Phần Giới hạn của hàm số Toán lớp 11 với các dạng bài tập chọn lọc có trong Đề thi THPT Quốc gia và trên 100 bài tập trắc nghiệm chọn lọc, có lời giải. Vào Xem chi tiết để theo dõi các dạng bài Giới hạn của hàm số hay nhất tương ứng.
- Dạng 1: Tìm giới hạn của hàm số bằng định nghĩa Xem chi tiết
- Tìm giới hạn hàm số dạng vô định Xem chi tiết
- Dạng 2: Tìm giới hạn hàm số dạng 0/0, dạng vô cùng trên vô cùng Xem chi tiết
- Dạng 3: Tìm giới hạn hàm số dạng 0 nhân vô cùng Xem chi tiết
- Dạng 4: Tìm giới hạn hàm số dạng vô cùng trừ vô cùng, vô cùng trên vô cùng Xem chi tiết
- Cách tính giới hạn của hàm số có chứa căn thức [cực hay, chi tiết] Xem chi tiết
- Cách tính giới hạn của hàm số có chứa trị tuyệt đối [cực hay, chi tiết] Xem chi tiết
- Cách tính giới hạn của hàm số lượng giác [cực hay, chi tiết] Xem chi tiết
- Cách chứng minh phương trình có nghiệm [cực hay, chi tiết] Xem chi tiết
- 60 bài tập trắc nghiệm Giới hạn của hàm số có đáp án [phần 1] Xem chi tiết
- 60 bài tập trắc nghiệm Giới hạn của hàm số có đáp án [phần 2] Xem chi tiết
Cách tìm giới hạn của hàm số bằng định nghĩa
A. Phương pháp giải & Ví dụ
Ta sử dụng phương pháp chung để làm các bài toán dạng này.
Ví dụ minh họa
Bài 1: Tìm các giới hạn sau:
Hướng dẫn:
Ta có:
Bài 2: Xét xem các hàm số sau có giới hạn tại các điểm chỉ ra hay không? Nếu có hay tìm giới hạn đó?
Hướng dẫn:
Bài 3: Tìm m để các hàm số:
Hướng dẫn:
Ta có:
Bài 4: Tìm các giới hạn sau:
Hướng dẫn:
Ta có:
Cách tìm giới hạn hàm số dạng 0 nhân vô cùng
A. Phương pháp giải & Ví dụ
Bài toán: Tính giới hạn
Ta có thể biến đổi về dạng 0/0 hoặc ∞/∞ rồi dùng các phương pháp tính giới hạn của hai dạng kia để làm.
Tuy nhiên, trong nhiều bài tập ta chỉ cần biến đổi đơn giản như đưa biểu thức vào trong [hoặc ra ngoài] dấu căn, quy đồng mẫu thức …. Là có thể đưa về dạng quen thuộc.
Ví dụ minh họa
Bài 1: Tính giới hạn:
Hướng dẫn:
Ta có:
Bài 2: Tính giới hạn:
Hướng dẫn:
Ta có:
Bài 3: Tính giới hạn:
Hướng dẫn:
Cách tính giới hạn của hàm số có chứa trị tuyệt đối
A. Phương pháp giải
- Dạng 1: Tìm giới hạn của với f[x] là các hàm đa thức, phân thức,…
- Bước 1: Tính giới hạn của [đưa về các giới hạn đã biết để tính]
- Bước 2: Suy ra
- Dạng 2: Tìm giới hạn của
- Bước 1: Xét dấu của các biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối để bỏ dấu trị tuyệt đối
● Sử dụng tính chất của giá trị tuyệt đối:
● Sử dụng định nghĩa về giới hạn một bên:
- Bước 2: Thực hiện tính toán, đưa về các giới hạn của đa thức, phân thức,… thường gặp rồi tìm giới hạn.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau
Hướng dẫn giải:
- Ta có x →[-3]+ suy ra x + 3 > 0 thì 2x + 6 = 2[x + 3] > 0
Do đó |2x + 6| = 2x + 6
- Ta có x →[-5]- suy ra x + 5 < 0 thì 3x + 15 = 3[x + 5] < 0
Do đó |3x + 15| = –3x – 15
Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau
Hướng dẫn giải:
Ví dụ 3: Giá trị của giới hạn
Hướng dẫn giải:
Ta tính giới hạn như hàm phân thức bình thường.
Đáp án C
Bài tập tự luyện
Bài 1. Tính lim5n3−3n2+64n2−3n3+7n.
Bài 2. Giới hạn limn4−n2−52n3−7n bằng bao nhiêu?
Bài 3. Giới hạn limn4n+12+nn2+1 bằng bao nhiêu?
Bài 4. Tính giới hạn của dãy số D = limx→0x+1−x2+x+1x.
Bài 5. Cho hàm số: fx=x2+11+xx