I. Các kiến thức cần nhớ
1. Lũy thừa với số mũ tự nhiên
Lũy thừa bậc n của một số hữu tỉ $x$ , kí hiệu là \[{x^n}\], là tích của $n$ thừa số $x$ [$n$ là một số tự nhiên lớn hơn $1$ ]: \[{x^n} = \underbrace {x.x...x}_n\] \[\left[ {x \in \mathbb{Q},n \in \mathbb{N},n > 1} \right]\]
Quy ước: \[{x^1} = x;\] \[{x^0} = 1\] \[\left[ {x \ne 0} \right]\]
Ví dụ: \[{2^3} = 2.2.2\]
Chú ý: Khi viết lũy thừa dưới dạng \[\dfrac{a}{b}\left[ {a,\,b \in \mathbb{Z};\,b \ne 0} \right]\] , ta có \[{\left[ {\dfrac{a}{b}} \right]^n} = \dfrac{{{a^n}}}{{{b^n}}}\]
2. Tích và thương của hai lũy thừa cùng cơ số
+ Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng hai số mũ:
\[{x^m}.{x^n} = {x^{m + n}}\] [với \[x\] là số hữu tỉ]
+ Khi chia hai lũy thừa cùng cơ số khác 0, ta giữ nguyên cơ số và lấy số mũ của lũy thừa bị chia trừ đi số mũ của lũy thừa chia: \[{x^m}:{x^n} = {x^{m - n}}\]\[\left[ {x \ne 0,m \ge n} \right]\]
Ví dụ: \[{3^5}{.3^2} = {3^{5 + 2}} = {3^7};\]\[{2^7}:{2^2} = {2^{7 - 2}} = {2^5}\].
3. Lũy thừa của lũy thừa
Khi tính lũy thừa của một lũy thừa, ta giữ nguyên cơ số và nhân hai số mũ: \[{\left[ {{x^m}} \right]^n} = {x^{m.n}}\]
Ví dụ: \[{\left[ {{2^3}} \right]^4} = {2^{3.4}} = {2^{12}}\].
4. Lũy thừa của một tích
Lũy thừa của một tích bằng tích các lũy thừa: \[{\left[ {x.y} \right]^n} = {x^n}.{y^n}\]
Ví dụ: \[{\left[ {2.3} \right]^2} = {2^2}{.3^2} = 4.9 = 36\]
5. Lũy thừa của một thương
Lũy thừa của một thương bằng thương các lũy thừa: \[{\left[ {\dfrac{x}{y}} \right]^n} = \dfrac{{{x^n}}}{{{y^n}}}\]\[\left[ {y \ne 0} \right]\]
Ví dụ: \[{\left[ {\dfrac{2}{3}} \right]^3} = \dfrac{{{2^3}}}{{{3^3}}} = \dfrac{8}{{27}}\]
II. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Tính tích các lũy thừa, thương các lũy thừa, lũy thừa của một tích và lũy thừa của một thương
Phương pháp:
Sử dụng định nghĩa lũy thừa và các công thức \[{x^m}.{x^n} = {x^{m + n}}\]; \[{x^m}:{x^n} = {x^{m - n}}\]\[\left[ {x \ne 0,m \ge n} \right];\]\[{\left[ {{x^m}} \right]^n} = {x^{m.n}};\] \[{\left[ {\dfrac{x}{y}} \right]^n} = \dfrac{{{x^n}}}{{{y^n}}}\]\[\left[ {y \ne 0} \right].\]
Dạng 2: Tìm số mũ hoặc cơ số của một lũy thừa
Phương pháp:
Ta sử dụng tính chất nếu \[{a^m} = {a^n}\] thì \[m = n\,\,\left[ {a \ne 0;a \ne \pm 1} \right]\]
+ Nếu \[{a^n} = {b^n}\] thì \[a = b\] nếu \[n\] lẻ;\[a = \pm b\] nếu \[n\] chẵn
Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức
Phương pháp:
Thực hiện đúng thứ tự của phép tính: Lũy thừa, nhân, chia, cộng, trừ. Nếu có dấu ngoặc ta cần làm theo thứ tự: ngoặc tròn-ngoặc vuông-ngoặc nhọn.
Bộ công thức về lũy thừa chính xác nhất và bài tập ứng dụng liên quan
Lũy thừa là gì? Khái niệm lũy thừa cúng như các dạng bài toán liên quan là một trong những chủ đề quan trọng trong chương trình Đại số của các em học sinh trung học phổ thông. Cùng chúng tôi tìm hiểu cụ thể về lũy thừa qua bài viết dưới đây nhé!
I. Định nghĩa
1. Lũy thừa bậc n của a là gì?
Lũy thừa là một phép toán hai ngôi của toán học thực hiện trên hai số a và n, kết quả của phép toán lũy thừa là tích số của phép nhân có n thừa số a nhân với nhau. Lũy thừa ký hiệu là \[{\displaystyle a^{n}}\], đọc là lũy thừa bậc n của a hay a mũ n, số a gọi là cơ số, số n gọi là số mũ.
Tập xác định của hàm số lũy thừa:
Hàm số lũy thừa là các hàm số dạng \[y=x^α[α∈R]\]. Các hàm số lũy thừa có tập xác định khác nhau, tùy theo α:
- Nếu α nguyên dương thì tập các định là R.
- Nếu α nguyên âm hoặc α=0 thì tập các định là R\{0}.
- Nếu α không nguyên thì tập các định là \[[0;+∞]\]
2. Tính chất cơ bản của lũy thừa
- \[a^n = a {\displaystyle \times } a {\displaystyle \times } a {\displaystyle \times }... {\displaystyle \times } a\] n chữ số a
- \[{\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}={\frac {1}{a\times a\times a\times ...a}}}\]
- \[0^n = 0 [n > 0]\]
- \[1^n = 1\]
- \[a^0 = 1\]
- \[a^1 = a\]
- \[{\displaystyle a^{-1}={\frac {1}{a}}}\]
3. Tính chất thường gặp
- \[a^{m + n} = a^m {\displaystyle \times } a^n\]
- \[{\displaystyle a^{m-n}={\frac {a^{m}}{a^{n}}}}\] với mọi a ≠ 0
- \[{\displaystyle a^{m\cdot n}=[a^{m}]^{n}}\]
- \[{\displaystyle a^{m^{n}}=a^{[m^{n}]}}\]
- \[{\displaystyle [a\times b]^{n}=a^{n}\times b^{n}}\]
- \[{\displaystyle [{\frac {a}{b}}]^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}}}\]
- \[{\displaystyle a^{m/n}=\left[a^{m}\right]^{1/n}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}}\]
- \[ {\displaystyle a^{x}=e^{x\cdot \ln a}\,}\]
- \[ {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\cdot \sin x}\]
Hot: Logarit đầy đủ và chi tiết nhất
II. Công thức lũy thừa
1. Chuyên đề về lũy thừa với số mũ tự nhiên
\[{\displaystyle 0^{n}=0\,}\].[n > 0]
\[{\displaystyle 1^{n}=1\,}\].
Trong trường hợp b = n là số nguyên dương, lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a:
\[{\displaystyle a^{n}=\underbrace {a\times a\cdots \times a} _{n}}\]
Các tính chất quan trong nhất của lũy thừa với số mũ nguyên dương m, n là
\[{\displaystyle a^{m+n}=a^{m}\times a^{n}} \]
\[{\displaystyle a^{m-n}={\frac {a^{m}}{a^{n}}}}\] với mọi a ≠ 0
\[{\displaystyle [a^{m}]^{n}=a^{mn}}\]
\[{\displaystyle a^{m^{n}}=a^{[m^{n}]}}\]
\[{\displaystyle [a\times b]^{n}=a^{n}\times b^{n}}\]
\[{\displaystyle [{\frac {a}{b}}]^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}}}\]
Lũy thừa với số mũ 0 của số a khác không được quy ước bằng 1: \[{\displaystyle a^{0}=1}\]
Chứng minh: \[{\displaystyle 1={\frac {a^{n}}{a^{n}}}=a^{n-n}=a^{0}}\]
2. Chuyên đề về lũy thừa của một số hữu tỉ
-
Căn bậc n của một số thực dương
Một căn bậc n của số a là một số x sao cho \[x^n = a\].
Nếu a là số thực dương, n là số nguyên dương thì có đúng một số thực dương x sao cho xn = a.
Số x này được gọi là căn số học bậc n của a. Nó được ký hiệu là \[\sqrt[n]a\], trong đó \[\sqrt{}\] là ký hiệu căn.
-
Lũy thừa với số mũ hữu tỷ của số thực dương
Lũy thừa với số mũ hữu tỷ tối giản m/n [m, n là số nguyên, trong đó n dương], của số thực dương a được định nghĩa là
\[{\displaystyle a^{\dfrac{m}{n}}=\left[a^{m}\right]^{\dfrac{1}{n}}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}}\] định nghĩa này có thể mở rộng cho các số thực âm mỗi khi căn thức là có nghĩa.
3. Chuyên đề về lũy thừa với số mũ thực
- Cách tính lũy thừa của số e
Số e là hằng số toán học quan trọng, xấp xỉ 2.718 và là cơ số của logarit tự nhiên. Số e được định nghĩa qua giới hạn sau:
\[{\displaystyle e=\lim _{n\rightarrow \infty }\left[1+{\frac {1}{n}}\right]^{n}.}\]
Hàm e mũ, được định nghĩa bởi \[{\displaystyle e^{x}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left[1+{\frac {x}{n}}\right]^{n},}\] ở đây x được viết như số mũ vì nó thỏa mãn đẳng thức cơ bản của lũy thừa \[{\displaystyle e^{x+y}=e^{x}\cdot e^{y}.}\]
Hàm e mũ xác định với tất cả các giá trị nguyên, hữu tỷ, thực và cả giá trị phức của x.
Có thể chứng minh ngắn gọn rằng hàm e mũ với x là số nguyên dương k chính là \[e^k\] như sau:
\[{\displaystyle [e]^{k}=\left[\lim _{n\rightarrow \infty }\left[1+{\frac {1}{n}}\right]^{n}\right]^{k}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left[\left[1+{\frac {1}{n}}\right]^{n}\right]^{k}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left[1+{\frac {k}{n\cdot k}}\right]^{n\cdot k}}\]
\[{\displaystyle =\lim _{n\cdot k\rightarrow \infty }\left[1+{\frac {k}{n\cdot k}}\right]^{n\cdot k}=\lim _{m\rightarrow \infty }\left[1+{\frac {k}{m}}\right]^{m}=e^{k}.}\]
Chứng minh này cũng chứng tỏ rằng \[e^{x+y}\] thỏa mãn đẳng thức lũy thừa khi x và y là các số nguyên dương. Kết quả này cũng có thể mở rộng cho tất cả các số không phải là số nguyên dương.
- Hàm lũy thừa với số mũ thực
Lũy thừa với số mũ thực cũng thường được định nghĩa bằng cách sử dụng logarit thay cho sử dụng giới hạn của các số hữu tỷ.
Logarit tự nhiên \[{\displaystyle \ln {[x]}}\] là hàm ngược của hàm e-mũ \[e^x\]. Theo đó \[{\displaystyle \ln x}\] là số b sao cho \[x = e ^b\] .
Nếu a là số thực dương, x là số thực bất kỳ ta có a = e ln a nên nếu ax được định nghĩa nhờ hàm logarit tự nhiên thì ta cần phải có:
\[{\displaystyle a^{x}=[e^{\ln a}]^{x}=e^{x\cdot \ln a}.\,}\]
Điều này dẫn tới định nghĩa: \[{\displaystyle a^{x}=e^{x\cdot \ln a}\,}\] với mọi số thực x và số thực dương a.
Xem ngay:
IV. Bài tập tìm tập xác định của hàm số lũy thừa
Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a] \[y=\sqrt{5x-2x^2-2}+ln\dfrac{1}{x^2-1}\]
Điều kiện: \[\left\{\begin{array}{cc}-2x^2+5x-1\ge0\\x^2-1>0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{cc}\dfrac{1}{2}\le x \le 2\\x1\end{array}\right. \Leftrightarrow 1