Định lí về phân tích nhân tử khi biết tất cả các nghiệm của đa thức:
Đa thức $P[x]$ được viết dưới dạng: $P[x]={{a}_{n}}{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+...+{{a}_{1}}x+{{a}_{0}}$ trong đó ${{a}_{n}}\ne 0$ là một đa thức bậc $n$ ký hiệu là $\deg P=n$.
$P[x]$ có nghiệm ${{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{n}}$ thì $P[x]={{a}_{n}}\left[ x-{{x}_{1}} \right]\left[ x-{{x}_{2}} \right]...\left[ x-{{x}_{n}} \right].$
Ví dụ 1:Hàm số $f[x]=\frac{1}{2}{{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c$ có đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lần lượt bằng $-3;-1;2.$ Tìm $f[x].$
Giải.Vì $f[x]$ là một đa thức bậc ba có ba nghiệm $-3;-1;2$ do đó $f[x]=\dfrac{1}{2}[x+3][x+1][x-2].$
Ví dụ 2:Đồ thị của hai hàm số $f[x]=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+\dfrac{1}{2}$ và $g[x]=d{{x}^{2}}+ex+\dfrac{3}{4}$ cắt nhau tại ba điểm phân biệt có hoành độ $-2;1;3.$ Tìm $h[x]=f[x]-g[x].$
Giải.Vì $h[x]=a{{x}^{3}}+[b-d]{{x}^{2}}+[c-e]x-\frac{1}{4}$ là một đa thức bậc ba có ba nghiệm $-2;1;3$ do đó $h[x]=a[x+2][x-1][x-3].$
So sánh hệ số tự do của $h[x]$ ta có $-\dfrac{1}{4}=a[2][-1][-3]\Leftrightarrow a=-\dfrac{1}{24}.$ Do đó $h[x]=-\dfrac{1}{24}[x+2][x-1][x-3].$
Phân tích nhân tử cho đa thức bậc ba có chứa tham số
Đa thức bậc ba $P[x]=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ tìm được một nghiệm đẹp $x={{x}_{0}}$ khi đó $P[x]=a[x-{{x}_{0}}][{{x}^{2}}+rx+s]$ để tìm nhân tử ${{x}^{2}}+rx+s$ ta thực hiện bằng máy tính bỏ túi như sau:
MODE 2 [Vào môi trường số phức]
Nhập $\dfrac{P[x]}{a[x-{{x}_{0}}]}-{{x}^{2}}$ vàCALC với $x=i[ENG]$ và tham số $m=1000$
Ví dụ 1:Phân tích thành nhân tử đa thức $P[x]={{x}^{3}}+[m+1]{{x}^{2}}+[{{m}^{2}}+2m-1]x-3{{m}^{3}}+3{{m}^{2}}+m-1.$
Giải.Nhập phương trình bậc ba ${{x}^{3}}+[m+1]{{x}^{2}}+[{{m}^{2}}+2m-1]x-3{{m}^{3}}+3{{m}^{2}}+m-1=0$ ẩn $x$ với $m=1000$ ta được một nghiệm đẹp $x=999=m-1.$
Vậy khi phân tích nhân tử thì $P[x]=[x-m+1][{{x}^{2}}+rx+s]$ ta tìm $rx+s$ như sau:
MODE 2
Nhập $\dfrac{{{x}^{3}}+[m+1]{{x}^{2}}+[{{m}^{2}}+2m-1]x-3{{m}^{3}}+3{{m}^{2}}+m-1}{x-m+1}-{{x}^{2}}$
CALCvới $x=i[ENG];m=1000$ ta được kết quả $2000i+2999999=2mx+3{{m}^{2}}-1.$
Vậy $rx+s=2mx+3{{m}^{2}}-1.$ Do đó $P[x]=[x-m+1][{{x}^{2}}+2mx+3{{m}^{2}}-1].$
Phân tích nhân tử cho đa thức bậc bốn có chứa tham số
Đa thức bậc bốn $P[x]=a{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+c{{x}^{2}}+dx+e$ có nghiệm kép $x={{x}_{0}}$ khi đó $P[x]=a{{[x-{{x}_{0}}]}^{2}}[{{x}^{2}}+rx+s]$ để tìm nhân tử ${{x}^{2}}+rx+s$ ta thực hiện như sau:
MODE 2[Vào môi trường số phức]
Nhập $\dfrac{P[x]}{a{{[x-{{x}_{0}}]}^{2}}}-{{x}^{2}}$ vàCALCvới $x=i[ENG]$ và tham số $m=1000$
Ví dụ 1:Phân tích thành nhân tử đa thức $P[x]={{x}^{4}}-{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-[4{{m}^{3}}-3{{m}^{2}}+2m]x+3{{m}^{4}}-2{{m}^{3}}+{{m}^{2}}.$
Giải.Đa thức $P[x]$ có nghiệm kép $x=m$ do đó $P[x]={{[x-m]}^{2}}[{{x}^{2}}+rx+s]$ ta tìm $rx+s$ như sau:
MODE 2
Nhập $\dfrac{{{x}^{4}}-{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-[4{{m}^{3}}-3{{m}^{2}}+2m]x+3{{m}^{4}}-2{{m}^{3}}+{{m}^{2}}}{{{[x-m]}^{2}}}-{{x}^{2}}$
CALCvới $x=i[ENG];m=1000$ ta được kết quả $1999i+2998001=[2m-1]x+3{{m}^{2}}-2m+1.$
Vậy $rx+s=[2m-1]x+3{{m}^{2}}-2m+1.$ Vậy $P[x]={{[x-m]}^{2}}[{{x}^{2}}+[2m-1]x+3{{m}^{2}}-2m+1].$