Khái quát nội dung tài liệu xác định hệ số của hàm số khi biết bảng biến thiên hoặc đồ thị:
Cách xác định hệ số a b c của đồ thị
VÍ DỤ MINH HỌA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Cho hàm số f[x] = [ax + 1]/[bx + c] [a, b, c thuộc R] có bảng biến thiên như sau. Trong các số a, b và c có bao nhiêu số dương?
1. Dạng toán: Đây là bài toán ở dạng vận dụng: Từ bảng biến thiên xác định dấu các hệ số a, b và c của hàm số.
2. Kiến thức cần nhớ: Cho hàm số f[x] = [ax + b]/[cx + d]. + Đồ thị hàm số f[x] = [ax + b]/[cx + d] có tiệm cận đứng là đường thẳng x = -d/c. + Đồ thị hàm số f[x] = [ax + b]/[cx + d] có tiệm cận ngang là đường thẳng x = a/c. + Đạo hàm của hàm số f[x] = [ax + b]/[cx + d] là f'[x] = [ad – bc]/[cx + d]^2. [ads]
3. Hướng giải:
+ Bước 1: Từ công thức của hàm số f[x] = [ax + 1]/[bx + c] chỉ ra phương trình đường thẳng của tiệm cận đứng, tiệm cận ngang và công thức tính đạo hàm của nó. + Bước 2: Từ bảng biến thiên chỉ ra tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số và chiều biến thiên của hàm số đó. + Bước 3: Thay các dữ kiện ở bước 1 vào bước 2 ta sẽ xác định được dấu của các hệ số a, b và c.
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN
Gồm các câu hỏi và bài tập trắc nghiệm mức độ vận dụng và vận dụng cao [VD & VDC], có đáp án và lời giải chi tiết.
Tài liệu gồm 12 trang trình bày các dấu hiệu đặc trưng giúp nhận dạng nhanh các loại đồ thị hàm số tương ứng với các giá trị hệ số khác nhau. Tài liệu gồm 5 phần:
Dấu hiệu nhận biết [dấu âm dương] các hệ số của hàm bậc ba dựa vào đồ thị
Đồ thị thăng thiên ⇒ a > 0 Đồ thị độn thổ ⇒ a < 0 Điểm uốn “lệch phải” so với Oy hoặc 2 điểm cực trị lệch phải so với Oy ⇒ ab < 0 Điểm uốn thuộc Oy, hai điểm cực trị cách đều trục Oy ⇒ b = 0 Không có cực trị ⇒ c = 0 hoặc ac > 0 Hai điểm cực trị nằm về hai phía trục tung Oy ⇒ ac < 0 Có 1 điểm cực trị nằm trên Oy ⇒ c = 0 Giao điểm với trục tung trùng điểm O ⇒ d = 0 Giao điểm với trục tung nằm dưới điểm O ⇒ d < 0 Giao điểm với trục tung nằm trên điểm O ⇒ d > 0
Đồ thị hàm bậc 4 trùng phương
Đồ thị thăng thiên ⇒ a > 0
Đồ thị độn thổ ⇒ a > 0 Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị ⇒ ab < 0 Đồ thị hàm số chỉ có 1 điểm cực trị [Đang xét a ≠ 0] ⇒ ab ≥ 0 Giao điểm với trục tung nằm trên điểm O ⇒ c > 0 Giao điểm với trục tung nằm dưới điểm O ⇒ c < 0 Giao điểm với trục tung trùng điểm O ⇒ c = 0 [ads]
Đồ thị hàm phân thức hữu tỉ
Giao Ox nằm phía “phải” điểm O ⇒ ab < 0 Giao Ox nằm phía “trái” điểm O ⇒ ab > 0 Không cắt Ox ⇒ a = 0 Tiệm cận ngang nằm “phía trên” Ox ⇒ ac > 0 Tiệm cận ngang nằm “phía dưới” Ox ⇒ ac < 0 Tiệm cận ngang trùng Ox ⇒ a = 0 Giao Oy nằm trên điểm O ⇒ bd > 0 Giao Oy nằm dưới điểm O ⇒ bd < 0 Giao Oy trùng gốc tọa độ O ⇒ b = 0 Tiệm cận đứng nằm “bên phải” Oy ⇒ cd < 0 Tiệm cận đứng nằm “bên trái” Oy ⇒ cd > 0 Tiệm cận đứng trùng Oy ⇒ d = 0
Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối
Từ đồ thị hàm số f[x] suy ra đồ thị hàm số |f[x]|: Toàn bộ đồ thị nằm phía trên Ox của f[x] được giữ nguyên. Toàn bộ đồ thị nằm phía dưới Ox của f[x] được lấy đối xứng lên trên.
Từ đồ thị hàm số f[x] suy ra đồ thị hàm số f[|x|]: Toàn bộ đồ thị nằm phía bên phải Oy của f[x] được giữ nguyên, phần bên trái Oy của f[x] bỏ đi, lấy đối xứng phần bên phải sang trái.
Từ đồ thị hàm số f[x] suy ra đồ thị hàm số |x – a|g[x] với [x – a]g[x] = f[x]: Toàn bộ đồ thị ứng với x > a của f[x] [Nằm phía bên phải đường thẳng x = a] được giữ nguyên, toàn bộ đồ thị ứng với x < a của f[x] [Nằm phía bên trái đường thẳng x = a] lấy đối xứng qua Ox.
Đồ thị hàm số f'[x] Số giao điểm với trục hoành ⇒ số lần đổi dấu của f'[x] ⇒ số điểm cực trị
Nằm trên hay dưới trục hoành ⇒ f'[x] > 0 hoặc f'[x] < 0 trên 1 miền ⇒ Tính đơn điệu của hàm số
Xét đồ thị hàm số $y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$.
a] Xác định dấu của a
Từ đồ thị, ta tìm được giới hạn $L=\lim_{x\rightarrow +\infty }y$.Ta thấy:
$L=+\infty \Leftrightarrow a>0$.
$L=-\infty \Leftrightarrow a 0$.
M nằm phía dưới trục hoành $\Leftrightarrow d 0.
Vì trong hai điểm cực trị, điểm có hoành độ âm gần trục tung hơn nên $x_{CD} + x_{CT}$ > 0. Do đó a, b trái dấu, nên b > 0.
Vậy a < 0; b > 0; c > 0; d < 0.
Bài tập 2: Hàm số $y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ có đồ thị như hình bên. Xác định dấu của a, b, c, d.
Bài giải:
Ta thấy: $L=\lim_{x\rightarrow +\infty }y=+\infty $ do đó a >0.
Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm nằm trên trục hoành nên d = 0.
Gọi lần lượt các điểm cực đại và cực tiểu của hàm số là $x_{CD}$ và $x_{CT}$. Vì $x_{CD}$ và $x_{CT}$ là nghiệm của phương trình $y^{'}=3ax^{2}+2bx+c=0$ nên $\left\{\begin{matrix}x_{CD} + x_{CT}=\frac{-2b}{3a}\\x_{CD}.x_{CT}=\frac{c}{3a} \end{matrix}\right.$
Vì các điểm cực đại, cực tiểu của hàm số nằm về hai phía của Oy nên $x_{CD}.x_{CT}$ < 0 do đó a và c trái dấu, nên c > 0.
Vì hai điểm cưcj trị cách đều trục tung nên $x_{CD} + x_{CT}$ = 0. Do đó b = 0.
Vậy a > 0; b = 0; c < 0; d = 0.
NHẬN DẠNG ĐỒ THỊ
LÝ THUYẾT:
1. Nếu đồ thị hàm số \[y = f[x]\] cắt trục tung tại điểm có tung độ \[{y_0}\] thì \[f[0] = {y_0}\]
2. Nếu đồ thị hàm số \[y = f[x]\] cắt trục hoành tại điểm có hoành độ \[{x_0}\] thì \[f[{x_0}] = 0\]
3. Nếu đồ thị hàm số \[y = f[x]\] đi qua điểm có hoành độ \[{x_0}\] và tung độ \[{y_0}\] thì \[f[{x_0}] = {y_0}\]
4. Nếu hàm số \[f[x]\] là một đa thức thì chiều của nhánh cuối cùng của đồ thị về phía trục hoành luôn có hướng tương ứng với hệ số cao nhất, tức là hướng lên thì hệ số dương và hướng xuống thì hệ số âm.
5. Với \[f[x]\] là các hàm thường gặp: nếu \[x = {x_0}\] là cực trị của hàm số thì \[f'[{x_0}] = 0\]
6. Hàm số đa thức bậc ba \[[y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d{\rm{ [a}} \ne {\rm{0]}}\].
Cắt trục tung tại điểm có tung độ là \[[d\] .
Cắt trục hoành tối đa tại 3 điểm.
\[y' = 3a{x^2} + 2bx + c\] , \[\Delta ' = {b^2} - 3ac\].
Hàm số có 2 cực trị nếu \[\Delta ' > 0\] và không có cực trị nếu \[\Delta ' \le 0\] .
Cực trị của hàm số \[{x_1},{x_2}\] thỏa mãn định lý Vi-ét:
\[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{ - 2b}}{{3a}}\\{x_1}.{x_2} = \frac{c}{{3a}}
\end{array} \right.\]
7. Hàm số đa thức bậc bốn trùng phương \[f[x] = a{x^4} + b{x^2} + c{\rm{ [a}} \ne {\rm{0]}}\]
Cắt trục tung tại điểm có tung độ là \[c\] .
Cắt trục hoành tối đa tại 4 điểm, các điểm này đối xứng lẫn nhau qua gốc \[O\]
Đồ thị cắt trục hoành khi và chỉ khi \[\Delta {\rm{ }} = {b^2} - {\rm{ }}4ac{\rm{ }} > 0\]
\[y' = 4a{x^3} + 2bx = 2x[2a{x^2} + b]\] . Hàm số luôn có 1 cực trị là \[x = 0\]
+ Nếu \[a,b\] cùng dấu thì đây là cực trị duy nhất.
+ Nếu \[a,b\] trái dấu thì hàm số có thêm hai cực trị đối xứng nhau qua \[O\] là \[x = \pm \sqrt {\dfrac{{ - b}}{{2a}}} \]
Hàm số có trục đối xứng là trục tung.
8. Hàm số phân thức bậc nhất \[f[x] = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}\]
Cắt trục tung tại điểm có tung độ \[[\left[ {0;\dfrac{b}{d}} \right]\].
Cắt trục hoành tại điểm có hoành độ \[\left[ { - \dfrac{b}{a};0} \right]\]
Tiệm cận ngang: \[y = \dfrac{a}{c}\]
Tiệm cận đứng: \[x = \dfrac{{ - d}}{c}\]
\[f'[x] = \frac{{ad - bc}}{{{{[cx + d]}^2}}} > 0[ < 0] \Leftrightarrow ad - bc > 0[ < 0]\]