cho hình bình hành ABCD , O là giao điểm 2 đg chéo 1 đg thẳng đi qua O cắt các cạnh AB và CD theo thư tự ở M và N
CM: M đối xứng với M qua O
Xem thêm các sách tham khảo liên quan:
Sách Giải Sách Bài Tập Toán 8 Bài 8: Đối xứng tâm giúp bạn giải các bài tập trong sách bài tập toán, học tốt toán 8 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:
Lời giải:
Tứ giác ABCD là hình bình hành:
⇒ AB // CD hay BM // CD
Xét tứ giác BMCD ta có:
BM // CD
BM = CD [gt]
Suy ra: Tứ giác BMCD là hình bình hành [vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau]
⇒ MC // BD và MC = BD [1]
AD // BC [gt] haỵ DN // BC
Xét tứ giác BCND ta có: DN // BC và DN = BC [vì cùng bằng AD]
Suy ra: Tứ giác BCND là hình bình hành [vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau]
⇒ CN // BD và CN = BD [2]
Từ [1] và [2] suy ra: M, C, N thẳng hàng và MC = CN.
Lời giải:
Ta có: DE //AB [gt] hay DE //AF
DF //AC [gt] hay DF //AE
Tứ giác AEDF là hình bình hành.
I là trung điểm của AD nên EF đi qua trung điểm I là IE = IP [tính chất hình bình hành]
Vậy E và F đối xứng qua tâm I.
Lời giải:
* Xét tứ giác ABCD, ta có:
MA = MC [gt]
MB = MD [định nghĩa đối xứng tâm]
Suy ra: Tứ giác ABCD là hình bình hành [vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường]
⇒ AD // BC hay AD = BC [1]
* Xét tứ giác ACBE, ta có:
AN = NB [gt]
NC = NE [định nghĩa đối xứng tâm]
Suy ra: Tứ giác ACBE là hình bình hành [vì có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường] ⇒ AE // BC và AE = BC [2]
Từ [1] và [2] suy ra: A, D, E thẳng hàng và AD = AE
Nên A là trung điểm của DE hay điểm D đối xứng với điểm E qua điểm A.
Lời giải:
* Vì E đối xứng với D qua AB
⇒ AB là đường trung trực của đoạn thẳng DE
⇒ AD = AE [tỉnh chất đường trung trực]
Nên ΔADE cân tại A
Suy ra: AB là đường phân giác của ∠[DAE] ⇒ ∠A1= ∠A2
* Vì F đối xứng với D qua AC
⇒ AC là đường trung trực của đoạn thẳng DF
⇒ AD = AF [tính chất đường trung trực]
Nên ΔADF cân tại A
Suy ra: AC là phân giác của ∠[DAF]
⇒ ∠A3= ∠A4
∠[EAF] = ∠[EAD] + ∠[DAF] = ∠A1+ ∠A2+ ∠A3+ ∠A4= 2[∠A1+ ∠A3] = 2.900 = 1800
⇒ E, A, F thẳng hàng có AE = AF = AD
Nên A là trung điểm của EF hay điểm E đối xứng với điểm F qua điểm A.
Lời giải:
Xét ΔOED và ΔOFB, ta có:
∠[EOD]= ∠[FOB][đối đỉnh]
OD = OB [tính chất hình bình hành]
∠[ODE]= ∠[OBF][so le trong]
Do đó: ΔOED = ΔOFB [g.c.g]
⇒ OE = OF
Vậy O là trung điểm của EF hay điểm E đối xứng với điểm F qua điểm O
Lời giải:
Xét hại tam giác vuông AHO và CKO, ta có:
∠[AHO]= ∠[CKO]= 90o
OA = OC [tính chất hình bình hành]
∠[AOH]= ∠[COK][đối đỉnh]
Suy ra: ΔAHO = ΔCKO [cạnh huyền, góc nhọn]
⇒ OH = OK
Vậy O là trung điểm của HK hay điểm H đối xứng với điểm K qua điểm O
Lời giải:
* Xét tứ giác AOBM, ta có:
DA = DB [gt]
DO = DM [định nghĩa đối xứng tâm]
Suy ra: Tứ giác AOBM là hình bình hành [vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường]
⇒ BM // AO và BM = AO [1]
* Xét tứ giác AOCN, ta có: EA = EC [gt]
EO = EN [định nghĩa đối xứng tâm]
Suy ra: Tứ giác AOBM là hình bình hành [vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường]
⇒ CN // AO và CN = AO [2]
Từ [1] và [2] suy ra:BM // CN và BM = CN.
Vậy tứ giác BMNC là hình bình hành [vì có 1 cặp cạnh đối song song và bằng nhau].
Lời giải:
* Ta có: GD = DH [tính chất đối xứng tâm]
⇒ GH = 2GD [l]
GA = 2GD [tính chất đường trung tuyến của tam giác] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: GA = GH
Suy ra điểm đối xứng với điểm A qua tâm G là H.
* Ta có: GE = EI [tính chất đối xứng tâm]
⇒ GI = 2GB [3]
GB = 2GE [tính chất đường trung tuyên của tam giác] [4]
Từ [3] và [4] suy ra: GB = GI
Suy ra điểm đối xứng với điểm B qua tâm G là I.
GF = FK [tỉnh chất đối xứng tâm]
⇒ GK = 2GF [5]
GC = 2GF [tính chất đường trung tuyến của tam giác] [6]
Từ [5] và [6] Suy ra: GC = GK
Suy ra điểm đối xứng với điểm C qua tâm G là điểm K
Lời giải:
* Xét ΔOAE và ΔOCF, ta có:
OA = OC [tính chất hình bình hành]
∠[AOE]= ∠[COF][đối đỉnh]
∠[OAE]= ∠[OCF][so le trong]
Do đó: ΔOAE = ΔOCF [g.c.g]
⇒ OE = OF [l]
* Xét ΔOAG và ΔOCH, ta có:
OA = OC [tính chất hình bình hành]
∠[AOG] = ∠[COH][dối đỉnh]
∠[OAG] = ∠[OCH][so le trong].
Do đó: ΔOAG = ΔOCH [g.c.g]
⇒ OG = OH [2]
Từ [1] và [2] suy ra tứ giác EGFH là hình bình hành [vì có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường].
a. Chứng minh rằng OB = OC
b. Tính số đo góc xOy để B đối xứng với A qua O
Lời giải:
a. Vì B đối xứng với A qua trục Ox nên Ox là đường trung trực của đoạn AB.
⇒ OA = OB [tính chất đường trung trực] [1]
Vì C đối xứng với A qua trục Ọy nên Oy là đườngtrung trực của đoạn AC.
⇒ OA = OC [tỉnh chất đường trung trực] [2]
Từ [l] và [2] suy ra: OB = OC.
b. Vì OB = OC nên để điểm B đối xứng với C qua tâm O cần thêm điều kiện B, O, C thằng hàng
ΔOAB cân tại O có Ox là đường trung trực của AB nên Ox cũng là đường phân giác của ∠[AOB] ⇒ ∠O1= ∠O3
ΔOAC cân tại O có Oy là đường trung trực của AC nên Oy cũng là đường phân giác của ∠[AOC] ⇒ ∠O2= ∠O4
Vì B, O, C thẳng hàng nên:
∠O1+∠O2+∠O3+∠O4 = 180o ⇒ 2 ∠O1+ 2 ∠O2= 180o
⇒ ∠O1+∠O2= 90o ⇒ ∠[xOy] = 90o
Vậy ∠[xOy] = 90o thì B đối xứng với C qua tâm O
Lời giải:
Ta có K là điểm đối xứng của H qua tâm M nên MK = MH
Xét tứ giác BHCK, ta có:
BM = MC [gt]
MK = MH [chứng minh trên]
Suy ra: Tứ giác BHCK là hình bình hành [vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường]
Suy ra: KB // CH, KC // BH
Ta có: CH ⊥ AB [gt]
Suy ra: KB ⊥ AB nên ∠[KBA] = 90o
Ta có: BH ⊥ AC [gt]
Suy ra: CK ⊥ AC nên ∠[KCA] = 90o
a. Đoạn thẳng AB.
b. Tam giác đều ABC.
c. Đường tròn tâm O.
Lời giải:
a. Đoạn thẳng AB là hình có tâm đối xứng. Tâm đối xứng của đoạn thẳng AB là trung điểm của nó.
b. Tam giác đều ABC là hình không có tâm đối xứng.
c. Đường tròn tâm O là hình có tâm đối xứng. Tâm đối xứng của [O] là tâm của đường tròn đó.
a. Vẽ điểm B đối xứng với O qua A. Qua B vẽ đường thẳng song song với Ox, cắt Oy ở C. Gọi D là giao điểm của CA và Ox. Chứng minh rằng các điểm C và D đối xứng với nhau qua điểm A.
b. Từ đó suy ra cách dựng hình đường thẳng đi qua A, cắt OX, Oy ở C, D sao cho A là trung điểm của CD.
Lời giải:
a. Xét ΔOAD và ΔBAC, ta có:
OA = OB [tính chất đối xứng tâm]
∠A1= ∠A2[đối đỉnh]
∠O1= ∠B1[so le trong]
Do đó: ΔOAD = ΔBAC [g.c.g]
⇒ AD = AC
Suy ra: C đối xứng với D qua tâm A.
b. Cách dựng:
– Dựng B đối xứng với O qua tâm A.
– Qua B dựng đường thẳng song song Ox cắt Oy tại C.
– Dựng tia CA cắt OX tại D.
Ta có D là điểm cần dựng.
Chứng minh:
Xét ΔOAD và ΔBAC, ta có:
OA = OB [tính chất đối xứng tâm]
∠A1= ∠A2[đối đỉnh]
∠O1= ∠B1[so le trong]
Do đó: ΔOAD = ΔBAC [g.c.g]
⇒ AD = AC
Suy ra: C đối xứng với D qua tâm A.
Lời giải:
Cách dựng:
– Qua điểm M dựng đường thẳng song song với AC cắt AB tại E.
– Qua điểm M dựng đường thẳng song song với AB cắt AC tại F.
Chứng minh:
Ta có: ME // AC hay ME // AF
MF //AB hay MF // AE
Nên tứ giác AEMF là hình bình hành.
Ta có: O là trung điểm của AM
Suy ra: EF đi qua O [tính chất hình bình hành]
⇒ OE = OF
Vậy E đối xứng với F qua tâm O
a. Trung điểm của một đoạn thẳng là tâm đối xứng của đoạn thẳng đó.
b. Giao điểm hai đường chéo của một hình bình hành là tâm đối xứng của hình bình hành đó.
c. Trọng tâm của một tam giác là tâm đối xứng của tam giác đó.
d. Tâm của một đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó.
Lời giải:
a. Đúng
b. Đúng
c. Sai
d. Đúng
Chứng minh rằng I là điểm đối xứng với G qua M.
Lời giải:
I đối xứng với A qua tâm G
ta có: GA = GI, GM ∈ GA [ tính chất đường trung tuyến của tam giác]
Suy ra: GM ∈ GI
Mà: GM + MI = GI
Suy ra: GM = MI nên điểm M là trung điểm của GI
Vậy I đối xứng với G qua tâm M.