Cách tìm số hạng tổng quát của dãy số truy hồi

Mai Xuân Việt – Email: – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ BẰNG PHƢƠNG PHÁP SAI PHÂN I-Phƣơng trình sai phân bậc nhất: Dạng 1: Cho dãy số {xn} : 0 n+1 onst ax 0n x c bx     . Tìm số hạng tổng quát của dãy số? Từ công thức truy hồi ta có : 2 1 2 0. . .................... . n n n n b b b x x x x a a a                           Khi đó công thức tổng quát [CTTQ] của dãy số được xác định bởi : 0. n n b x x a        . Thí dụ : Cho dãy số {xn} được xác định bởi : 0 1 5 3 0 ,n n x x x n        . Tìm số hạng tổng quát của dãy số. Giải: Từ công thức truy hồi ta có : 21 2 03 3 ................. 3 5.3 n n n n n nx x x x hay x      . Dạng 2: Cho dãy số {xn} : 0 n+1ax [ ]n k x bx P n     , với [ ]kP n là đa thức bậc k của n. Tìm số hạng tổng quát của dãy số ? Giải: Xét phương trình đặc trưng : 0 b a b a       . Đối với dạng này ta xét thêm một giá trị *nx gọi là nghiệm riêng của phương trình sai phân. Khi đó số hạng tổng quát của dãy được xác định bởi : *. nn nx c x  . Trong đó nghiệm riêng *nx được xác định như sau :  Nếu a + b ≠ 0 thì nghiệm riêng * [ ]n kx Q n thay vào phương trình ta được: . [ 1] . [ ] [ ]k k ka Q n bQ n P n   . Đồng nhất hệ số ta tìm được [ ]kQ n .  Nếu a + b = 0 thì nghiệm riêng * . [ ]n kx n Q n thay vào phương trình ta được: [ 1]. [ 1] . [ ] [ ]k k ka n Q n bnQ n P n    . Đồng nhất hệ số ta tìm được . [ ]kn Q n . Thí dụ 1: Cho dãy số {xn} : 0 2 1 7 2 3 4 5 , .n n x x x n n n          .Tìm số hạng tổng quát xn . Giải: Xét phương tình đặc trưng 2 0 2     . Ta có : a + b = 1 – 2 = -1 ≠ 0 nên nghiệm riêng pt có dạng : * 2nx an bn c   . Thay * nx vào pt, ta được : 2 2 2[ 1] [ 1] 2 2 2 3 4 5a n b n c an bn c n n          2 2[2 ] 3 4 5an a b n a b c n n          . Đồng nhất hệ số hai vế ta được : * 2 3 3 2 4 10 3 10 18 5 18 n a a a b b x n n a b c c                          . CTTQ của số hạng trong dãy : 2.2 3 10 18nnx c n n    . Từ 20 7 18 7 25. 25.2 3 10 18 n nx c c Suy ra x n n          . Thí dụ 2: Cho dãy số {xn} : 0 1 5 4 5 , .n n x x x n n         . Tìm CTTQ của xn. Giải: Xét phương trình đặc trưng 1 0 1     . Mai Xuân Việt – Email: – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 Ta có : a + b = 1 – 1 = 0 nên nghiệm riêng của pt có dạng * 2[ ]nx n an b an bn    . * nx vào pt, ta được : 2 2[ 1] [ 1] 4 5a n b n an bn n       . 2 4 5an a b n     . Đồng nhất hệ số hai vế ta được : * 2 2 4 2 2 3 5 3 n a a x n n a b b             . Số hạng tổng quát của dãy có dạng : 22 3nx c n n   . Từ 20 5 5. 2 3 5.nx c Suy ra x n n      Dạng 3: Cho dãy số {xn} : 0 n+1ax [ onst] , n .n x bx d d c         Khi đó số hạng tổng quát của dãy số là : 0 0 1 . 0. 1 0. n n n n b d ab x x neu a b a b a a x x nd neu a b                                         Thí dụ 1: Cho dãy số {xn} : 0 1 5 6 , .n n x x x n        . Tìm CTTQ của xn . Giải: Từ công thức truy hồi ta có : 1 2 3 06 2.6 3.6 ....... 6 6 5n n n n nx x x x x n hay x n             . Thí dụ 2: Cho dãy số {xn} : 0 1 3 8 4 ,n n x x x n        . Tìm CTT Q của xn . Giải: Từ công thức truy hồi, ta có :     2 2 2 1 2 2 2 0 8 1 8 1 8 4 8 8 4 4 8 . 4 8 1 8 . 4. ........ 8 . 4. 8 1 8 1 n n n n n n nx x x x x x                     . Suy ra   4 25 4 3.8 . 8 1 .8 . 7 7 7 n n n nx      Dạng 4: Cho dãy số {xn} : 0 1 . , n n n x ax bx d n        . Tìm CTTQ của xn. Giải: Xét phương trình đặc trưng : 0 . b a b q a         Nếu   thì nghiệm riêng của phương trình * . nnx c thay vào pt, ta được :    1 *. . . . . n n n n n n d d d a c b c d c x do b qa a b a b a q                      . Số hạng tổng quát của dãy :   * 1 1. . . n n n n n d x c q x c q a q        Từ 0 1 1 0 0 0. . . [ ] [ ] [ ] [ ] n n n n n n d d d d d q x c c x x x q x q a q a q a q a q a q                              Nếu   thì nghiệm riêng của phương trình * nnx cn thay vào pt, ta được : 1[ 1] [ ] [ 1] [ 1] n n n d d dac n bcn d c do q a n bn a n aqn aq                   . Mai Xuân Việt – Email: – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 1 * n n n dnq dnq Suy ra x aq a    . Số hạng tổng quát của dãy : 1 * 1 1. . n n n n n dnq x c q x c q a      . Từ 1 0 1 0. n n n dnq x c x x q a      . Vậy từ trên ta có : 0 1 . . . n n n n n d q neu q a q x x q d nq neu q a                . Thí dụ 1: Cho dãy số {xn} : 0 1 5 3 2.5 ,nn n x x x n        . Tìm CTTQ của xn . Ta có : 3 ; 2 ; 5. b q d a        Vì q  nên ta có số hạng tổng quát của dãy sẽ là : 0 3 5 . . 5.3 2. 4.3 5 . 3 5 n n n n n n n n n d q x x q a q             Thí dụ 2: Cho dãy {xn} : 0 1 2 3 5.3 ,nn n x x x n        . Tìm CTTQ của xn. Ta có: 3 ; 3 ; 5. b q d a        Vì q  nên ta có số hạng tổng quát của dãy sẽ là : 1 1 10. . 2.3 5 .3 [5 6].3 n n n n n n d x x q nq n n a         . Dạng 5: Cho dãy số {xn} : 0 1 1 1 2 2 ..... [1] , n n n n n k k x ax bx d d d n             . Xác định sô hạng tổng quát của dãy trên. Gọi *1nx là nghiệm riêng của phương trình 1 1 1 n n nax bx d   *2nx là nghiệm riêng của phương trình 1 2 2 n n nax bx d    ................................................................................... *knx là nghiệm riêng của phương trình 1 n n n k kax bx d    . Khi đó nghiệm riêng của phương trình [1] sẽ là * *1 *2 *.... kn n n nx x x x    . Khi đó số hạng tổng quát *. nn n b x c x a            . Thí dụ: Cho dãy {xn} : 0 1 2 2 3.2 5.7 [*] , .n nn n x x x n         . Tìm CTTQ của xn. Giải: Xét phương trình đặc trưng : 2 0 2.      Do 1  nên nghiệm riêng *1 1 .2 n nx d n , thay vào phương trình, ta được : 1 *1 1 1 1 1 3 [ 1].2 2 .2 3.2 3 .2 2 n n n n nd n d n d x n         .  Do 2  nên nghiệm riêng *2 2.7 n nx d , thay vào phương trình, ta được : 1 *22 2 2.7 2 .7 5.7 1 7 n n n n nd d d x        . Số hạng tổng quát *1 *2 1.2 .2 3 .2 7n n n nn n nx c x x c n       Mai Xuân Việt – Email: – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 Từ 1 0 2 1 2 1. 2 3 .2 7 n n n nx c c Suy ra x n          . Dạng 6: Cho dãy số {xn} : 0 1 [ ] , n n n k x ax bx P n d n         . Tìm CTTQ của xn. Ta gọi *1nx là nghiệm riêng của 1 [ ]n n kax bx P n   *2nx là nghiệm riêng của 1 n n nax bx d   . Công thức tổng quát của dãy số được xác định là *1 *2. nn n nx c x x   . Từ giá trị của x0 ta tìm được giá trị c. Thí dụ: Cho dãy số {xn} : 0 1 3 5 3 2 2.3 ,nn n x x x n n          . Tìm CTTQ của xn. Giải: Xét Phương trình đặc trưng : 5 0 5.     Gọi *1nx là nghiệm riêng của phương trình *1 1 3 11 5 3 2 4 16 n n nx x n x n        . *2nx là nghiệm riêng của phương trình *2 1 5 2.3 3 n n n n nx x x      . Số hạng tổng quát của dãy cho bởi: * 3 11 . .5 3 4 16 n n n n nx c x c n      . Từ 0 11 75 75 3 11 3 1 3 . .5 3 . 16 16 16 4 16 n n nx c c Suy ra x n           II-Phƣơng trình sai phân bậc hai: Dạng 1: Dạng thuần nhất và có phương trình đặc trưng bậc hai tồn tại nghiệm thực. Cho dãy số {xn} : 0 1 2 1 ; 0 ,n n n x x ax bx cx n          . Tìm CTTQ của xn. Xét phương trình đặc trưng 2 0 [1]a b c    .  Phương trình [1] có nghiệm 1 2 1 2; [ ]    thì số hạng tổng quát có dạng : 1 1 2 2. . n n nx c c   . Từ x0 ; x1 ta tìm được c1 và c2.  Phương trình [1] có nghiệm 1 2    thì số hạng tổng quát có dạng : 1 2[ ]. n nx c nc   . Từ x0 ; x1 ta tìm được c1 và c2. Thí dụ 1: Cho dãy {xn} : 0 1 2 1 2; 5. 5 6 , .n n n x x x x x n          . Tìm CTTQ của xn . Giải: Xét phương trình đặc trưng 2 1 25 6 0 2 3.          Số hạng tổng quát của dãy có dạng 1 2.2 .3 n n nx c c  . Từ 0 1 2 1 1 2 21 2 2 1 . 2 3 2 3 5 15 n n n x c c c Suy ra x c c cx                  . Thí dụ 2: Cho dãy {xn} : 0 1 2 1 3; 10. 4 4 , .n n n x x x x x n          . Tìm CTTQ của xn . Giải: Xét phương trình đặc trưng 2 1,24 4 0 2.       Số hạng tổng quát của dãy có dạng 1 2[ ].2 n nx c nc  . Từ 0 2 1 1 2 21 3 3 2 . [2 3].2 2[ ] 10 310 n n x c c Suy ra x n c c cx                 . Dạng 2: Dạng thuần nhất và phương trình đặc trưng vô nghiệm thực. Mai Xuân Việt – Email: – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 Cho dãy số {xn} : 0 1 2 1 ; 0 ,n n n x x ax bx cx n          . Tìm CTTQ của xn . Xét phương trình đặc trưng 2 0 [2]a b c    . Ta có phương trình [2] không tồn tại nghiệm thực, khi đó số hạng tổng quát của dãy có dạng : 1 2[ os +c sin ] n nx r c c n n  . Trong đó 2 2 B ; arctan A r A B    với ; 2 2 b A B a a     . Từ hai giá trị x0 và x1 ta tìm được c1 và c2. Thí dụ: Cho dãy số {xn} : 0 1 2 1 1 ; 3 3 1 2 16 , .n n n x x x x x n            . Tìm CTTQ của xn . Giải: Xét phương trình đặc trưng 2 22 16 0 2 16 12 0co          . Suy ra phương trình sai phân không có nghiệm thực. Đặt 1 ; 3 2 2 b A B a a       và 2 2 B 2 ; arctan A 3 r A B       . Khi đó số hạng tổng quát của xn có dạng : 1 2 n 2 os sin . 3 3 n n n x c c c         Từ 1 0 1 1 2 21 1 1 1 n . 2 os 3sin3 2 3 3 1 3 3 33 3 1 2 2 n n c x c n Suy ra x cc c cx                              . Dạng 3: Cho dãy số {xn} : 0 1 2 1 ; ,n n n x x ax bx cx d n          . Tìm CTTQ của xn. Gọi *nx là nghiệm riêng của phương trình. Khi đó nghiệm riêng * nx được xác định như sau: * * * 0 0 ; 2 0 2 [ 1] 0 ; 2 0. 2 n n n d x khi a b c a b c dn x khi a b c a b a b d x n n khi a b c a b a                            . Xét phương trình đặc trưng, xét nghiệm của phương trình đặc trưng như các trường hợp trên. Kết hợp với nghiệm riêng ta có được công thức của xn. Thí dụ 1: Cho dãy số {xn} : 0 1 2 1 4 ; 1 2 5 2 3 ,n n n x x x x x n            . Tìm CTTQ của xn. Xét phương trình đặc trưng : 2 1 2 1 2 5 2 0 2 . 2           Do a+b+c ≠ 0 nên nghiệm riêng của phương trình * 3 3 2 5 2 n d x a b c         . Số hạng tổng quát của dãy số : 1 2 1 .2 . 3 2 n n n x c c   . Từ 1 2 0 1 22 21 1 3 4 4 3 1 . 3.2 3 41 22 3 1 2 n n n c c x c Suy ra xc cx c                        . Mai Xuân Việt – Email: – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 Thí dụ 2: Cho dãy số {xn} : 0 1 2 1 89 5; 5 7 6 11,n n n x x x x x n             . Tìm số hạng tổng quát xn. Giải: Xét phương trình đặc trưng 2 1 27 6 0 1 6.          Do a+b+c=0 và 2a+b ≠ 0 nên nghiệm riêng * 11 11 2 2 7 5 n dn n x n a b       . Số hạng tổng quát của dãy có dạng 1 2 11 .6 , . 5 n nx c c n n     Từ 0 1 2 1 21 21 5 5 2 11 . 2 3.611 8989 3 56 5 55 n n x c c c Suy ra x n cc cx                    . Thí dụ 3: Cho dãy {xn} : 0 1 2 1 3; 2 2 6 ,n n n x x x x x n           . Xác định công thức tổng quát xn. Giải: Xét phương trình đặc trưng 2 1,22 1 0 1.       Có a+b+c=0 và 2a+b=0 nên nghiệm riêng * [ 1] 3 [ 1]. 2 n d x n n n n a     Số hạng tổng quát của dãy là : 1 2 3 [ 1] ,nx c nc n n n      . Từ 0 2 1 2 1 2 21 3 3 1 . 3 4 3 , . 2 32 n x c c Suy ra x n n n c c cx                      Dạng 4: Cho dãy số {xn} : 0 1 2 1 ; , .nn n n x x ax bx cx dq n          . Xác định CTTQ của xn. Gọi *nx là nghiệm riêng của phương trình sai phân trên. Khi đó nghiệm riêng này được xác đinh như sau : * 1 22 1 * 1 2 * 2 1 2 . . 2 [ 1] . . 2 n n n n n n dq x khi q q aq bq c ndq x khi q q aq b d x n n q khi q a                            . Xét phương trình đặc trưng, lập công thức nghiệm và ta có được công thức xn. Thí dụ 1: Cho dãy số {xn} : 0 1 2 1 2 ; 5 8 15 3.4 ,nn n n x x x x x n           . Lập công thức tính xn. Giải: Xét phương trình đặc trưng : 2 1 28 15 0 3 5.          Ta có 1 2q q    nên nghiệm riêng của phương trình * 2 3.4 3.4 16 32 15 n n n n dq x aq bq c         . Số hạng tổng quát của dãy là : 1 2.3 .5 3.4 , n n n nx c c n     . Từ 0 1 2 1 1 2 21 2 3 2 4 . 4.3 5 3.4 , . 3 5 12 5 15 n n n n x c c c Suy ra x n c c cx                        Thí dụ 2: Cho dãy số {xn} : 0 1 2 1 8 ; 5. 11 28 6.7 , .nn n n x x x x x n           . Tìm CTTQ của xn . Giải: Xét phương trình đặc trưng 2 1 211 28 0 4 7.          Mai Xuân Việt – Email: – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 Ta có: 2q  nên nghiệm riêng của phương trình 1 1 * 16 .7 2 .7 . 2 2.1.7 11 n n n n ndq n x n aq b        Số hạng tổng quát của dãy có dạng : 11 2.4 .7 2 .7 n n n nx c c n    . Từ 0 1 2 1 1 21 1 2 8 10 . 10.4 2.7 2 .7 , . 24 7 2 28 n n n n x c c c Suy ra x n n cx c c                     Thí dụ 3: Cho dãy {xn} : 0 1 2 1 4 ; 5. 10 25 2.[ 5] , .nn n n x x x x x n             . Tìm CTTQ của xn. Giải: Xét phương trình đặc trưng 2 1 210 25 0 5          . Ta có 1 2q    nên nghiệm riêng của phương trình * 2 2[ 1] . [ 1].[ 5] 2 n n n d x n n q n n a       . Số hạng tổng quát của dãy :  1 2 .[ 5] [ 1].[ 5] , . n n nx c n c n n n        Từ 0 2 1 2 21 1 2 4 3 . [ 3 4].[ 5] [ 1].[ 5] [ 76 100].[ 5] . 45[ ] 5 n n n n x c c Suy ra x n n n n n n cx c c                            Dạng 5: Cho dãy số {xn} được xác định bởi : 0 1 2 1 ; [ ] , .n n n k x x ax bx cx P n n          với [ ]kP n là đa thức bậc k theo n. Xác định số hạng tổng quát của dãy số. Nghiệm riêng *nx cua phương trình đượ xác định như sau: * * * 2 [ ] 0. [ ] 0 2 0. [ ] 0 2 0. n k n k n k x Q n khi a b c x nQ n khi a b c a b x n Q n khi a b c a b                      Xác định công thức tổng quát theo trình tự các bước như đã trình bày ở các ví dụ trên. Thí dụ : Cho dãy số {xn} : 0 1 2 1 31 ; 60. 7 10 8 12 14, .nn n n x x x x x n n n             . Tìm CTTQ của xn. Giải: Xét phương trình đặc trưng của dãy : 2 1 27 10 0 2 5.          Ta có : a+b+c ≠ 0 nên nghiệm riêng của phương trình * 2nx an bn c   . Thay vào công thức truy hồi, tiến hành đồng nhất hệ số ta được : * 22 8 15nx n n   . Số hạng tổng quát của dãy : 21 2.2 .5 2 8 15. n n nx c c n n     Từ 0 1 2 1 2 21 1 2 15 31 15 . 15.2 5 2 8 15, . 12 5 25 60 n n n x c c c Suy ra x n n n cx c c                      Dạng 6: Cho dãy xác định bởi {xn} : 0 1 2 1 ; [ ]. , .nn n n k x x ax bx cx P n n          .Tìm CTTQ xn. Nghiệm riêng *nx của phương trình dạng này được xác định như sau : * 1 2 * 1 2 * 2 1 2 [ ]. . . [ ]. . . [ ]. . n n k n n k n n k x Q n khi x n Q n khi x n Q n khi                             Từ đây tìm được công thức tổng quát cảu xn. Thí dụ: Cho dãy {xn} : 0 1 2 2 1 5; 18. 6 9 2[3 1].3 , .nn n n x x x x x n n            . Xác định công thức xn. Mai Xuân Việt – Email: – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 Giải: Xét phương trình đặc trưng 2 1 26 9 0 3.         Ta có 1 2    nên nghiệm riêng của pt   * 2 .3nnx n an b  . Thay * nx vào công thức truy hồi, rút gọn và đồng nhất hệ số, ta được  * 3 22 .3nnx n n  . Số hạng tổng quát của dãy là 3 21 2[ ].3 [ 2 ].3 , . n n nx c n c n n n      Từ  0 2 1 3 2 3 2 21 1 2 5 2 . [2 5].3 [ 2 ].3 2 2 5 .3 53[ ] 3 18 n n n n x c c Suy ra x n n n n n n cx c c                    . Dạng 7: Cho dãy số được xác định bởi {xn} : 0 1 2 1 ; . . osn + sinn , n .n n n x x ax bx cx c             . Xác định số hạng tổng quát của dãy trên. Đối với phương trình dạng này, nghiệm riêng của nó có dạng : * osn +Bsinnnx Ac   . Thay * nx vào công thức truy hồi để xác định được hai hệ số A và B. Thí dụ: Cho dãy {xn} : được xác định bởi :   0 1 2 1 4 ; 4 2 n 3 2 3 3 2 . os sin , . 4 4 n n n x x n x x x c n                      . Tìm số hạng tổng quát của dãy. Giải: Xét phương trình đặc trưng : 2 1 23 2 0 1 2.          Nghiệm riêng của phương trình có dạng : * n os sin 4 4 n n x Ac B     . Thay vào công thức truy hồi, ta được : [n+2] [ 2] [n+1] [ 1] n os sin 3 os sin 2 os sin 4 4 4 4 4 4 n n n Ac B Ac B Ac B                                n3 3 2 . os sin 4 4 n c     . Phân tích vế trái và rút gọn ta được :  3 3 n 3 3 n2 . os 2 .sin 3 3 2 os sin . 4 4 4 42 2 2 2 A B A B n n B A c A B c                          Đồng nhất hệ số, ta được : * 3 3 2 3 3 2 1 n2 2 os sin 3 3 1 4 4 2 1 2 2 n A B B A A n x c A B B A A                     . Số hạng tổng quát của dãy : 1 2 n .2 os sin . 4 4 n n n x c c c       Từ 0 1 2 1 21 1 2 1 4 6 n . 2 6 os sin , . 1 4 42 2 4 2 n n x c c c n Suy ra x c n cx c c                         Dạng 8: Cho dãy số dạng sau { xn} : 0 1 2 1 1 2 ; ... [1] , .n n n n n nk x x ax bx cx d d d n             Trong đó nid là một trong các dạng sau : hắng số d, . nd , [ ]kP n , . [ ] n kP n , .... Khi đó ta gọi *inx là nghiệm riêng của phương trình 2 1n n n niax bx cx d    . Mai Xuân Việt – Email: – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 Nghiệm riêng của [1] được xác định là * * 1 k i n n i x x   . Sau đó ta thiết lập được công thức tổng quát như các thí dụ đã cho. III-Phƣơng trình sai phân bậc ba: Loại 1: Phƣơng trình thuần nhất : Dạng 1: Cho dãy {xn} : 0 1 2 3 2 1 ; ; 0 .n n n n x x x ax bx cx dx n            . Xác định số hạng tổng quát xn của dãy số. Xét phương trình đặc trưng 3 2 0a b c d      . Phương trình có 3 nghiệm phân biệt 1 2 3; va   . Khi đó số hạng của dãy được xác định là : 1 1 2 2 3 3. . . n n n nx