Xác định dãy số truy hồi là dạng toán phổ biến trong Chuyên đề Dãy số. Việc xác định giá trị của các số hạng thông thường mất rất nhiều thời gian. Do đó, trong bài viết này chúng tôi sẽ trình bày cách sử dụng máy tính Casio thiết lập các quy trình để tìm các số hạng của dãy số nhằm hạn chế tối thiểu các sai sót trong quá trình tính toán
Bài toán 1: Cho dãy số $latex \left[ {{u}_{n}} \right]$ có $latex {{u}_{1}}=2$ và $latex {{u}_{n+1}}=\dfrac{1}{{{u}_{n}}}-1$ . Tính giá trị $latex {{u}_{7}}$ và $latex {{u}_{15}}$
Hướng dẫn giải:
Cách 1: Sử dụng lệnh r
Nhập vào máy tính quy trình: $latex X=X+1:A=\dfrac{1}{A}-1$
[ Trong đó: $latex x$ tương ứng với chỉ số của các số hạng trong dãy và $latex A$ là giá trị của số hạng $latex {{u}_{x}}$]
Ấn phím rvà lần lượt nhập các giá trị $latex x=1$ và $latex A=2$
Sau đó ấn phím =liên tục cho đến khi nhận được giá trị $latex A$ ứng với $latex x=7$ và $latex x=15$
Vậy ta có: $latex {{u}_{7}}=\dfrac{34}{21}$ và $latex {{u}_{15}}=\dfrac{1597}{987}$
Cách 2: Sử dụng tính năng của phím M
Ấn 2=
Nhập vào máy tính:
Ấn phím =liên tục 6 lần ta tìm được giá trị $latex {{u}_{7}}$ và ấn =thêm 8 lần nữa để tìm giá trị $latex {{u}_{15}}$
Vậy ta có: $latex {{u}_{7}}=\dfrac{34}{21}$ và $latex {{u}_{15}}=\dfrac{1597}{987}$
Bình luận:
Bên trên là 2 cách sử dụng máy tính Casio fx 580vnx để tìm các số hạng trong dãy số truy hồi. Mỗi cách giải có các ưu- nhược điểm nhất định.
Cách 1: Tuy việc gán thêm biến đếm chỉ số sẽ làm thời gian bấm máy lâu hơn nhưng nó sẽ hạn chế việc nhầm lẫn giá trị của các số hạng.
Cách 2: Việc tận dụng tính năng tính toán $latex Ans$ sẽ rút ngắn thời gian bấm máy. Tuy nhiên, phương pháp này đòi hỏi bạn phải đếm chính xác số lần ấn phím =
Bài toán 2: Cho dãy số $latex \left[ {{u}_{n}} \right]$ có $latex {{u}_{1}}=2$ , $latex {{u}_{2}}=1$ và $latex {{u}_{n}}=2{{u}_{n-1}}-3{{u}_{n-2}}+1$ . Giá trị của $latex {{u}_{12}}$ là:
- $latex 954$
- $latex 2005$
- $latex -32$
- $latex -45$
Hướng dẫn giải
Nhập vào máy tính quy trình: $latex X=X+1:A=2B-3C+1:C=B:B=A$
Ấn phím rvà lần lượt nhập các giá trị $latex x=2$ ; $latex B=1$ và $latex C=2$
Sau đó ấn phím =liên tục cho đến khi nhận được giá trị $latex A$ ứng với $latex x=x+1=12$
Bài toán 3: Cho dãy số $latex \left[ {{u}_{n}} \right]$, $latex n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ được xác định bởi $latex \left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}=0 \\ & {{u}_{n+1}}=\dfrac{n\left[ n+1 \right]}{\left[ n+2 \right]\left[ n+3 \right]}\left[ {{u}_{n}}+1 \right] \\\end{align} \right.$ . Biết số hạng thứ $latex k$ của dãy số $latex {{u}_{k}}=\dfrac{9}{8}$. Tìm $latex k$
- $latex k=4$
- $latex k=5$
- $latex k=6$
- $latex k=7$
Hướng dẫn giải:
Nhập vào máy tính quy trình sau: $latex A=\dfrac{X\left[ X+1 \right]}{\left[ X+2 \right]\left[ X+3 \right]}\left[ A+1 \right]:X=X+1$
Ấn phím rvà lần lượt nhập các giá trị $latex x=1$ ; $latex A=0$
Sau đó ấn phím =liên tục cho đến khi nhận được giá trị $latex x$ ứng với $latex A=\dfrac{9}{8}$
Chọn đáp án D
[dropshadowbox align=”none” effect=”lifted-both” width=”auto” height=”” background_color=”#ffffff” border_width=”1″ border_color=”#dddddd” ]Để tìm các số hạng dãy số được cho bởi một hệ thức truy hồi, ta thường sử dụng thuật toán hồi quy. Tuy nhiên, phương pháp này có một nhược điểm là tốn nhiều thời gian khi tìm các số hạng thứ 100,200,… [/dropshadowbox]Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết SỬ DỤNG CASIO FX 580 VNX ĐỂ GIẢI QUYẾT CÁC BÀI TOÁN DÃY SỐ TRUY HỒI . Mọi ý kiến đóng góp và các câu hỏi thắc mắc về bài viết cũng như các vấn đề về máy tính Casio fx 580vnx , bạn đọc có thể gởi tin nhắn trực tiếp về fanpage DIỄN ĐÀN TOÁN CASIO.
MỘT VÀI PHƯƠNG PHÁP TÍNH TỔNG CÁC SỐ
TẠO THÀNH TỪ CÁC SỐ CÓ QUY LUẬT
A/ đặt vấn đề
Trong nhà trường THCS , tất cả các em học sinh đều được rèn kỹ năng tính giá trị biểu thức, thường xuyên bồi dưỡng kỹ năng tính nhanh , tính hợp lý. Tuy nhiên khi gặp các bài toán tính tổng hữu hạn các số lập thành dãy số có quy luật , thì hầu hết các em , kể cả học sinh giỏi , có năng khiếu về môn toán cũng thường tỏ ra rất lúng túng , rất bối rối , bởi lẽ các em chưa có phương pháp giải loại toán này . điều đó cũng dễ hiểu vì trong chương trình THCS rất ít tài liệu đề cập đến vấn đề này , các em học sinh chưa có ý thức tìm tòi , phân tích , lựa chọn cách giải . Trong nhiều kỳ thi học sinh giỏi môn toán , tìm tòi , phân tích , lựa chọn cách giải .Trong nhiều kỳ thi học sinh giỏi môn , đặc biệt là môn toán 6 , các em học sinh thường để mất điểm ở các bài toán loại này . Để bổ xung kiến thức cho các em học sinh khá giỏi , và nâng cao chất lượng học sinh giỏi ,tôi đã đi sâu và tìm hiểu kỹ một số phương pháp cơ bản để tính các tổng hữu hạn .
B/ Giải quyết vấn đề :
I > Phương pháp dự đoán và quy nạp :
Trong một số trường hợp khi gặp bài toán tính tổng hữu hạn
Sn = a1 + a2 + .... an [1]
Bằng cách nào đó ta biết được kết quả [dự đoán , hoặc bài toán chứng minh khi đã cho biết kết quả]. Thì ta nên sử dụng phương pháp này và hầu như thế nào cũng chứng minh được .
Ví dụ 1 : Tính tổng Sn =1+3+5 +... + [2n -1 ]
Thử trực tiếp ta thấy : S1 = 1
S2 = 1 + 3 =22
S3 = 1+ 3+ 5 = 9 = 32
... ... ...
Ta dự đoán Sn = n2
Với n = 1;2;3 ta thấy kết quả đúng
giả sử với n= k [ k 1] ta có Sk = k 2 [2]
ta cần phải chứng minh Sk + 1 = [ k +1 ] 2 [ 3]
Thật vậy cộng 2 vế của [ 2] với 2k +1 ta có
1+3+5 +... + [2k – 1] + [ 2k +1] = k2 + [2k +1]
vì k2 + [ 2k +1] = [ k +1] 2 nên ta có [3] tức là Sk+1 = [ k +1] 2
theo nguyên lý quy nạp bài toán được chứng minh
vậy Sn = 1+3=5 + ... + [ 2n -1] = n2
Tương tự ta có thể chứng minh các kết quả sau đây bằng phương pháp quy nạp toán học .
1, 1 + 2+3 + .... + n =
2, 12 + 2 2 + ..... + n 2 =
3, 13+23 + ..... + n3 =
4, 15 + 25 + .... + n5 = .n2 [n + 1] 2 [ 2n2 + 2n – 1 ]
C/ Kết thúc vấn đề:
Sau khi lĩnh hội được các phương pháp trên, các em học sinh đã tự tin hơn khi gặp các bài toán tính tổng. Tuy nhiên, do thời gian công tác chưa nhiều, vốn kinh nghiệm còn ít, tôi rất mong được học hỏi thật nhiều, nhất là từ phía các đồng nghiệp đã có nhiều năm kinh nghiệm trong nghề, bổ sung thêm các phương pháp tính tổng khác, để tôi hoàn thiện hơn về nội dung này .
Tôi xin chân thành cảm ơn !
Thụy Duyên ngày 27 tháng 5 năm 2007
Người viết:
Trần Thị Tuyết