Tính tích phân $I = \int\limits_1^2 {\left| {{x^2} - 3x + 2} \right|dx} $
Cho hàm số $y = f[x] = \left\{ \begin{array}{l}{x^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,0 \le x \le 1\\2 - x\,\,\,\,khi\,\,1 \le x \le 2\end{array} \right.$. Tính tích phân $\int\limits_0^2 {f[x]dx} $.
Nếu \[\int_2^5 f [x]{\rm{d}}x = 2\] thì \[\int_2^5 3 f[x]{\rm{d}}x\] bằng
Để tìm tập nghiệm của phương trình logarit nhanh và chính xác, các em cần nắm vững lý thuyết và đặc biệt là phương pháp giải. Cùng VUIHOC điểm lại toàn bộ kiến thức về phương trình logarit và các cách tìm tập nghiệm nhé!
Trước khi đi vào chi tiết bài viết, VUIHOC đã đánh giá mức độ khó và nhận định tổng quan về dạng bài tìm tập nghiệm của phương trình logarit ở bảng sau:
Để dễ hơn trong việc ôn tập và làm bài tập, các em tải xuống file tổng hợp lý thuyết chi tiết về phương trình logarit theo link dưới đây nhé!
Tải xuống file ôn tập lý thuyết về phương trình logarit
1. Ôn lại lý thuyết về logarit và phương trình logarit
1.1. Logarit là gì?
Để tìm tập nghiệm của phương trình logarit, ta cần nắm vững định nghĩa về logarit đầu tiên. Theo kiến thức về luỹ thừa - mũ - logarit đã học, logarit của một số là lũy thừa mà một giá trị cố định, gọi là cơ số, phải được nâng lên để tạo ra số đó. Có thể hiểu đơn giản, logarit chính là phép toán nghịch đảo của lũy thừa, hiểu 1 cách đơn giản hơn thì hàm logarit chính là đếm số lần lặp đi lặp lại của phép nhân.
Công thức chung của logarit có dạng như sau:
Logarit có công thức là $log_ab$ trong đó $b>0$, $0 Đặt $t=log_ax$ [$x$ thuộc $\mathbb{R}$]
Các em cùng VUIHOC xét ví dụ sau đây:
2.3. Mũ hoá giải phương trình logarit
Bản chất của việc tìm tập nghiệm của phương trình logarit cơ bản [ở trên] cũng là mũ hóa 2 vế với cơ số a. Trong 1 số trường hợp, phương trình có cả loga có cả mũ thì ta có thể thử áp dụng mũ hóa 2 vế để giải.
Phương trình $log_af[x]=log_bg[x] [a>0, a\neq 1]$
Ta đặt $log_af[x]=log_bg[x]=t$ => Hoặc $f[x]=a^t$ hoặc $g[x]=b^t$
=> Đưa về dạng phương trình ẩn $t$.
2.4. Dùng đồ thị tìm tập nghiệm của phương trình logarit
Giải phương trình: $log_ax=f[x] [0 0$ và $ a\neq 1$
Chú ý: Với $a,y < 0$ và $0 < a\neq 1$ ta có: $log_{a}[xy]= log_{a}[-x]+log_{a}[-y]$
Công thức 3
| $log_{a}b^{n}=n.log_{a}b; log_{a^{n}}b=\frac{1}{n}log_{a}b [a,b>0; a\neq 1]$ |
Như vậy: $log_{a^{m}}b^{n}=\frac{n}{m}log_{a}b$
Công thức 4 [Đổi cơ số]
| $log_{b}c=\frac{log_{a}c}{log_{a}b}$ |
Các cách viết khác của công thức đổi cơ số: $log_{a}b.log_{b}c=log_{a}c$ với
$a,b,c > 0, a,b \neq 1$
Công thức này có hệ quả là: Khi cho ra $a=c$, ta có: $log_{c}b.log_{b}c= log_{c}c=1\Leftrightarrow log_{c}b=\frac{1}{log_{b}c}$
[gọi là nghịch đảo].
Tương tự: $log_{x_{1}}x_{2}...log_{x_{n-1}}x_{n}= log_{x_{1}}x_{n}$ [Với $1\neq x_{1};...x_{n} > 0$]
| $a^{log_{b}c}=c^{log_{b}a}$ [Với $a;b;c > 0; b\neq 1$] |
1.2. Định nghĩa phương trình Logarit
- Định nghĩa: Là phương trình có dạng $log_{a}f[x]= log_{a}g[x]$, trong đó $f[x]$ và $g[x]$ là các hàm số chứa ẩn $x$ cần giải.
- Cách giải tổng quát:
Đặt điều kiện cho phương trình có nghĩa: $\left\{\begin{matrix}a > 0; a\neq 1 & & \\ f[x] > 0 & & \\ g[x] > 0 & & \end{matrix}\right.$
Biến đổi phương trình về dạng sau: $\left\{\begin{matrix}f[x] = g[x]& & \\ a=1 & & \end{matrix}\right.$
Lưu ý:
+ Với dạng phương trình $log_{a}f[x]=b\Leftrightarrow f[x]=a^{b}$
+ Đẩy lũy thừa bậc chẵn: $log_{a}x^{2n}=2nlog_{a}\left | x \right |$ nếu $x > 0$ thì $nlog_{a}x=log_{a}x^{n}$
+ Với phương trình sau khi biến đổi được về dạng:
$\sqrt{f[x]}=g[x]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}g[x] \geqslant 0& & \\ f[x]=[g[x]]^{2} & & \end{matrix}\right.$
2. Các cách tìm tập nghiệm của phương trình logarit
Có 4 phương pháp phổ biến để giải cũng như tìm tập nghiệm của phương trình logarit:
| Phương pháp | Công thức |
| Đưa về cùng cơ số | $log_{a}f[x]=log_{a}g[x]\Leftrightarrow f[x]=g[x]$ $log_{a}f[x]=b\Leftrightarrow f[x]=ab$ |
| Đặt ẩn phụ | Phương trình dạng: $Q[log_{a}f[x]]=0$ $\rightarrow$ Đặt $t=log_{a}x [t\in R]$ |
| Mũ hóa | Phương trình $log_{a}f [x]= log_{b}g[x] [a>0, a\neq 1]$ Ta đặt $log_{a}f [x]= log_{b}g[x]= t\Rightarrow \left\{\begin{matrix} f[x]= a^{t} & & \\ g[x]= b^{t}& & \end{matrix}\right.$ $\rightarrow$ Đưa phương trình về dạng phương trình ẩn $t$ |
| Đánh giá hàm số | Hàm số y=f[x] đồng biến hoặc [nghích biển] trên R thì phương trình $f[x]= f[x_{0}]\Leftrightarrow x=x_{0}$ Hàm số $f[t]$ đồng biến hoặc [nghịch biến] trên $D$ thì với $u,v\in D$ ta có $f[u]= f[v]\Leftrightarrow u=v$ [$D$ là một khoảng, một đoạn hoặc nửa đoạn] |
3. Bài tập áp dụng
Các bạn có thể tham khảo thêm dạng bài tập tại đây có đáp án chi tiết: Bài tập phương trình Logarit
Sau khi đọc xong bài viết này, các bạn nhớ hãy luyện tập các bài tập áp dụng thường xuyên để thực hành thành thạo các cách tìm tập nghiệm của phương trình logarit nhé. Chúc các bạn học tốt!