Cách chứng minh chia hết lớp 8

CHUYÊN ĐỀ 4 - CÁC BÀI TOÁN VỀ SỰ CHIA HẾT CỦA SỐ NGUYÊN

A. MỤC TIÊU:

* Củng cố, khắc sâu kiến thức về các bài toán chia hết giữa các số, các đa thức

* HS tiếp tục thực hành thành thạo về các bài toán chứng minh chia hết, không chia hết, sốnguyên tố, số chính phương…

* Vận dụng thành thạo kỹ năng chứng minh về chia hết, không chia hết… vào các bài toán cụ thể

B.KIẾN THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN:

I. Dạng 1: Chứng minh quan hệ chia hết

1. Kiến thức:

* Để chứng minh A[n] chia hết cho một số m ta phân tích A[n] thành nhân tử có một nhân tử làm hoặc bội của m, nếu m là hợp số thì ta lại phân tích nó thành nhân tử có các đoi một nguyên tố cùng nhau, rồi chứng minh A[n] chia hết cho các số đó

* Chú ý:

+ Với k số nguyên liên tiếp bao giờ củng tồn tại một bội của k

+ Khi chứng minh A[n] chia hết cho m ta xét mọi trường hợp về số dư khi chia A[n] cho m

+ Với mọi số nguyên a, b và số tự nhiên n thì:

2. Bài tập:

2. Các bài toán

Bài 1: chứng minh rằng

a] 251 - 1 chia hết cho 7                      b] 270 + 370 chia hết cho 13

c] 1719 + 1917 chi hết cho 18              d] 3663 - 1 chia hết cho 7 nhưng không chia hết cho 37

e] 24n  -1 chia hết cho 15 với n∈ N

Giải

a] 251 - 1 = [23]17 - 1 23 - 1 = 7

b] 270 + 370 [22]35 + [32]35 = 435 + 935 4 + 9 = 13

c] 1719 + 1917 =  [1719 + 1] + [1917 - 1]

1719 + 1 17 + 1 = 18 và 1917 - 1 19 - 1 = 18 nên  [1719 + 1] + [1917 - 1]

hay 1719 + 1917 18

d] 3663 - 1 36 - 1 = 35 7

    3663 - 1 = [3663 + 1] - 2  chi cho 37 dư - 2

e] 2 4n - 1 = [24] n - 1 24 - 1 = 15

Bài 2: chứng minh rằng

a]  n5 - n chia hết cho 30 với n ∈ N    ;    

b] n4 -10n2  + 9 chia hết cho 384 với mọi n lẻ n∈  Z

c] 10n  +18n -28 chia hết cho 27 với n∈ N  ;  

Giải:

a] n5 - n = n[n4 - 1] = n[n - 1][n + 1][n2 + 1] = [n - 1].n.[n + 1][n2 + 1] chia hết cho 6 vì

[n - 1].n.[n+1] là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3 [*]

Mặt khác     n5 - n = n[n2 - 1][n2 + 1] = n[n2 - 1].[n2 - 4 + 5] = n[n2 - 1].[n2 - 4 ] + 5n[n2 - 1]

               = [n - 2][n - 1]n[n + 1][n  + 2] + 5n[n2 - 1]

Vì [n - 2][n - 1]n[n + 1][n  + 2] là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 5

    5n[n2 - 1] chia hết cho 5

Suy ra [n - 2][n - 1]n[n + 1][n  + 2] + 5n[n2 - 1] chia hết cho 5 [**]

Từ [*] và [**] suy ra đpcm

b] Đặt A = n4 -10n2  + 9 = [n4 -n2 ] - [9n2 - 9] =  [n2 - 1][n2 - 9] = [n - 3][n - 1][n + 1][n + 3]

Vì n lẻ nên đặt n = 2k + 1 [k

A = [2k - 2].2k.[2k + 2][2k + 4] = 16[k - 1].k.[k + 1].[k + 2]

Và  [k - 1].k.[k + 1].[k + 2] là tích của 4 số nguyên liên tiếp nên A có chứa bội của 2, 3, 4 nên A là bội của 24 hay A chia hết cho 24 [2]

Từ [1] và [2] suy ra A chia hết cho 16. 24 = 384

c] 10 n  +18n -28 =  [ 10 n - 9n - 1] + [27n - 27]

+ Ta có: 27n - 27 27 [1]

Từ [1] và [2] suy ra đpcm

3. Bài 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên a thì

a] a3 - a  chia hết cho 3

b] a7 - a  chia hết cho 7

Giải

a] a3 - a  = a[a2 - 1] =  [a - 1] a [a + 1]  là tích của ba số nguyên liên tiếp nên tồn tại một số là bội của 3 nên  [a - 1] a [a + 1] chia hết cho 3

b] ] a7 - a  = a[a6 - 1] = a[a2 - 1][a2 + a + 1][a2 -  a + 1]

Nếu a = 7k [k

Nếu a = 7k + 1 [k

Nếu a = 7k + 2 [k

Nếu a = 7k + 3 [k

Trong trường hợp nào củng có một thừa số chia hết cho 7

Vậy: a7 - a  chia hết cho 7

Bài 4: Chứng minh rằng  A = 13 + 23 + 33 + ...+ 1003 chia hết cho B = 1 + 2 + 3 + ... + 100

Giải

Ta có: B = [1 + 100] + [2 + 99] + ...+ [50 + 51] = 101. 50

Để chứng minh A chia hết cho B ta chứng minh A chia hết cho 50 và 101

Ta có: A = [13 + 1003] + [23 + 993] + ... +[503 + 513]

= [1 + 100][12 + 100 + 1002] + [2 + 99][22 + 2. 99 + 992] + ... + [50 + 51][502 + 50. 51 + 512] = 101[12 + 100 + 1002 + 22 + 2. 99 + 992 + ... + 502 + 50. 51 + 512] chia hết cho 101 [1]

Lại có:    A = [13 + 993] + [23 + 983] + ... + [503 + 1003]

Mỗi số hạng trong ngoặc đều chia hết cho 50 nên A chia hết cho 50 [2]

Từ [1] và [2] suy ra A chia hết cho 101 và 50 nên A chi hết cho B

Bài tập về nhà

Chứng minh rằng:

a] a5 – a chia hết cho 5

b] n3 + 6n2 + 8n chia hết cho 48 với mọi n chẵn

c] Cho a l à số nguyên tố lớn hơn 3. Cmr  a2 – 1 chia hết cho 24

d] Nếu a + b + c chia hết cho 6 thì a3 + b3 + c3 chia hết cho 6

e] 20092010  không chia hết cho 2010

f] n2 + 7n + 22  không chia hết cho 9

Dạng 2: Tìm số dư của một phép chia

Bài 1:

Tìm số dư khi chia 2100

a]cho 9,                     b] cho 25,               c] cho 125

Giải

a] Luỹ thừa của 2 sát với bội của 9 là 23 = 8 = 9 - 1

Ta có : 2100 = 2. [23]33 = 2.[9 - 1]33 = 2.[B[9] - 1] = B[9] - 2 = B[9] + 7

Vậy: 2100 chia cho 9 thì dư 7

b] Tương tự ta có:  2100 = [210]10 = 102410 =  [B[25] - 1]10  =  B[25] + 1

Vậy: 2100 chia chop 25 thì dư 1

c]Sử dụng công thức Niutơn:

2100 = [5 - 1]50 = [550  - 5. 549 + … +

Không kể phần hệ số của khai triển Niutơn thì 48 số hạng đầu đã chứa thừa số 5 với số mũ lớn hơn hoặc bằng 3 nên đều chia hết cho 53  = 125, hai số hạng tiếp theo:

Vậy: 2100 = B[125] + 1 nên chia cho 125 thì dư 1

Bài 2:

Viết số 19951995 thành tổng của các số tự nhiên . Tổng các lập phương đó chia cho 6 thì dư bao nhiêu?

Giải

Đặt 19951995 = a = a1 + a2 + …+ an.  

Gọi

          = [a1 3 - a1] + [a2 3 - a2] + …+ [an 3 - an] + a

Mỗi dấu ngoặc đều chia hết cho 6 vì mỗi dấu ngoặc là tích của ba số tự nhiên liên tiếp. Chỉ cần tìm số dư khi chia a cho 6

1995 là số lẻ chia hết cho 3, nên a củng là số lẻ chia hết cho 3, do đó chia cho 6 dư 3

Bài 3: Tìm ba chữ số tận cùng của 2100 viết trong hệ thập phân

giải

Tìm 3 chữ số tận cùng là tìm số dư của phép chia 2100 cho 1000

Trước hết ta tìm số dư của phép chia 2100 cho 125

Vận dụng bài 1 ta có 2100 = B[125] + 1 mà 2100 là số chẵn nên 3 chữ số tận cùng của nó chỉ có thể  là 126, 376, 626 hoặc 876

Hiển nhiên 2100 chia hết cho 8 vì 2100 = 1625 chi hết cho 8 nên ba chữ số tận cùng của nó chia hết cho 8

trong các số 126, 376, 626 hoặc 876 chỉ có 376 chia hết cho 8

Vậy: 2100 viết trong hệ thập phân có ba chữ số tận cùng là 376

Tổng quát: Nếu n là số chẵn không chia hết cho 5 thì 3 chữ số tận cùng của nó là 376

Bài 4: Tìm số dư trong phép chia các số sau cho 7

a] 2222 + 5555                           b]31993

c] 19921993 + 19941995              d]

Giải

a] ta có: 2222 + 5555 = [21 + 1]22 + [56 – 1]55 = [BS 7 +1]22 + [BS 7 – 1]55

= BS 7 + 1 + BS 7 - 1 = BS 7 nên  2222 + 5555  chia 7 dư 0

b] Luỹ thừa của 3 sát với bội của 7 là 33 = BS 7 – 1

Ta thấy 1993 =  BS 6 + 1 = 6k + 1, do đó:

31993 = 3 6k + 1 = 3.[33]2k = 3[BS 7 – 1]2k = 3[BS 7 + 1] = BS 7 + 3

c] Ta thấy 1995 chia hết cho 7, do đó:

19921993 + 19941995 = [BS 7 – 3]1993 + [BS 7 – 1]1995 =  BS 7 – 31993 + BS 7 – 1

Theo câu b ta có 31993 = BS 7 + 3 nên  

19921993 + 19941995 = BS 7 – [BS 7 + 3] – 1 = BS 7 – 4 nên chia cho 7 thì dư 3

d]

Dạng 3: Tìm điều kiện để xảy ra quan hệ chia hết

Bài 1: Tìm  n

Giải

Chia A cho B ta có: n3 + 2n2 - 3n + 2  = [n + 3][n2 - n] + 2

Để A chia hết cho B thì 2 phải chia hết cho n2 - n = n[n - 1] do đó 2 chia hết cho n, ta có:

Vậy: Để  giá trị của biểu thức A = n3 + 2n2 - 3n + 2 chia hết cho giá trị của biểu thức

B = n2 - n thì n

Bài 2:

a] Tìm n

b] Giải bài toán trên nếu n

Giải

Ta có:  n5  + 1 n3 + 1

a] Nếu n = 1 thì  0

Nếu n > 1 thì n - 1 < n[n - 1] + 1 <  n2 - n + 1 nên không thể xẩy ra n - 1

Vậy giá trụ của n tìm được là n = 1

b] n - 1

+ n2 - n + 1 = 1

+ n2 - n + 1 =  -1

Bài 3: Tìm số nguyên n sao cho:

a] n2 + 2n - 4 11                                       b] 2n3 + n2 + 7n + 1 2n - 1

c] n4 - 2n3 + 2n2 - 2n + 1 n4 - 1                d] n3 - n2 + 2n + 7 n2 + 1

Giải

a] Tách n2 + 2n - 4  thành tổng hai hạng tử trong đó có một hạng tử là B[11]

n2 + 2n - 4 11

b] 2n3 + n2 + 7n + 1 = [n2 + n + 4] [2n - 1] + 5

Để  2n3 + n2 + 7n + 1 2n - 1 thì 5 2n - 1 hay 2n - 1 là Ư[5]

Vậy:  n  

c] n4 - 2n3 + 2n2 - 2n + 1 n4 - 1

Đặt A =  n4 - 2n3 + 2n2 - 2n + 1 = [n4 - n3] - [n3 - n2] + [n2 - n] - [n - 1]

= n3[n - 1] - n2[n - 1] + n[n - 1]  -  [n - 1] = [n - 1] [n3 - n2 + n - 1] = [n - 1]2[n2 + 1]

B = n4 - 1 = [n - 1][n + 1][n2 + 1]

A chia hết cho b nên n

Vậy: n

d] Chia n3 - n2 + 2n + 7 cho n2 + 1 được thương là  n - 1, dư  n + 8

Để n3 - n2 + 2n + 7 n2 + 1 thì  n + 8 n2 + 1

Lần lượt cho n2 + 1 bằng 1; 5; 13; 65 ta được n bằng 0;

Thử lại ta có n = 0; n = 2; n = 8  [T/m]

Vậy: n3 - n2 + 2n + 7 n2 + 1 khi n = 0, n = 8

Dạng 4: Tồn tại hay không tồn tại sự chia hết

Bài 1: Tìm n

Giải

Nếu n = 3k [ k

Nếu n = 3k + 1 [ k

Nếu n = 3k + 2 [ k

V ậy: 2n – 1 chia hết cho 7 khi n = BS 3

Bài 2: Tìm n

a] 3n – 1 chia hết cho 8

b] A = 32n  + 3 + 24n + 1 chia hết cho 25

c] 5n – 2n chia hết cho 9

Giải

a] Khi n = 2k [k

  Khi n = 2k + 1 [k

Vậy : 3n – 1 chia hết cho 8 khi n = 2k [k

b] A = 32n  + 3 + 24n + 1 = 27 . 32n  + 2.24n =  [25 + 2] 32n  + 2.24n = 25. 32n  + 2.32n  + 2.24n

         = BS 25 + 2[9n  + 16n]

Nếu n = 2k +1[k

Nếu n = 2k  [k

suy ra 2[[9n  + 16n] có chữ số tận cùng bằng 4 nên A không chia hết cho 5 nên không chia hết cho 25

c] Nếu n = 3k [k

   Nếu n = 3k + 1 thì 5n – 2n =  5.53k – 2.23k = 5[53k – 23k] + 3. 23k = BS 9 + 3. 8k

= BS 9 + 3[BS 9 – 1]k = BS 9 + BS 9 + 3

Tương tự:  nếu n = 3k + 2 thì 5n – 2n không chia hết cho 9