Các đề toán giải hệ phương trình lớp 9 năm 2024

Với cách giải Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn môn Toán lớp 9 Đại số gồm phương pháp giải chi tiết, bài tập minh họa có lời giải và bài tập tự luyện sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Mời các bạn đón xem:

Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn hay, chi tiết - Toán lớp 9

9. Lý thuyết

1. Khái niệm hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

- Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng:

ax+by=c (1)a'x+b'y=c' (2)

Trong đó a, b, a’, b’ là các số thực cho trước a2+b2≠0 và a'2+b'2≠0.

- Nếu hai phương trình (1) và (2) có nghiệm chung x0;y0 thì x0;y0 được gọi là nghiệm của hệ phương trình. Nếu hai phương trình (1) và (2) không có nghiệm chung thì hệ phương trình vô nghiệm.

- Giải hệ phương trình là tìm tất cả tập nghiệm của nó.

- Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.

2. Minh họa hình học tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

- Tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn được biểu diễn bởi tập hợp điểm chung của hai đường thẳng ax + by = c và a’x + b’y = c’

Trường hợp 1: d∩d'=Ax0;y0⇔ Hệ phương trình có nghiệm duy nhất là x0;y0;

Trường hợp 2: d // d’ ⇔Hệ phương trình vô nghiệm

Trường hợp 3: d≡d'⇔Hệ phương trình có vô số nghiệm.

Chú ý: Với trường hợp a';b';c'≠0

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất ⇔aa'≠bb';

Hệ phương trình vô nghiệm ⇔aa'=bb'≠cc';

Hệ phương trình vô số nghiệm ⇔aa'=bb'=cc'.

II. Dạng bài tập

Dạng 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Phương pháp giải: Để giải một hệ phương trình, ta sẽ biến đổi hệ đã cho thành hệ phương trình tương đương đơn giản hơn.

Để giải phương trình bằng phương pháp thế ta sử dụng quy tắc thế sau:

Bước 1: Từ một phương trình của hệ phương trình đã cho (coi là phương trình thứ nhất), ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương trình mới (chỉ còn một ẩn).

Bước 2: Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho phương trình thứ hai trong hệ và giữ nguyên phương trình thứ nhất, ta được hệ phương trình mới tương đương với hệ phương trình đã cho.

Ví dụ 1: Giải các hệ phương trình sau

1. 2x−y=3x+y=6

2. 2−1x−y=2x+2+1y=1

Lời giải:

1. 2x−y=3x+y=6

⇔y=2x−3x+2x−3=6

⇔y=2x−3x+2x−3=6

⇔y=2x−33x−3=6

⇔y=2x−33x=9

⇔x=9:3y=2x−3

⇔x=3y=2.3−3

⇔x=3y=3

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) là (3; 3)

2. 2−1x−y=2x+2+1y=1

⇔y=2−1x−2x+2+12−1x−2=1

⇔y=2−1x−2x+2+12−1x−22+1=1

⇔y=2−1x−2x+x−2−2=1

⇔y=2−1x−22x=1+2+2

⇔y=2−1x−22x=3+2

⇔x=3+22y=2−1.3+22−2

⇔x=3+22y=−12

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là 3+22;−12.

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau bằng cách quy về phương pháp thế:

1. 3y−5+2x−3=07x−4+3x+y−1−14=0

2. x+1y−1=x−2y+1−12x−2y−x=2xy−3

Lời giải:

3y−5+2x−3=07x−4+3x+y−1−14=0

⇔3y−15+2x−6=07x−28+3x+3y−3−14=0

⇔2x+3y=15+610x+3y=28+14+3

⇔2x+3y=2110x+3y=45

⇔3y=21−2x10x+21−2x=45

⇔3y=21−2x10x+21−2x=45

⇔8x=45−213y=21−2x

⇔8x=243y=21−2x

⇔x=24:83y=21−2x

⇔x=33y=21−2.3

⇔x=33y=15

⇔x=3y=5

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là (3; 5)

2. x+1y−1=x−2y+1−12x−2y−x=2xy−3

⇔xy−x+y−1=xy+x−2y−2−12xy−4y−x=2xy−3

⇔xy−x+y−xy−x+2y=1−2−12xy−4y−x−2xy=−3

⇔−2x+3y=−2−x−4y=−3

⇔x=−4y+3−2−4y+3+3y=−2

⇔x=−4y+38y−6+3y=−2

⇔x=−4y+311y=−2+6

⇔x=−4y+311y=4

⇔x=−4.411+3y=411

⇔x=1711y=411

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) là 1711;411.

Dạng 2: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Phương pháp giải: Để giải phương trình bằng phương pháp cộng đại số ta sử dụng quy tắc cộng đại số gồm hai bước sau:

Bước 1: Cộng hay trừ hai vế của hai phương trình của hệ phương trình đã cho để được hệ phương trình mới.

Bước 2: Dùng phương trình mới đấy thay thế cho một trong hai phương trình của hệ và giữ nguyên một phương trình kia ta được một hệ phương trình mới tương đương với hệ phương trình đã cho.

Bước 3: Giải hệ phương trình mới.

Ví dụ 1: Giải các hệ phương trình sau:

1. 2x−3y=52x+4y=7

2. x+7y=−23−2x−27y=11

Lời giải:

1. 2x−3y=5 (1)2x+4y=7 (2)

Lấy (1) – (2) ta được:

2x−3y=52x−3y−2x+4y=5−7

⇔2x−3y=52x−3y−2x−4y=−2

⇔2x−3y=5−7y=−2

⇔2x−3y=5y=27

⇒2x−3.27=5y=27

⇔2x=5+67y=27

⇔2x=417y=27

⇔x=4114y=27

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) là 4114;27.

2. x+7y=−23 (3)−2x−27y=11 (4)

Nhận cả hai vế của phương trình (1) với 2 ta được:

2x+27y+−2x−27y=−43+11−2x−27y=11

Lây (4) + (5) ta được

⇔2x+27y−2x−27y=−43+11−2x−27y=11

⇔2x+27y−2x−27y=−43+11−2x−27y=11

⇔0=−43+11−2x−27y=11

Vì 0=−43+11 (vô lí) nên hệ phương trình vô nghiệm.

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau:

x+y=4x−35x+3y=5−9y14

Lời giải:

x+y=4x−35x+3y=5−9y14

⇔5x+5y=4x−314x+42y=15−9y

⇔5x+5y−4x=−314x+42y+9y=15

⇔x+5y=−3 (1)14x+51y=15 (2)

Nhân hai vế của phương trình (1) với 14 ta được:

14x+70y=−42 (3)14x+51y=15 (2)

Lấy (3) – (2) ta được:

14x+70y=−4214x+70y−14x+51y=−42−15

⇔14x+70y=−4214x+70y−14x−51y=−57

⇔14x+70y=−4219y=−57

⇔14x+70y=−42y=−57:17

⇔14x+70y=−42y=−3

⇔14x+70.(−3)=−42y=−3

⇔14x=−42+210y=−3

⇔14x=168y=−3

⇔x=168:14y=−3

⇔x=12y=−3

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) là (12; -3).

Dạng 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Phương pháp giải: Ta thực hiện theo ba bước sau

Bước 1: Lấy điều kiện của biến (nếu có)

Bước 2: Chọn ẩn phụ cho các biểu thức của hệ phương trình đã cho để được hệ phương trình bậc nhất hai ẩn dạng cơ bản.

Bước 3: Giải hệ phương trình bậc nhất vừa tìm được bằng các phương pháp thế hoặc cộng đại số.

Ví dụ 1: Giải các hệ phương trình sau:

1. 3x−1+1y+2=41x−1−1y+2=1

2. x−2+y−1=22−3x−2+4y−1=18

3. 3x−1+2y=132x−1−y=4

Lời giải:

1. 3x−1+1y+2=41x−1−1y+2=1 với x≠1;y≠−2

Đặt: 1x−1=a;1y+2=b khi đó hệ phương trình trở thành

3a+b=4 (1)2a−b=1 (2)

Lấy (1) + (2) ta được:

3a+b+2a−b=4+12a−b=1

⇔3a+b+2a−b=52a−b=1

⇔5a=52a−b=1

⇔a=5:52a−b=1

⇔a=12.1−b=1

⇔a=12−b=1⇔a=1b=2−1

⇔a=1b=1

⇒1x−1=11y+2=1

⇔x−1=1y+2=1

⇔x=2y=−1(thỏa mãn)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) là (1; -1).

2. x−2+y−1=22−3x−2+4y−1=18

Đặt x−2=a (a≥0)y−1=b (b≥0)

Khi đó hệ phương trình trở thành a+b=22 (1)−3a+4b=18 (2)

Nhân cả hai vế của phương trình (1) với 3 ta được hệ mới:

3a+3b=66 (3)−3a+4b=18 (4)

Lấy (3) + (4) ta được:

3a+3b=667b=84

⇔3a+3b=66b=84:7

⇔3a+3b=66b=12

⇔3a+3.12=66b=12

⇔3a=66−36b=12

⇔3a=30b=12

⇔a=30:3b=12⇔a=10b=12

+ Với a = 10 ⇒x−2=10

⇔x−2=10x−2=−10⇔x=10+2x=−10+2⇔x=12x=−8

+ Với b = 12 ⇒y−1=12

⇔y−1=12y−1=−12⇔y=12+1y=−12+1⇔y=13x=−11

Vậy ta tìm được 4 cặp nghiệm (x; y) là (12; 13); (-8; 13); (12; -11); (-8; -11),

3. 3x−1+2y=132x−1−y=4

Điều kiện: x≥1;y≥0

Đặt x−1=a a≥0y=b (b≥0)

Khi đó hệ phương trình trở thành 3a+2b=13 (1) 2a−b=4 (2)

Nhân cả hai vế của phương trình (2) với 2 khi đó ta có hệ mới

3a+2b=13 (1) 4a−2b=8 (3)

Lấy (1) + (3) ta được hệ

3a+2b+4a−2b=13+83a+2b=13

⇔7a=213a+2b=13

⇔a=21:73a+2b=13

⇔a=33.3+2b=13

⇔a=32b=13−9

⇔a=32b=4

⇔a=3b=2

⇒x−1=3y=2

⇔x−1=9y=4⇔x=10y=4.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) là (10; 4).

Dạng 4: Hệ phương trình đẳng cấp

Phương pháp giải:

Cho hệ phương trình đẳng cấp dạng f(x;y)=a1 (1)g(x;y)=a2 (2)

Để giải hệ phương trình đẳng cấp ta thực hiện theo ba bước sau:

Bước 1: Nhân phương trình (1) với a2và phương trình (2) với a1 rồi trừ phương trình để làm mất hệ số tự do.