- Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!
Với loạt bài Phương pháp biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị Toán lớp 12 sẽ giúp học sinh nắm vững công thức, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 12.
Bài viết Phương pháp biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị gồm 4 phần: Định nghĩa, Công thức, Kiến thức mở rộng và Bài tập vận dụng áp dụng công thức trong bài có lời giải chi tiết giúp học sinh dễ học, dễ nhớ Phương pháp biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị Toán 12.
1. Lí thuyết
Cho hai hàm số y = f[x] có đồ thị [C1] và y = g[x] có đồ thị [C2]. Khi đó số nghiệm của phương trình f[x] = g[x] sẽ bằng số giao điểm của [C1] và [C2]
2. Áp dụng vào biện luận số nghiệm phương trình
Cho phương trình f[x] = m. Số nghiệm của phương trình đã cho phụ thuộc vào số giao điểm của đường thẳng y = m với đồ thị hàm số y = f[x]. Trong đó đường thẳng y = m tịnh tiến trên trục Oy.
3. Cách biện luận số nghiệm phương trình f[x] = m
a. Cách 1: Khi bài toán cho sẵn đồ thị hàm số f[x] = m
- Ta dựa vào sự tịnh tiến của đường thẳng y = m xem nó cắt đồ thị y = f[x] tại mấy điểm, từ đó biện luận phương trình có 1 nghiệm; 2 nghiệm; ... hoặc vô nghiệm khi nào tùy thuộc vào khoảng giá trị của m.
- Hình bên là đồ thị hàm số y = x3 + 3x2 - 2
Ta biện luận số nghiệm của x3 + 3x2 - 2 = m như sau:
+ Phương trình có 1 nghiệm
+ Phương trình có 2 nghiệm
+ Phương trình có 3 nghiệm ⇔ -2 < m < 2
b. Cách 2: Khi bài toán không cho đồ thị
- Với cách này thì ta lập bảng biến thiên của hàm số y = f[x]
Sau đó ta biện luận tương tự như cách 1
- Cách này sẽ thuận tiện với những bài toán chưa có sẵn đồ thị
4. Ví dụ
Ví dụ 1. Cho đồ thị hàm số y = -x3 + 3x + 1 như hình bên.
a. Từ đồ thị hãy chỉ ra khoảng đồng biến, nghịch biến
b. Biện luận số nghiệm của phương trình x3 - 3x + m = 0
Lời giải:
a. Dựa vào đồ thị ta thấy
- Hàm số nghịch biến trên 2 khoảng [-∞, -1] và [1,+∞]
- Hàm số đồng biến trên trên khoảng [-1,1]
b. x3 - 3x + m = 0 ⇔ -x3 + 3x + 1 = m + 1 [1]
Số nghiệm của phương trình [1] bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = f[x] và đường thẳng y = m + 1
- Đường thẳng y = m + 1 là đường thẳng song song với trục Ox. Tịnh tiến đường thẳng ta được:
+ phương trình [1] có 1 nghiệm
+ phương trình [1] có 2 nghiệm
+ phương trình [1] có 3 nghiệm ⇔ -1 < m + 1 < 3 ⇔ -2 < m < 2
Ví dụ 2. Tìm m để phương trình x3 + 3x2 + 2 - m = 0 có 3 nghiệm thực phân biệt.
Lời giải:
x3 + 3x2 + 2 - m = 0 ⇔ x3 + 3x2 + 2 = m [1]
- Số nghiệm của phương trình [1] bằng số giao điểm của y = x3 + 3x2 + 2 và y = m
- Xét hàm số y = x3 + 3x2 + 2 ta có: y' = 3x2 + 6x = 0 ⇔
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, [1] có 3 nghiệm phân biệt ⇔ 2 < m < 6
5. Luyện tập
Bài 1.
Cho hàm số y = -x4 + 4x2 + 2 có đồ thị như hình bên.
Biện luận số nghiệm của phương trình x4 - 4x2 + m - 3 theo m
Bài 2. Cho hàm số y = f[x] có bảng biến thiên như hình dưới.
Biện luận số nghiệm của phương trình 2f[x] - m = 0
Bài 3.
Cho hàm số y = f[x] liên tục trên [-2,2] và có đồ thị là hình cong bên.
Số nghiệm của phương trình
Bài 4. Tìm m để phương trình
Bài 5. Tìm m để bất phương trình x3 - 3x2 + 1 - m nghiệm đúng với mọi x ∈ [-1,1].
Xem thêm các Công thức Toán lớp 12 quan trọng hay khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
Một dạng toán tương giao đồ thị hàm số quan trọng mà ta thường gặp là bài toán biến luận số nghiệm của phương trình theo tham số bằng phương pháp đồ thị. Bài toán mà ta thường gặp như sau:
Cho hàm số \[y = f\left[ x \right]\] có đồ thị [C]
a] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị [C] của hàm số đã cho.
b] Biện luận theo m số nghiệm của phương trình \[g\left[ x, m \right] = 0\] [*] với m là tham số.
Ở đây ta sẽ giải câu b] bằng cách dựa và đồ thị [C] đã được vẽ ở câu a]. Ta làm như sau:
Bước 1. Biến đổi phương trình \[g\left[ x \right] = 0\] về dạng \[f\left[ x \right] = h\left[ m \right]\] với \[f\left[ x \right]\] là hàm số ta đã vẽ đồ thị và h[m] không chứa x.
Bước 2. Số nghiệm của phương trình [*] bằng số giao điểm của đồ thị [C] và đường thẳng d: \[y = h\left[ m \right]\] [Đường thẳng d: \[y = h\left[ m \right]\] đi qua điểm \[\left[ {0,h\left[ m \right]} \right]\] và song song hoặc trùng với trục Ox].
Bước 3. Dựa vào đồ thị [C] để biện luận giá trị của m, số giao điểm và suy ra số nghiệm phương trình.
Xem thêm: Bài toán tương giao đồ thị hàm số
Ta xét một số ví dụ sau:
Ví dụ 1. Cho hàm số \[y = 2{x^3} – 3{x^2} + 1\] có đồ thị [C].
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị [C] của hàm số đã cho.
b. Biện luận theo m số nghiệm phương trình \[2{x^3} – 3{x^2} – m – 1 = 0\] [*]
Giải
a. Dành cho bạn đọc.
Đồ thị [C]
b. Ta có: \[2{x^3} – 3{x^2} – m – 1 = 0 \Leftrightarrow 2{x^3} – 3{x^2} + 1 = m+2\]
Vậy số nghiệm của phương trình [*] bằng số điểm chung giữa đồ thị [C] và đường thẳng d: \[y = m+2\]
- Với \[\left[ \begin{array}{l}m + 2 < 0\\m + 2 > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < – 2\\m > – 1\end{array} \right.\] thì d và [C] có một điểm chung \[ \Rightarrow \] phương trình [*] có một nghiệm.
- Với \[\left[ \begin{array}{l}m + 2 = 0\\m + 2 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = – 2\\m = – 1\end{array} \right.\] thì d và [C] có hai điểm chung \[ \Rightarrow \] phương trình [*] có hai nghiệm.
- Với \[0 < m + 2 < 1 \Leftrightarrow – 2 < m < – 1\] thì thì d và [C] có ba điểm chung \[ \Rightarrow \] phương trình [*] có ba nghiệm.
Ví dụ 2. Cho hàm số \[y = {x^4} – 4{x^2} + 3\] có đồ thị [C].
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị [C].
b. Tìm k để phương trình \[- {x^4} + 4{x^2} – 3 – m = 0\] [*] có 4 nghiệm phân biệt.
Giải
a. Dành cho bạn đọc.
Đồ thị [C]
b. Ta có: \[{x^4} – 4{x^2} + 3 = – m\]
Số nghiệm của phương trình [*] bằng số điểm chung giữa đồ thị [C] và đường thẳng d: \[y = -m\].
Vậy để phương trình [*] có 4 nghiệm phân biệt thì d và [C] phải cắt nhau tại 4 điểm.
\[ \Rightarrow – 1 < – m < 3 \Leftrightarrow – 3 < m < 1\]
Vậy với – 3 < m < 1 thì phương trình [*] có 4 nghiệm phân biệt.
Một số bài tập nâng cao tham khảo:
Bài 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \[y = 2{x^3} – 9{x^2} + 12x – 4\]. Tìm m để phương trình \[2{\left| x \right|^3} – 9{x^2} + 12\left| x \right| = m\] có sáu nghiệm phân biệt.
Bài 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \[y = {x^3} – 3{x^2} + 4\]. Tìm m để phương trình \[{\left| {x – 1} \right|^3} – 3\left| {x – 1} \right| – m = 0\] có bốn nghiệm phân biệt.
Bài 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \[y = {x^4} – 4{x^2} + 3\]. Tìm m để phương trình \[\left| {\frac{{{x^4}}}{4} – {x^2} + \frac{3}{4}} \right| = m\] có đúng tám nghiệm phân biệt.