Trang chủ Lớp 12 Toán lớp 12 Bài 1. Lũy thừa Bộ công thức về lũy thừa chính xác nhất và bài tập ứng dụng liên quan
Toán lớp 12
PHẦN GIẢI TÍCH - TOÁN 12
CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
Bài 1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
Bài 2. Cực trị của hàm số
Bài 3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Bài 4. Đường tiệm cận
Bài 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
Ôn tập Chương I - Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm sô
CHƯƠNG II. HÀM SỐ LŨY THỪA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT
Bài 1. Lũy thừa Xem Thêm
Bộ công thức về lũy thừa chính xác nhất và bài tập ứng dụng liên quan
Bộ công thức về lũy thừa chính xác nhất và bài tập ứng dụng liên quan
Lũy thừa là gì? Khái niệm lũy thừa cúng như các dạng bài toán liên quan là một trong những chủ đề quan trọng trong chương trình Đại số của các em học sinh trung học phổ thông. Cùng chúng tôi tìm hiểu cụ thể về lũy thừa qua bài viết dưới đây nhé!
I. Định nghĩa
1. Lũy thừa bậc n của a là gì?
Lũy thừalà mộtphép toán hai ngôicủatoán họcthực hiện trên hai sốavà n, kết quả của phép toán lũy thừa là tích số củaphép nhâncó nthừa sốanhân với nhau. Lũy thừa ký hiệu là\[{\displaystyle a^{n}}\], đọc làlũy thừa bậc ncủa a hay a mũ n, số a gọi là cơ số, số ngọi làsố mũ.
Tập xác định của hàm số lũy thừa:
Hàm số lũy thừa là các hàm số dạng\[y=x^α[αR]\]. Các hàm số lũy thừa có tập xác định khác nhau, tùy theoα:
- Nếuαnguyên dươngthì tập các định là R.
- Nếuαnguyên âm hoặcα=0thì tập các định làR\{0}.
- Nếuαkhông nguyên thì tập các định là\[[0;+]\]
2. Tính chất cơ bản của lũy thừa
- \[a^n= a{\displaystyle \times }a{\displaystyle \times }a{\displaystyle \times }...{\displaystyle \times }a\]n chữ số a
- \[{\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}={\frac {1}{a\times a\times a\times ...a}}}\]
- \[0^n= 0 [n > 0]\]
- \[1^n= 1\]
- \[a^0= 1\]
- \[a^1= a\]
- \[{\displaystyle a^{-1}={\frac {1}{a}}}\]
3. Tính chất thường gặp
- \[a^{m + n}= a^m{\displaystyle \times }a^n\]
- \[{\displaystyle a^{m-n}={\frac {a^{m}}{a^{n}}}}\]với mọia 0
- \[{\displaystyle a^{m\cdot n}=[a^{m}]^{n}}\]
- \[{\displaystyle a^{m^{n}}=a^{[m^{n}]}}\]
- \[{\displaystyle [a\times b]^{n}=a^{n}\times b^{n}}\]
- \[{\displaystyle [{\frac {a}{b}}]^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}}}\]
- \[{\displaystyle a^{m/n}=\left[a^{m}\right]^{1/n}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}}\]
- \[{\displaystyle a^{x}=e^{x\cdot \ln a}\,}\]
- \[{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\cdot \sin x}\]
Hot:Logarit đầy đủ và chi tiết nhất
II. Công thức lũy thừa
1. Chuyên đề về lũy thừa với số mũ tự nhiên
- Lũy thừa của 0và 1
\[{\displaystyle 0^{n}=0\,}\].[n > 0]
\[{\displaystyle 1^{n}=1\,}\].
- Lũy thừa với số mũ dương
Trong trường hợpb=nlàsố nguyên dương, lũy thừa bậc n của a làtíchcủa nthừa sốbằngnhau, mỗi thừa số bằng a:
\[{\displaystyle a^{n}=\underbrace {a\times a\cdots \times a} _{n}}\]
Các tính chất quan trong nhất của lũy thừa với số mũ nguyên dươngm,nlà
\[{\displaystyle a^{m+n}=a^{m}\times a^{n}} \]
\[{\displaystyle a^{m-n}={\frac {a^{m}}{a^{n}}}}\]với mọia 0
\[{\displaystyle [a^{m}]^{n}=a^{mn}}\]
\[{\displaystyle a^{m^{n}}=a^{[m^{n}]}}\]
\[{\displaystyle [a\times b]^{n}=a^{n}\times b^{n}}\]
\[{\displaystyle [{\frac {a}{b}}]^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}}}\]
Lũy thừa với số mũ 0
Lũy thừa với số mũ 0 của sốakhác không được quy ước bằng 1:\[{\displaystyle a^{0}=1}\]
Chứng minh:\[{\displaystyle 1={\frac {a^{n}}{a^{n}}}=a^{n-n}=a^{0}}\]
2. Chuyên đề về lũy thừa của một số hữu tỉ
Căn bậc n của một số thực dương
Mộtcăn bậcncủa sốalà một sốxsao cho\[x^n=a\].
Nếualà số thực dương,nlà số nguyên dương thì có đúng một số thực dươngx sao choxn=a.
Số x này được gọi làcăn số họcbậc n củaa. Nó được ký hiệu là\[\sqrt[n]a\], trong đó \[\sqrt{}\] là ký hiệu căn.
Lũy thừa với số mũ hữu tỷ của số thực dương
Lũy thừa với số mũ hữu tỷ tối giảnm/n[m, nlà số nguyên, trong đó n dương], của số thực dươngađược định nghĩa là
\[{\displaystyle a^{\dfrac{m}{n}}=\left[a^{m}\right]^{\dfrac{1}{n}}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}}\]định nghĩa này có thể mở rộng cho các số thực âm mỗi khi căn thức là có nghĩa.
3. Chuyên đề về lũy thừa với số mũ thực
- Cách tính lũy thừa của số e
Số e là hằng số toán học quan trọng, xấp xỉ 2.718 và là cơ số củalogarit tự nhiên. Sốeđược định nghĩa qua giới hạn sau:
\[{\displaystyle e=\lim _{n\rightarrow \infty }\left[1+{\frac {1}{n}}\right]^{n}.}\]
Hàm e mũ, được định nghĩa bởi\[{\displaystyle e^{x}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left[1+{\frac {x}{n}}\right]^{n},}\]ở đâyxđược viết như số mũ vì nó thỏa mãn đẳng thức cơ bản của lũy thừa\[{\displaystyle e^{x+y}=e^{x}\cdot e^{y}.}\]
Hàm e mũ xác định với tất cả các giá trị nguyên, hữu tỷ, thực và cả giá trị phức củax.
Có thể chứng minh ngắn gọn rằng hàmemũ vớixlà số nguyên dươngkchính là\[e^k\]như sau:
\[{\displaystyle [e]^{k}=\left[\lim _{n\rightarrow \infty }\left[1+{\frac {1}{n}}\right]^{n}\right]^{k}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left[\left[1+{\frac {1}{n}}\right]^{n}\right]^{k}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left[1+{\frac {k}{n\cdot k}}\right]^{n\cdot k}}\]
\[{\displaystyle =\lim _{n\cdot k\rightarrow \infty }\left[1+{\frac {k}{n\cdot k}}\right]^{n\cdot k}=\lim _{m\rightarrow \infty }\left[1+{\frac {k}{m}}\right]^{m}=e^{k}.}\]
Chứng minh này cũng chứng tỏ rằng\[e^{x+y}\]thỏa mãn đẳng thức lũy thừa khixvàylà các số nguyên dương. Kết quả này cũng có thể mở rộng cho tất cả các số không phải là số nguyên dương.
- Hàm lũy thừa với số mũ thực
Lũy thừa với số mũ thực cũng thường được định nghĩa bằng cách sử dụng logarit thay cho sử dụng giới hạn của các số hữu tỷ.
Logarit tự nhiên\[{\displaystyle \ln {[x]}}\]làhàm ngượccủa hàm e-mũ\[e^x\]. Theo đó\[{\displaystyle \ln x}\]là số b sao cho \[x = e^b\].
Nếualà số thực dương,xlà số thực bất kỳ ta có a = elna nên nếu ax được định nghĩa nhờ hàm logarit tự nhiên thì ta cần phải có:
\[{\displaystyle a^{x}=[e^{\ln a}]^{x}=e^{x\cdot \ln a}.\,}\]
Điều này dẫn tới định nghĩa:\[{\displaystyle a^{x}=e^{x\cdot \ln a}\,}\]với mọi số thựcxvà số thực dươnga.
Xem ngay:
- Bài 1. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ
- Bài 2: Lũy thừa với mũ số thực
- Bài 6. Hàm số lũy thừa
- Và một số bài tập về lũy thừa lớp 6Bài 7. Lũy thừa với số mũ tự nhiên. Nhân hai lũy thừa cùng cơ số. để ghi nhớ kiến thức công thức lũy thừa lớp 6, phần cơ bản.
IV. Bài tập tìm tập xác định của hàm số lũy thừa
Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a]\[y=\sqrt{5x-2x^2-2}+ln\dfrac{1}{x^2-1}\]
Điều kiện:\[\left\{\begin{array}{cc}-2x^2+5x-1\ge0\\x^2-1>0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{cc}\dfrac{1}{2}\le x \le 2\\x1\end{array}\right. \Leftrightarrow 1