Phương pháp chứng minh hình học THCS
- Phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song
- 8 cách chứng minh 2 đường thẳng song song
- 10 cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc
- 10 cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng
- 13 cách chứng minh hai góc bằng nhau
- 8 cách chứng minh tia Oz là tia phân giác của góc xÔy
- 7 cách chứng minh M là trung điểm của đoạn thẳng AB
- Phương pháp chứng minh các tam giác đặc biệt
- Cách xác định tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác
- Phương pháp chứng minh các tứ giác đặc biệt
- 6 cách chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn
- Phương pháp chứng minh đường trung trực của đoạn thẳng
- 2 cách chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn
- 4 cách chứng minh hai cung tròn bằng nhau
- 15 cách chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau
- 7 cách chứng minh một đoạn thẳng bằng 1/2 đoạn thẳng khác
- 4 cách chứng minh một góc bằng nửa góc khác
- 5 cách chứng minh 3 đường thẳng đồng quy
- Cách chứng minh hai tam giác đồng dạng và ứng dụng
- Ví dụ cách chứng minh hai tam giác bằng nhau
- Cách chứng minh một điểm là trọng tâm, trực tâm của tam giác
- Chứng minh một điểm là tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp, bàng tiếp tam giác
- Chứng minh các quan hệ không bằng nhau [cạnh – góc – cung]
Để chứng minh 2 đường thẳngsong song trong mặt phẳng các em có thể sử dụng một trong 8 cách dưới đây.
1. Chứng minh các góc so le trong, đồng vị…bằng nhau
2. Tính chất bắc cầu : Hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau
- 50 bài toán hình học ôn thi vào lớp 10 có lời giải
- Cách giải bài toán BĐT và tìm GTNN, GTLN trong đề thi vào 10 môn Toán
- Chuyên đề ôn thi vào lớp 10 chuyên – Hệ phương trình
- Chuyên đề ôn thi vào lớp 10 chuyên – Hàm số
- Một số ví dụ chứng minh BĐT bằng phương pháp ghép cặp
3. Tính chất từ vuông góc đến song song : Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau
4. Sử dụng tính chất của hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông
5. Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác, hình thang, hình bình hành .
6. Định lý TALET đảo: Sử dụng kết quả của các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ để suy ra các đường thẳng song song tương ứng.
7. Sử dụng tính chất hai cung bằng nhau của một đường tròn
8. Sử dụng phương pháp chứng minh bằng phản chứng.
Series Navigation>
Gia Sư Tài Năng Việtgiasudaykem.com.vnCHUYÊN ĐỀ 1 - DẠNG CHỨNG MINH :TỨ GIÁC NỘI TIẾP, TIẾP TUYẾN, ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG,GÓC BẰNG NHAU, ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC, BA ĐIỂM THẲNG HÀNG[ BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY ]I - LÝ THUYẾT - BÀI TẬP MINH HỌA.1. Chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn.Các cách chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn :Cách 1 . Sử dụng định nghĩa đường tròn.Ví dụ : [ Đường tròn Euler ] Cho tam giác ABC. Kẻ các đường cao AM, BN, CP ; H làtrực tâm tam giác . Gọi D, E, F thứ tự là trung điểm các cạnh BC, AC, AB ; G, I, K thứ tựlà trung điểm AH, BH, CH .Chứng minh : 9 điểm M, N, P, D, E, F, G, I, K nằm trên một đường tròn.Cách 2 . Sử dụng định lí đảo về Tứ giác nội tiếp đường tròn.Hệ quả 1: Nếu một tứ giác có một góc bằng góc kề bù với góc đối của nó thì tứ giác nộitiếp một đường tròn.Hệ quả 2 : Nếu MA.MB = MC.MD thì tứ giác ABCD nội tiếp một đường tròn.Ví dụ : Cho đường tròn [O] đường kính AB. Trên tia đối của tia BA lấy điểm C [C khôngtrùng với B]. Kẻ tiếp tuyến CD với đường tròn [O] [D là tiếp điểm], tiếp tuyến tại A củađường tròn [O] cắt đường thẳng CD tại E. Gọi H là giao điểm của AD và OE, K là giaođiểm của BE với đường tròn [O] [K không trùng với B]. Chứng minh 4 điểm B, O, H, Kcùng thuộc một đường tròn.1Gia Sư Tài Năng Việtgiasudaykem.com.vnCách 3 : Sử dụng Quỹ tích cung chứa góc.Nếu nhiều điểm cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng chứa AB, cùngnhìn AB dưới một góc bằng nhau thì các điểm đó cùng thuộc một đường tròn nhận ABlàm dây.Hệ quả : Nếu hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại I thỏa mãn IA.IB = IC.ID thì bốnđiểm A,B,C,D thuộc một đường tròn.Ví dụ : Cho [O] . MA, MB là các tiếp tuyến, MCD là cát tuyến [ MC < MD ]. Gọi I làtrung điểm CD, K là giao điểm của AB và MD. Chứng minh 4 điểm M, A, I, B thuộc mộtđường tròn. Từ đó suy ra : KC.KD = KM.KI2Gia Sư Tài Năng Việtgiasudaykem.com.vn2. Chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn.Các cách chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn.Cách 1 : Sử dụng định nghĩa tiếp tuyến của đường tròn [ đường thẳng và đường tròn códuy nhất một điểm chung ].Cách 2 : Theo VTTĐ của đường thẳng và đường tròn [ chỉ ra khoảng cách từ tâm đườngtròn đến đường thẳng bằng bán kính đường tròn ].Cách 3 : Nếu một đường thẳng đi qua 1 điểm của đường tròn và vuông góc với bán kínhđi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là tiếp tuyến của đường tròn.Cách 4 : Sử dụng định lí đảo về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây .1AmB thì Bx là tiếp tuyến của [O] .Nếu ·ABx = ¼2Ví dụ . Cho điểm A cố định nằm ngoài đường tròn [O; R] cố định. Từ điểm A kẻ đườngthẳng d bất kỳ không đi qua O, cắt đường tròn [O] tại B, C [B nằm giữa A và C]. Các tiếptuyến của đường tròn [O] tại B, C cắt nhau tại D. Kẻ DH vuông góc với AO tại H; DHcắt cung nhỏ BC tại M. Gọi I là giao điểm của DO và BC.Chứng minh đường thẳng AM là tiếp tuyến của đường tròn [O].+ OI.OD = OC2 = OM2 [1]+ PO/[AHID] = OH.OA = OI.OD [2]+ Từ [1] và [2] => OM2 = OH.OA => AM là tiếp tuyến [O]3. Chứng minh đường thẳng song song, góc bằng nhau .a. Chứng minh đường thẳng song song.- Quan hệ từ vuông góc đến song song.3Gia Sư Tài Năng Việtgiasudaykem.com.vn- Góc ở vị trí SLT, SLN, ĐV, trong cùng phía bù nhau.- Cạnh đối các tứ giác : hình thang, HBH, HCN, HT, HV.- Định lí thứ nhất về đường trung bình của tam giác, của hình thang.- Định lí Ta let đảo.b. Chứng minh góc bằng nhau.- Cộng góc.- Góc SLT, SLN, ĐV .- Góc có cạnh tương ứng song song.- Sử dụng tam giác bằng nhau, đồng dạng.- Quan hệ các góc trong đường tròn : Góc ở tâm, góc nội tiếp, góc tạo bởi tia tiếp tuyếnvà dây.Ví dụ : Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, đường cao BE và CF. Tiếptuyến tại B và C cắt nhau tại S, BC và OS cắt nhau tại M . AM cắt EF tại N, AS cắt BCtại P. CMR : NP // MS+ ∆AEB#∆BMS ⇒AB AEAE==.BS BM EM·+ ·ABx = ·ACB = MECAM AE=[1]ASABAN AE=[2]+ ∆AEN #∆ABP [ g − g ] ⇒AP AB=> ∆AEM #∆ABS [c − g − c] ⇒Từ [1] và [2] suy ra NP//MS [ định lí Ta let đảo ].4. Chứng minh đẳng thức hình học.- Các phép biến đổi tương đương.- Định lí Pitago.- Định lí Ta let và hệ quả.- Cạnh , đường chéo trong tứ giác đặc biệt .- Tam giác bằng nhau, đồng dạng.- Định lí thứ nhất , thứ hai về đường trung bình của tam giác, của hình thang.- Tính chất trọng tâm tam giác.4Gia Sư Tài Năng Việtgiasudaykem.com.vn- Trong một đường tròn, hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau; hai dây song songchắn hai cung bằng nhau.- Quan hệ giữa các góc trong đường tròn.- Phương tích của một điểm đối với đường tròn.Ví dụ 1 . Tõ mét ®iÓm D n»m ngoµi ®êng trßn t©m O kÎ hai tiÕp tuyÕn DA vµ DB ®Õn ®êng trßn [A vµ B lµ c¸c tiÕp ®iÓm]. Tia Dx n»m gi÷a hai tia DA vµ DO; Dx c¾t ®êng trßnt¹i hai ®iÓm C vµ E [E n»m gi÷a C vµ D], ®o¹n th¼ng OD c¾t ®o¹n th¼ng AB t¹i M.2MB DEChøng minh r»ng: ÷=MC DC·¼1800 − EOC3600 − s® EAC····+ BMC= 900 + OMC= 900 + CEO= 900 +== EAC2=> ∆AEC#∆MBC [ g − g ] ⇒2AE MB=[1]AC MC2DA DE AEDE AE ==⇒[2]+ ∆DAE#∆DCA [ g − g ] ⇒÷ =DC DA ACDC AC Từ [1] và [2] suy ra đpcm.Ví dụ 2 . Cho đường tròn [O;R] đường kính BC. Gọi A là điểm thỏa mãn tam giác ABC»nhọn. AB, AC cắt đường tròn trên tại điểm thứ hai tương ứng là E và D. Trên cung BCkhông chứa D lấy F[F ≠ B, C]. AF cắt BC tại M, cắt đường tròn [O;R] tại N[N ≠ F] vàcắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE tại P[P ≠ A].a] Chứng minh AN.AF = AP.AMb] Gọi I, H thứ tự là hình chiếu vuông góc của F trên các đường thẳng BD, BC.Các đường thẳng IH và CD cắt nhau ở K. Chứng minh :5DC BD BC+=FK FI FHGia Sư Tài Năng Việtgiasudaykem.com.vnANDEPIBOHMCKFa] ·APE = ·ADE [2 góc nội tiếp chắn cung AE]·ABM = ·ADE [Cùng bù với góc EDC]Suy ra: ·ABM = ·APE nên tam giác APE đồng dạng với tam giác ABMAE AM=⇒ AE. AB = AM . AP [1]NênAP ABTương tự chứng minh tam giác ANE đồng dạng với tam giác ABFAE AF=⇒ AE. AB = AN . AF [2]AN ABTừ [1] và [2] suy ra: AN.AF = AP.AMb] Xét I nằm giữa B, D [ Nếu I nằm ngoài B,D thì vai trò K với DC sẽ như I với BD]···Tứ giác BIHF, BDCF nội tiếp nên FHK[ cùng bằng FBD], suy ra tứ giác= FCK·CKFH nội tiếp nên FKC= 900 .DK BH=FK FHCK BI=Tương tự tam giác CFK đồng dạng tam giác BFI nên:FK FIDC BH BI=−Suy ra:FK FH FIDC BD BH BD BI BH ID+=+−=+FK FI FH FI FI FH FIID HCDC BD BH HC BC=+=+=Màsuy ra:FI FHFK FI FH FH FHLý luận tam giác DFK đồng dạng tam giác BFH nên:6Gia Sư Tài Năng Việtgiasudaykem.com.vn5. Chứng minh thẳng hàng [ đồng quy ].Một mệnh đề toán học khẳng định 3 điểm thẳng hàng luôn có một mệnh đề tương đươngkhẳng định 3 đường thẳng đồng quy.Cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng [ 3 đường thẳng đồng quy ]:- 3 điểm tạo thành góc bẹt.- Tiên đề Euclid .- Bổ đề hình thang.- Ba đường cao, đường phân giác trong [ trong - ngoài ], ba đường trung tuyến, ba đườngtrung trực trong tam giác.- Tính chất đường chéo của tứ giác đặc biệt.··- xAB= xAC- Góc ở vị trí đối đỉnh bằng nhau .- Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì đường nối tâm đi qua tiếp điểm.Ví dụ 1. [ Đường thẳng Simson ].Cho ba điểm A, B, C trên đường tròn. Chứng minh rằng chân đường vuông góc hạ từ Mbất kỳ trên đường tròn xuống các đường thẳng AB, BC, CA cùng nằm trên một đườngthẳng . [ Đường thẳng Simson của điểm M ].······+ FCM=> D, E, F thẳng hàng.= MBD⇒ FMC= BMD⇒ BED= FECVí dụ 2 . Cho tam giác ABC không có góc tù [AB < AC], nội tiếp đường tròn [O; R]. [B,C cố định, A di động trên cung lớn BC]. Các tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại M. Từ Mkẻ đường thẳng song song với AB, đường thẳng này cắt [O] tại D và E [D thuộc cungnhỏ BC], cắt BC tại F, cắt AC tại I.Đường thẳng OI cắt [O] tại P và Q [P thuộc cung nhỏ AB]. Đường thẳng QF cắt [O] tại T[T khác Q]. Chứng minh ba điểm P, T, M thẳng hàng.7Gia Sư Tài Năng Việtgiasudaykem.com.vn···Có MIC= MOC[= BAC] => B, O, I, C, M thuộc đường tròn đường kính OM.=> PF/[BOICM] = FI.FM = FC.FB [1]Lại có PF/[O] = FC.FB = FQ.FT [2]·=> FI.FM = FQ.FT => 4 điểm M, T, I, Q thuộc một đường tròn => QTM= 900 => M, T, Pthẳng hàng.II - BÀI TẬP TỰ LUYỆN.Bài 1. Cho tam giác MNP vuông tại M. Từ N dựng đoạn thẳng NQ về phía ngoài tam··giác MNP sao cho NQ = NP và MNPvà gọi I là trung điểm của PQ, MI cắt NP tại= PNQE.··1] Chứng minh PMI.= QNI2] Chứng minh tam giác MNE cân.3] Chứng minh: MN. PQ = NP. ME.Bài 2. Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD. Hai đường chéo AC, BD cắtnhau tại E. Hình chiếu vuông góc của E trên AD là F. Đường thẳng CF cắt đường tròn tạiđiểm thứ hai là M. Giao điểm của BD và CF là N. Chứng minh:a] CEFD là tứ giác nội tiếp.b] Tia FA là tia phân giác của góc BFM.c] BE.DN = EN.BD.Bài 3. Cho tam giác ABC cân tại A, nội tiếp đường tròn [O]. Kẻ đường kính AD. Gọi Mlà trung điểm của AC, I là trung điểm của OD.1] Chứng minh OM // DC.2] Chứng minh tam giác ICM cân.3] BM cắt AD tại N. Chứng minh IC2 = IA.IN.Bài 4. Cho đường tròn tâm O. Lấy điểm A ở ngoài đường tròn [O], đường thẳng AO cắtđường tròn [O] tại 2 điểm B, C [ AB < AC ]. Qua A vẽ đường thẳng không đi qua O cắtđường tròn [O] tại hai điểm phân biệt D,E [ AD < AE] .Đường vuông góc với AB tại Acắt đường thẳng CE tại F.1] Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp.8Gia Sư Tài Năng Việtgiasudaykem.com.vn2] Gọi M là giao điểm thứ hai của đường thẳng FB với đường tròn [O].Chứng minh DM ⊥ AC .3] Chứng minh CE.CF + AD.AE = AC2Bài 5. Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Trên đường tròn [O] lấy điểm C [ CA >CB]. Các tiếp tuyến của đường tròn [O] tại A, tại C cắt nhau ở điểm D. Kẻ CH vuônggóc với AB [ H thuộc AB], DO cắt AC tại E.1] Chứng minh tứ giác OECH nội tiếp.··2] Đường thẳng CD cắt đường thẳng AB tại F. Chứng minh : 2 BCF+ CFB= 9003] BD cắt CH tại M. Chứng minh EM // AB.Bài 6. Cho tam giác ABC có µA > 900 . Vẽ đường tròn [O] đường kính AB và đường tròn[O’] đường kính AC. Đường thẳng AB cắt đường tròn [O’] tại điểm thứ hai tại D, đườngthẳng AC cắt đường tròn [ O] tại điểm thứ hai là E.1] Chứng minh bốn điểm B, C, D, E cùng nằm trên một đường tròn.2] Gọi F là giao điểm của hai đường tròn [O] và [O’] [ F khác A]. Chứng minh bađiểm B, F, C thẳng hàng và FA là phân giác của góc EFD.3] Gọi H là giao điểm của AB và EF. Chứng minh rằng BH.AD = AH. BDBài 7. Cho đường tròn [ O;R] có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trênđoạn thẳng AO lấy điểm M [ khác O và A]. Tia CM cắt đường tròn [ O; R] tại điểm thứhai là N. Kẻ tiếp tuyến với đường tròn [O;R] tại N. Tiếp tuyến này cắt đường thẳngvuông góc với AB tại M ở P.1] Chứng minh OMNP là tứ giác nội tiếp.2] Chứng minh CN// OP.3] Khi AM =1AO . Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN theo R.3Bài 8. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn [O]. Vẽ các đường cao BE,CF của tam giác ấy. Gọi H là giao điểm của BE và CF. Kẻ đường kính BK của [O].a] Chứng minh tứ giác BCFE là tứ giác nội tiếpb] Chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hànhc] Đường tròn đường kính AC cắt BE ở M, đường tròn đường kính AB cắt CF ở N.Chứng minh AM = AN.Bài 9. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, trên nửa đường tròn lấy điểm C [Ckhác A và B].Trên cung BC lấy điểm D [D khác B và C] .Vẽ đường thẳng d vuông gócvới AB tại B. Các đường thẳng AC và AD cắt d lần lượt tại E và F.1] Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp một đường tròn.2] Gọi I là trung điểm của BF.Chứng minh ID là tiếp tuyến của nửa đường tròn đãcho.·3] Đường thẳng CD cắt d tại K, tia phân giác của CKEcắt AE và AF lần lượt tạiM và N. Chứng minh tam giác AMN là tam giác cân.9Gia Sư Tài Năng Việtgiasudaykem.com.vnBài 10. Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ AH vuông góc với BC tại H. Trên cạnh BClấy điểm M [M khác B, C và H]. Kẻ ME vuông góc với AB tại E; MF vuông góc với ACtại F.1] Chứng minh các điểm A, E, F, H cùng nằm trên một đường tròn.2] Chứng minh BE.CF = ME.MF.BE HB·=3] Giả sử MAC.= 450 . Chứng minhCFHCBài 11. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn [O;R] có BC = 2R và AB < AC. Đườngthẳng xy là tiếp tuyến của đường tròn [O;R] tại A. Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn[O;R] lần lượt cắt đường thẳng xy ở D và E. Gọi F là trung điểm của đoạn thẳng DE.a] Chứng minh rằng tứ giác ADBO là tứ giác nội tiếp.b] Gọi M là giao điểm thứ hai của FC với đường tròn [O;R]. Chứng minh rằng·CED= 2 ·AMBc] Tính tích MC.BF theo R.
Bài 12. Cho tam giác ABC nhọn [ABCF cắt nhau tại H. Tia AO cắt đường tròn [O] tại D.a] Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn.b] Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành.c] Gọi M là trung điểm của BC, tia AM cắt HO tại G. Chứng minh G là trọng tâm củatam giác ABC.Bài 13.Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn [O;R] có BC = 2R và AB < AC.Đường thẳng xy là tiếp tuyến của đường tròn [O;R] tại A. Tiếp tuyến tại B vàC của đường tròn [O;R] lần lượt cắt đường thẳng xy ở D và E. Gọi F là trungđiểm của đoạn thẳng DE.1] Chứng minh rằng tứ giác ADBO là tứ giác nội tiếp.2] Gọi M là giao điểm thứ hai của FC với đường tròn [O;R]. Chứng minh rằng·CED= 2 ·AMB3] Tính tích MC.BF theo R.Bài 14.
Cho tam giác ABC nhọn [ABnhau tại H. Tia AO cắt đường tròn [O] tại D.a] Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn.b] Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành.c] Gọi m là trung điểm của BC, tia AM cắt HO tại G. Chứng minh G là trọng tâmcủa tam giác ABC.Bài 15.Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M nằm trên nửa đường tròn [M ≠ A, M ≠ B ]. Tia BM cắt tiếp tuyến của nửa đường tròn kẻ từ A tại I, phân giác của10Gia Sư Tài Năng Việtgiasudaykem.com.vn·góc IAMcắt nửa đường tròn tại E, cắt BM tại F. Tia BE cắt AI tại H, cắt AM tại K.Chứng minh rằng:a/ Tam giác ABF là tam giác cân.b/ BE.BH = BM .BIc/ Tứ giác AKFH là hình thoi.Bài 16.Cho đường tròn tâm O đường kính AB, trên cùng một nửa đường tròn [O] lấy 2điểm G và E [theo thứ tự A, G, E, B] sao cho tia EG cắt tia BA tại D. Đường thẳng vuônggóc với BD tại D cắt BE tại C, đường thẳng CA cắt đường tròn [O] tại điểm thứ hai là F.a] Chứng minh tứ giác DFBC nội tiếp.b] Chứng minh: BF = BGc] Chứng minh:DA DG.DE=BA BE.BCBài 17.Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O [AB < AC]. Cácđường cao AD và CF của tam giác ABC cắt nhau tại H.··1] Chứng minh tứ giác BFHD nội tiếp. Suy ra AHC= 1800 − ABC2] Gọi M là điểm bất kì trên cung nhỏ BC của đường tròn [O] [M khác B và C] vàN là điểm đối xứng của M qua AC. Chứng minh tứ giác AHCN nội tiếp.3] Gọi I là giao điểm của AM và HC; J là giao điểm của AC và HN.¶ = ANC·Chứng minh AJI4] Chứng minh rằng : OA vuông góc với IJBài 18.Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH [H thuộc BC]. Vẽ đường tròn[C] có tâm C, bán kính CA. Đường thẳng AH cắt đường tròn [C] tại điểm thứ hailà D.1]Chứng minh BD là tiếp tuyến của đường tròn [C].2]Trên cung nhỏ »AD của đường tròn [C] lấy điểm E sao cho HE song song vớiAB. Đường thẳng BE cắt đường tròn [C] tại điểm thứ hai là F. Gọi K là trungđiểm của EF. Chứng minh rằng:··a] BA2 = BE.BF và BHE= BFCb] Ba đường thẳng AF, ED và HK song song với nhau từng đôi một.Bài 19.Cho điểm A nằm bên ngoài đường tròn [O]. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC vớiđường tròn đó [B, C là các tiếp điểm]. Gọi M là trung điểm của AB. Đường thẳng MCcắt đường tròn [O] tại N [N khác C].a] Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếpb] Chứng minh MB 2 = MN .MC·c] Tia AN cắt đường tròn [O] tại D [ D khác N]. Chứng minh: MAN= ·ADC11Gia Sư Tài Năng Việtgiasudaykem.com.vnBài 20.Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, đường cao BE và CF. Tiếp tuyến tạiB và C cắt nhau tại S, gọi BC và OS cắt nhau tại Ma] Chứng minh AB. MB = AE.BSb] Hai tam giác AEM và ABS đồng dạngc] Gọi AM cắt EF tại N, AS cắt BC tại P. CMR NP vuông góc với BCBài 21. Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Lấy điểm C thuộc [O] [C không trùngvới A, B], M là điểm chính giữa cung nhỏ AC. Các đường thẳng AM và BC cắt nhau tạiI, các đường thẳng AC và BM cắt nhau tại K.··a] Chứng minh rằng: ABMvà ABI cân= IBMb] Chứng minh tứ giác MICK nội tiếpc] Đường thẳng BM cắt tiếp tuyến tại A của [O] ở N. Chứng minh đường thẳng NIlà tiếp tuyến của đường tròn [B;BA] và NI ⊥ MO.d] Đường tròn ngoại tiếp BIK cắt đường tròn [B;BA] tại D [D không trùngvới I]. Chứng minh ba điểm A, C, D thẳng hàng.Bài 22 . Cho đường tròn [O] có tâm O và điểm M nằm ngoài đường tròn [O]. Đường
thẳng MO cắt [O] tại E và F [MElà tiếp điểm, A nằm giữa hai điểm M và B, A và C nằm khác phía đối với đường thẳngMO].a]Chứng minh rằng MA.MB = ME.MFb]Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm C lên đường thẳng MO. Chứngminh tứ giác AHOB nội tiếp.c]Trên nửa mặt phẳng bờ OM có chứa điểm A, vẽ nửa đường tròn đườngkính MF; nửa đường tròn này cắt tiếp tuyến tại E của [O] ở K. Gọi S là giaođiểm của hai đường thẳng CO và KF. Chứng minh rằng đường thẳng MSvuông góc với đường thẳng KC.d]Gọi P và Q lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác EFS và ABSvà T là trung điểm của KS. Chứng minh ba điểm P, Q, T thẳng hàng.Bài 23.Cho đường tròn [O] đường kính AB, M là điểm thuộc cung AB, I thuộc đoạnthẳng OA. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm M kẻ các tia tiếp tuyến Ax, By với[O]. Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với IM cắt Ax tại C. Qua I dựng một đường thẳngvuông góc với IC cắt tia By tại D. Gọi E là giao điểm AM, CI và F là giao điểm ID vàMB.1/ Chứng minh tứ giác ACMI và tứ giác MEIF nội tiếp2/ Chứng minh EF // AB3/ Chứng minh ba điểm C, M, D thẳng hàng4/ Chứng tỏ rằng hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác CME và MFD tiếp xúcnhau tại M12Gia Sư Tài Năng Việtgiasudaykem.com.vnBài 24.Cho tam giác nhọn ABC [AB < AC < BC] nội tiếp trong đường tròn [O]. Gọi H là giaođiểm của hai đường cao BD và CE của tam giác ABC [D ∈ AC, E ∈ AB]1. Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp trong một đường tròn2. Gọi I là điểm đối xứng với A qua O và J là trung điểm của BC. Chứng minhrằng ba điểm H, J, I thẳng hàng3. Gọi K, M lần lượt là giao điểm của AI với ED và BD.Chứng minh rằng111=+22DKDADM 2Bài 25.Cho tam giác ABC có ba góc nhọn [AB < AC] nội tiếp đường tròn tâm O. Đường tròn[K] đường kính BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại E và F. Gọi H là giao điểm của BFvà CE.a] Chứng minh AE.AB = AF.AC.b] Chứng minh OA vuông góc với EF.c] Từ A dựng các tiếp tuyến AM, AN đến đường tròn [K] với M, N là các tiếpđiểm. Chứng minh ba điểm M, H, N thẳng hàng.13