Các số tổng hợp liên tiếp trong Python

Sự định nghĩa

Số nguyên tố - số nguyên lớn hơn \[1\] với chính xác \[2\] ước số dương. \[1\] và chính nó.
Cho \[n\] là số nguyên dương lớn hơn \[1\]. Khi đó \[n\] được gọi là số nguyên tố nếu \[n\] có đúng hai ước dương là \[1\] và \[n. \]

Hợp số - số nguyên lớn hơn 1 không phải là số nguyên tố

Lưu ý rằng. \[1\] không phải là số nguyên tố cũng không phải là hợp số.   

Có vô số số nguyên tố, điều này đã được Euclid chứng minh vào năm 100 trước Công nguyên

Ví dụ \[\PageIndex{1}\]. Phương pháp sàng của Eratosthenes

Ví dụ về số nguyên tố là \[2\] [đây là số nguyên tố chẵn duy nhất], \[3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, \ldots\]

Phương pháp sàng của Eratosthenes

Sau đây sẽ cung cấp cho chúng tôi một cách để quyết định số đã cho là số nguyên tố.  

Định lý \[\PageIndex{1}\]

Gọi \[n\] là hợp số có đúng \[3\] ước dương. Khi đó tồn tại số nguyên tố \[p\] sao cho \[n=p^2. \]

Cho \[n\] là số nguyên dương có đúng \[3\] ước dương. Khi đó, hai trong số các ước dương là \[1\] và \[n. \]
Gọi \[d \] là ước số dương thứ ba. Khi đó \[1 < d < n \] và các ước dương duy nhất của \[d\] là \[1 \] và \[d. \]
Do đó \[d\] là số nguyên tố.
Vì \[d \mid n\], \[n=md, m \in\mathbb{Z_+}\].
Vì \[m \mid n\] và \[1
Vậy \[d \] là số nguyên tố. \[\Box\]

Định lý \[\PageIndex{2}\]

Mọi hợp số \[n\] đều có một ước nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng \[\sqrt{n}\]. Nếu \[p\] là số nguyên tố và \[p \mid n\] thì \[1

\sqrt{n}\]. Sau đó \[m < \sqrt{n}. \]

Gọi \[ q\] là ước nguyên tố bất kỳ của \[m\]. Khi đó \[ q \] cũng là ước nguyên tố của \[n\] và \[ q < m < \sqrt{n} < p. \] Đây là một mâu thuẫn

Ví dụ \[\PageIndex{2}\]

\[223\] có phải là số nguyên tố không?

Dung dịch

Các số nguyên tố \[< \sqrt{223}\] như sau. \[2, 3, 5, 7, 11,\] và \[13\]. Lưu ý rằng \[ 17^2 >223. \]

Vì \[223\] không chia hết cho bất kỳ số nguyên tố nào đã xác định ở trên nên \[223\] là số nguyên tố

Bài tập \[\PageIndex{3}\]

\[2011\] có phải là số nguyên tố không?

Vâng

Định lý \[\PageIndex{3}\]. Định lý chia hết nguyên tố

Hãy để p trở thành số chính. Nếu \[p \mid ab, a,b \in \mathbb{Z}, \] thì \[p\mid a\] hoặc \[p\mid b\]

Cho \[p\] là số nguyên tố và gọi \[a,b \in \mathbb{Z}. \]  Giả sử rằng \[p \mid ab\]. Nếu \[p\mid a\], chúng ta đã hoàn thành. Vì vậy, chúng tôi giả sử rằng \[p\] không chia hết \[a\]. Do đó \[gcd[a,p]=1. \] Do đó tồn tại \[x,y \in \mathbb{Z}\] sao cho \[1=ax+py\]. Do đó \[b=abx+pby\]. Vì \[p \mid ab\], \[ab=pm, m\in \mathbb{Z}. \] Do đó \[b=pmx+pby=p[mx+by]. \] Do đó, \[p\mid b. \]

Định lý \[\PageIndex{5}\]

Có vô số số nguyên tố

Chứng minh bằng mâu thuẫn

Giả sử có hữu hạn số nguyên tố \[p_1, p_2,. ,p_n\], trong đó \[n\] là số nguyên dương. Xét số nguyên \[Q\] sao cho

\[Q=p_1p_2. p_n+1. \]

Lưu ý rằng \[Q\] không phải là số nguyên tố. Do đó \[Q\] có ít nhất một ước nguyên tố, giả sử \[q\]. Nếu chúng ta chứng minh rằng \[q\] không phải là một trong các số nguyên tố được liệt kê thì chúng ta sẽ thấy mâu thuẫn. Bây giờ giả sử rằng \[q=p_i\] cho \[1\leq i\leq n\]. Do đó \[q\] chia hết \[p_1p_2. p_n\] và kết quả là \[q\] chia \[Q-p_1p_2. p_n\]. Do đó \[q\] chia hết cho 1. Nhưng điều này là không thể vì không có số nguyên tố nào chia hết cho 1 và kết quả là \[q\] không phải là một trong các số nguyên tố được liệt kê

Định lý sau đây giải thích khoảng cách giữa các số nguyên tố

Định lý \[\PageIndex{5}\]

Đặt \[n\] là một số nguyên. Khi đó tồn tại \[n\] số nguyên hợp số liên tiếp

Đặt \[n\] là một số nguyên. Xét dãy số nguyên \[[n+1]. +2, [n+1]. +3,. ,[n+1]. +n, [n+1]. +[n+1]\]

Lưu ý rằng mọi số nguyên trong dãy trên đều là hợp số vì \[k\] chia hết cho \[[n+1]. +k\] nếu \[2\leq k\leq [n+1]\]

Ví dụ \[\PageIndex{4}\]

Có tồn tại một khối \[1000000\] số nguyên liên tiếp không có số nguyên tố trong số chúng không?

Dung dịch

Sử dụng \[1000001. \] và xem xét \[1000001. +2 , \ldots, 1000001. +1000001\]

Ví dụ \[\PageIndex{5}\]

Xét công thức \[y=x^2+x+13\]. sau đó

1. Tìm các giá trị \[y\] cho \[ x=1, \cdots, 12\]. Có bao nhiêu trong số các giá trị này là số nguyên tố?

2. Chúng ta có thể kết luận rằng công thức này luôn tạo ra một số nguyên tố không?

Sự định nghĩa. số nguyên tố sinh đôi

Hai số nguyên tố được gọi là hai số nguyên tố sinh đôi nếu chúng khác nhau bởi \[2\]

Định lý \[\PageIndex{6}\] Định lý cơ bản của số học [FTA]

Giả sử \[n \in\mathbb{Z_+}\], thì n có thể được biểu diễn dưới dạng tích của các số nguyên tố theo một cách duy nhất. Điều này có nghĩa là

\[n=p_1^{n_1} p_2^{n_2} \cdots p_k^{n_k}\], trong đó \[p_1