VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Mặt cầu ngoại tiếp hình hộp, nội tiếp hình chóp, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.
Nội dung bài viết Mặt cầu ngoại tiếp hình hộp, nội tiếp hình chóp: Phương pháp giải. Mặt cầu một tiến hành đa diện nếu mặt cầu đó tiếp xúc với tất cả các mặt của hình đa diện, còn mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện nếu tất cả các đỉnh của hình đa diện đều nằm trên mặt cầu. Khi mặt cầu nội tiếp [ngoại tiếp] hình đa diện, người ta cũng nói hình đa diện ngoại tiếp [nội tiếp] mặt cầu. Ví dụ 9. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Hãy xác định tâm và bán kính của mặt cầu trong các trường hợp sau đây: a] Đi qua 8 đỉnh của hình lập phương; b] Tiếp xúc với 12 cạnh của hình lập phương; c] Tiếp xúc với 6 mặt bên của hình lập phương. Gọi O là tâm của hình lập phương ABCD.A’B’C’D. a] Ta có: O cách đều 8 đỉnh của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Vậy mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình lập phương ABCD.A’B’C’D cạnh a là mặt cầu có tâm O là trung điểm của đường chéo AC và có bán kính r = d. b] Ta có: A cách đều 12 cạnh của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi H là trung điểm của cạnh AA’. Ta có OH = AC = 2. Vậy mặt cầu tiếp xúc với 12 cạnh của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a là mặt cầu có tâm O là trung điểm của đường chéo AC và có bán kính a = OH. Ta có: O cách đều 6 mặt bên của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi I là tâm của hình vuông ABCD. Ta có OI = a. Vậy mặt cầu tiếp xúc với 6 mặt bên của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a là mặt cầu có tâm O là trung điểm của đường chéo AC và có bán kính IB = 3. Ví dụ 10. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AA’ = a, AB = b, AD = c. a] Hãy xác định tâm và bán kính của mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình hộp; b] Tính bán kính của đường tròn là giao tuyến của mặt phẳng [ABCD] với mặt cầu trên. a] Gọi O là tâm của hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D. Ta có: O cách đều 8 đỉnh của hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D. Vậy mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’CD là mặt cầu có tâm O là trung điểm của đường chéo AC và có bán kính R = 2 b] Giao tuyến của mặt phẳng [ABCD] với mặt cầu trên là đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD. Vậy đường tròn giao tuyến của mặt phẳng [ABCD] với mặt cầu trên có tâm là trung điểm I của AC và có bán kính là T.
Ví dụ 11. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, mặt bên tạo với đáy một góc La [0° < a < 90°]. Xác định tâm và tính theo a và e bán kính của mặt cầu nội tiếp hình chóp đó. Gọi H là tâm của tam giác đều ABC, ta có SH // [ABC]. Gọi M là trung điểm của BC, ta có SM // BC là góc giữa hai mặt phẳng [SBC] và [ABC]. Do đó, ta có SMA = a. Gọi I là tâm của mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABC, khi đó IE // SH. Vì I là tâm của mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABC nên MI là đường phân giác của góc SMA. Khi đó, ta có IH là bán kính r của mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABC. Tam giác IHM vuông tại H có IMH = 8 nên IH = MH.
- Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!
Tải xuống
+ Đa giác đều n cạnh có độ dài mỗi cạnh là a, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp và r là bán kính đường tròn nội tiếp đa giác. Ta có:
+ Ngoài ra có thể sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, định lý Py – ta – go,… để tính R và r.
Ví dụ 1 : Cho một đa giác đều n cạnh có độ dài mỗi cạnh là a. Hãy tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp và bán kính r của đường tròn nội tiếp đa giác đều đó
Hướng dẫn giải
Giả sử: OA = OB = R, OC = r
Ta có:
Trong tam giác COB, ta có:
Nên
Ta lại có
Ví dụ 2 :
a] Vẽ đường tròn tâm O, bán kính 2cm.
b] Vẽ hình vuông nội tiếp đường tròn [O] ở câu a].
c] Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp hình vuông ở câu b] rồi vẽ đường tròn [O; r].
Hướng dẫn giải
a] Chọn điểm O là tâm, mở compa có độ dài 2cm vẽ đường tròn tâm O, bán kính 2cm.
b] Vẽ đường kính AC và BD vuông góc với nhau. Nối A với B, B với C, C với D, D với A ta được tứ giác ABCD là hình vuông nội tiếp đường tròn [O; 2cm].
c] Vẽ OH ⊥ BC.
⇒ OH là khoảng cách từ tâm O đến BC
Vì AB = BC = CD = DA [ ABCD là hình vuông] nên khoảng cách từ tâm O đến AB, BC, CD, DA bằng nhau [ định lý lien hệ giữa dây cung và khoảng cách từ tâm đến dây]
⇒ O là tâm đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD
OH là bán kính r của đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD.
Tam giác vuông OBC có OH là đường trung tuyến ⇒
Xét tam giác vuông OHB có :
Vẽ đường tròn [O; OH]. Đường tròn này nội tiếp hình vuông, tiếp xúc bốn cạnh hình vuông tại các trung điểm của mỗi cạnh.
Ví dụ 3 :
a] Vẽ tam giác đều ABC cạnh a = 3cm.
b] Vẽ tiếp đường tròn [O; R] ngoại tiếp tam giác đều ABC. Tính R.
c] Vẽ tiếp đường tròn [O; r] nội tiếp tam giác đều ABC. Tính r.
d] Vẽ tiếp tam giác đều IJK ngoại tiếp đường tròn [O; R].
Hướng dẫn giải
a] Vẽ tam giác đều ABC có cạnh bằng 3cm [dùng thước thẳng và compa].
+ Dựng đoạn thẳng AB = 3cm .
+ Dựng cung tròn [A, 3] và cung tròn [B, 3]. Hai cung tròn này cắt nhau tại điểm C.
Nối A với C, B với C ta được tam giác đều ABC cạnh 3cm.
b] * Vẽ đường tròn:
Tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC là giao điểm của ba đường trung trực.
Dựng đường trung trực của đoạn thẳng BC và CA.
Hai đường trung trực cắt nhau tại O.
Vẽ đường tròn tâm O, bán kính OA = OB = OC ta được đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
* Tính bán kính đường tròn.
+ Gọi A’ là trung điểm BC ⇒
và AA’ ⊥ BC
⇒
+ Do tam giác ABC là tam giác đều nên 3 đường trung trực đồng thời là ba đường trung tuyến
⇒ Giao điểm ba đường trung trực cũng là giao điểm ba đường trung tuyến
Suy ra O là trọng tâm tam giác ABC.
⇒
Vậy R =
c] * Vẽ đường tròn:
Gọi A’; B’; C’ lần lượt là chân đường phân giác trong ứng với các góc
Do tam giác ABC là tam giác đều nên A’; B’; C’ đồng thời là trung điểm BC; CA; AB.
Đường tròn [O; r] là đường tròn tâm O; bán kính OA’ = OB’ = OC’.
* Tính r:
Vậy
d] Vẽ các tiếp tuyến với đường tròn [O; R] tại A, B, C. Ba tiếp tuyến này cắt nhau tại I, J, K. Ta có ΔIJK là tam giác đều ngoại tiếp [O; R].
Câu 1 : Cho hình vuông sau,
Nhận xét nào sau đây đúng?
A. Bán kính đường tròn ngoại tiếp luôn lớn hơn bán kính đường tròn nội tiếp của hình vuông đó.
B. Bán kính đường tròn ngoại tiếp luôn bằng bán kính đường tròn nội tiếp của hình vuông đó.
C. Bán kính đường tròn ngoại tiếp luôn nhỏ hơn bán kính đường tròn nội tiếp của hình vuông đó.
D. Bán kính đường tròn ngoại tiếp luôn bằng một nửa bán kính đường tròn nội tiếp của hình vuông đó.
Hướng dẫn giải
Đáp án A
Hướng dẫn giải
Xét hình vuông ABCD có tâm O, kẻ OM ⊥ CD [M ∈ CD]
Lúc đó OD là bán kính đường tròn ngoại tiếp, OM là bán kính đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD
ΔOMD vuông tại M nên OD ≥ OM [1]
Giả sử OD = OM khi đó đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp là hai đường tròn có chung tâm O và độ dài hai bán kính bằng nhau nên chúng trùng nhau.
Lúc đó không tồn tại hình vuông vừa có đỉnh trên đường tròn [O] vừa có cạnh tiếp xúc với đường tròn [O]
Do đó OD ≠ OM kết hợp với [1] ta có OD > OM [đpcm].
Câu 2 : Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O. Đặt R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp lục giác. Viết biểu thức liên hệ giữa R và r.
Hướng dẫn giải
Đáp án B
Lục giác đều ABCDEF nên chia đường tròn ngoại tiếp thành 6 cung bằng nhau, suy ra
Tam giác AOF cân tại O có
Vẽ đường cao AH của ΔAOF
Khi đó
Xét ΔAOH vuông tại H nên
Câu 3 : Đường tròn nội tiếp hình vuông cạnh a có bán kính là
Hướng dẫn giải
Đáp án C
Áp dụng công thức:
Câu 4 : Cho tam giác ABC có AB = 6cm; BC= 10 cm và AC = 8cm. Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là điểm nào?
A. Trung điểm AB
B. Trung điểm BC
C. Trung điểm AC
D. Trọng tâm tam giác ABC
Hướng dẫn giải
Đáp án B
Xét ΔABC , có:
BC2 = 102 = 100
AB2 + AC2 = 62 + 82 = 100
⇒ BC2 = AB2 + AC2
Theo định lý Py – ta – go đảo suy ra tam giác ABC vuông tại A
⇒
⇒ A, B, C nội tiếp đường tròn đường kính BC hay đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm là trung điểm của BC.
Câu 5 : Cho tam giác ABC cân tại A, có
Hướng dẫn giải
Đáp án B
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, H là giao điểm của OA và BC
Xét tam giác OAC, có OA = OC
Suy ra tam giác OAC cân tại O
Ta có ΔABC cân tại A
AO là tia phân giác của
⇒
⇒ ΔOAC đều
Đặt OA = OC = AC = x,
Vì OA là đường trung trực của BC nên H là trung điểm của BC
⇒
Vì CH ⊥ OA nên CH cũng là đường trung tuyến nên H là trung điểm của AO
⇒
Xét ΔCHA vuông tại H, ta có :
AC2 = AH2 + CH2 [định lý Py – ta – go]
Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là
Câu 6 : Hình nào trong các hình dưới đây không có đường tròn nội tiếp
A. Hình chữ nhật
B. Hình vuông
C. Hình tam giác
D. Hình tam giác đều
Hướng dẫn giải
Đáp án A
Hình chữ nhật chỉ có đường tròn ngoại tiếp, không có đường tròn nội tiếp.
Câu 7 : Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp; r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Tính tỉ số
A. 0,5
B. 0,44
C. 0,41
D. 0,42
Hướng dẫn giải
Đáp án C
Tam giác ABC vuông cân tại A, gọi O là trung điểm của BC
⇒ O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC
⇒ I thuộc phân giác góc BAC
Mà tam giác ABC vuông cân tại A nên đường trung tuyến AO trùng với đường phân giác AI, hơn nữa AO BC.
Ta có BI là tia phân giác của
Xét ΔIOB vuông tại O, ta có:
Tải xuống
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 chọn lọc, có lời giải chi tiết hay khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
- Hỏi bài tập trên ứng dụng, thầy cô VietJack trả lời miễn phí!
- Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k7: fb.com/groups/hoctap2k7/
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 9 Đại số và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 9 và Hình học 9.
Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
chuong-3-goc-voi-duong-tron.jsp