 hoặc x > 4/3 thì g(x) cùng dấu với hệ số của x2

a) 5x2 – 3x + 1 ;      b) -2x2 + 3x + 5

c) x2 + 12x + 36 ;      d) (2x – 3)(x + 5)

Lời giải

a) Tam thức f(x) = 5x2 – 3x + 1 có Δ = 9 – 20 = –11 < 0 nên f(x) cùng dấu với hệ số a.

Mà a = 5 > 0

Do đó f(x) > 0 với ∀ x ∈ R.

b) Tam thức f(x) = –2x2 + 3x + 5 có Δ = 9 + 40 = 49 > 0.

Tam thức có hai nghiệm phân biệt x1 = –1; x2 = 5/2, hệ số a = –2 < 0

Ta có bảng xét dấu:

Vậy f(x) > 0 khi x ∈ (–1; 5/2)

f(x) = 0 khi x = –1 ; x = 5/2

f(x) < 0 khi x ∈ (–∞; –1) ∪ (5/2; +∞)

c) Tam thức f(x) = x2 + 12x + 36 có một nghiệm là x = –6, hệ số a = 1 > 0.

Ta có bảng xét dấu:

Vậy f(x) > 0 với ∀ x ≠ –6

f(x) = 0 khi x = –6

d) f(x) = (2x – 3)(x + 5) = 2x2 + 7x – 15

Tam thức f(x) = 2x2 + 7x – 15 có hai nghiệm phân biệt x1 = 3/2; x2 = –5, hệ số a = 2 > 0.

Ta có bảng xét dấu:

Vậy f(x) > 0 khi x ∈ (–∞; –5) ∪ (3/2; +∞)

f(x) = 0 khi x = –5 ; x = 3/2

f(x) < 0 khi x ∈ (–5; 3/2)

a) f(x) = (3x2 – 10x + 3)(4x – 5)

b) f(x) = (3x2 – 4x)(2x2 – x – 1)

c) f(x) = (4x2 – 1)(-8x2 + x – 3)(2x + 9)

Lời giải

a) f(x) = (3x2 – 10x + 3)(4x – 5)

+ Tam thức 3x2 – 10x + 3 có hai nghiệm x = 1/3 và x = 3, hệ số a = 3 > 0 nên mang dấu + nếu x < 1/3 hoặc x > 3 và mang dấu – nếu 1/3 < x < 3.

+ Nhị thức 4x – 5 có nghiệm x = 5/4.

Ta có bảng xét dấu:

Kết luận:

f(x) > 0 khi x ∈ (1/3; 5/4) ∪ x ∈ (3; +∞)

f(x) = 0 khi x ∈ {1/3; 5/4; 3}

f(x) < 0 khi x ∈ (–∞; 1/3) ∪ (5/4; 3)

b) f(x) = (3x2 – 4x)(2x2 – x – 1)

+ Tam thức 3x2 – 4x có hai nghiệm x = 0 và x = 4/3, hệ số a = 3 > 0.

Do đó 3x2 – 4x mang dấu + khi x < 0 hoặc x > 4/3 và mang dấu – khi 0 < x < 4/3.

+ Tam thức 2x2 – x – 1 có hai nghiệm x = –1/2 và x = 1, hệ số a = 2 > 0

Do đó 2x2 – x – 1 mang dấu + khi x < –1/2 hoặc x > 1 và mang dấu – khi –1/2 < x < 1.

Ta có bảng xét dấu:

Kết luận:

f(x) > 0 ⇔ x ∈ (–∞; –1/2) ∪ (0; 1) ∪ (4/3; +∞)

f(x) = 0 ⇔ x ∈ {–1/2; 0; 1; 4/3}

f(x) < 0 ⇔ x ∈ (–1/2; 0) ∪ (1; 4/3)

c) f(x) = (4x2 – 1)(–8x2 + x – 3)(2x + 9)

+ Tam thức 4x2 – 1 có hai nghiệm x = –1/2 và x = 1/2, hệ số a = 4 > 0

Do đó 4x2 – 1 mang dấu + nếu x < –1/2 hoặc x > 1/2 và mang dấu – nếu –1/2 < x < 1/2

+ Tam thức –8x2 + x – 3 có Δ = –47 < 0, hệ số a = –8 < 0 nên luôn mang dấu –.

+ Nhị thức 2x + 9 có nghiệm x = –9/2.

Ta có bảng xét dấu:

Kết luận:

f(x) > 0 khi x ∈ (–∞; –9/2) ∪ (–1/2; 1/2)

f(x) = 0 khi x ∈ {–9/2; –1/2; 1/2}

f(x) < 0 khi x ∈ (–9/2; –1/2) ∪ (1/2; +∞)

+ Tam thức 3x2 – x có hai nghiệm x = 0 và x = 1/3, hệ số a = 3 > 0.

Do đó 3x2 – x mang dấu + khi x < 0 hoặc x > 1/3 và mang dấu – khi 0 < x < 1/3.

+ Tam thức 3 – x2 có hai nghiệm x = √3 và x = –√3, hệ số a = –1 < 0

Do đó 3 – x2 mang dấu – khi x < –√3 hoặc x > √3 và mang dấu + khi –√3 < x < √3.

+ Tam thức 4x2 + x – 3 có hai nghiệm x = –1 và x = 3/4, hệ số a = 4 > 0.

Do đó 4x2 + x – 3 mang dấu + khi x < –1 hoặc x > 3/4 và mang dấu – khi –1 < x < 3/4.

Ta có bảng xét dấu:

Kết luận:

f(x) > 0 ⇔ x ∈ (–√3; –1) ∪ (0; 1/3) ∪ (3/4; √3)

f(x) = 0 ⇔ x ∈ {±√3; 0; 1/3}

f(x) < 0 ⇔ x ∈ (–∞; –√3) ∪ (–1; 0) ∪ (1/3; 3/4) ∪ (√3; +∞)

f(x) không xác định khi x = -1 và x = 3/4.

a) 4x2 – x + 1 < 0

b) -3x2 + x + 4 ≥ 0

c)

d) x2 – x – 6 ≤ 0

Lời giải

a) 4x2 – x + 1 < 0

Cách 1:

Xét tam thức f(x) = 4x2 – x + 1 có Δ = -15 < 0; a = 4 > 0 nên f(x) > 0 ∀x ∈ R

Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm.

Cách 2:

với ∀x ∈ R.

Vậy bất phương trình 4x2 – x + 1 < 0 vô nghiệm.

b) -3x2 + x + 4 ≥ 0

Xét tam thức f(x) = -3x2 + x + 4 có hai nghiệm x = -1 và x = 4/3, hệ số a = -3 < 0.

Do đó f(x) ≥ 0 khi -1 ≤ x ≤ 4/3.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: T = [-1; 4/3]

c) Điều kiện xác định

+ Nhị thức x + 8 có nghiệm x = -8

+ Tam thức x2 – 4 có hai nghiệm x = 2 và x = -2, hệ số a = 1 > 0

Do đó x2 – 4 mang dấu + khi x < -2 hoặc x > 2 và mang dấu – khi -2 < x < 2.

+ Tam thức 3x2 + x – 4 có hai nghiệm x = 1 và x = -4/3, hệ số a = 3 > 0.

Do đó 3x2 + x – 4 mang dấu + khi x < -4/3 hoặc x > 1

mang dấu – khi -4/3 < x < 1.

Ta có bảng biến thiên

Dựa vào BBT ta thấy

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: T = (-∞; -8) ∪ (-2; -4/3) ∪ (1; 2)

d) x2 – x – 6 ≤ 0

Xét tam thức f(x) = x2 – x – 6 có hai nghiệm x = -2 và x = 3, hệ số a = 1 > 0

Do đó f(x) ≤ 0 khi -2 ≤ x ≤ 3.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: T = [-2; 3]

a) (m – 2)x2 + 2(2m – 3)x + 5m – 6 = 0

b) (3 – m)x2 – 2(m + 3)x + m + 2 = 0

Lời giải

a) (m – 2)x2 + 2(2m – 3)x + 5m – 6 = 0 (1)

– Nếu m – 2 = 0 ⇔ m = 2, khi đó phương trình (1) trở thành:

2x + 4 = 0 ⇔ x = -2 hay phương trình (1) có một nghiệm

Do đó m = 2 không phải là giá trị cần tìm.

– Nếu m – 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2 ta có:

Δ’ = (2m – 3)2 – (m – 2)(5m – 6)

= 4m2 – 12m + 9 – 5m2 + 6m + 10m – 12

= -m2 + 4m – 3 = (-m + 3)(m – 1)

(1) vô nghiệm ⇔ Δ’ < 0 ⇔ (-m + 3)(m – 1) < 0 ⇔ m ∈ (-∞; 1) ∪ (3; +∞)

Vậy với m ∈ (-∞; 1) ∪ (3; +∞) thì phương trình vô nghiệm.

b) (3 – m)x2 – 2(m + 3)x + m + 2 = 0 (2)

– Nếu 3 – m = 0 ⇔ m = 3 khi đó (2) trở thành -6x + 5 = 0 ⇔ x = 5/6

Do đó m = 3 không phải là giá trị cần tìm.

– Nếu 3 – m ≠ 0 ⇔ m ≠ 3 ta có:

Δ’ = (m + 3)2 – (3 – m)(m + 2)

= m2 + 6m + 9 – 3m – 6 + m2 + 2m

= 2m2 + 5m + 3 = (m + 1)(2m + 3)

(2) vô nghiệm ⇔Δ’ < 0⇔ (m + 1)(2m + 3) < 0 ⇔ m ∈ (-3/2; -1)

Vậy với m ∈ (-3/2; -1) thì phương trình vô nghiệm.