Tìm điều kiện để hai điểm nằm về cùng phía trục hoành
Cách làm bài toán parabol cắt đường thẳng thỏa mãn điều kiện về vị trí giao điểm
A. Phương pháp giải
Cho parabol [P]: y = ax2 [a ≠ 0] và đường thẳng y = mx + n.
Bước 1: Viết phương trình hoành độ giao điểm của parabol và đường thẳng.
ax2 = mx + n ⇔ ax2 - mx - n = 0 [*]
Bước 2: Xét điều kiện để parabol có điểm chung với đường thẳng:
- TH1: Parabol tiếp xúc với đường thẳng [có 1 điểm chung] ⇒ phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm kép [Δ = 0 hoặc Δ' = 0].
- TH2: Parabol cắt đường thẳng tại hai điểm phân biệt [có 2 điểm chung phân biệt] ⇒ phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt [Δ > 0 hoặc Δ' > 0].
Bước 3:Xét điều kiện về vị trí giao điểm:
+] Đường thẳng [d] cắt parabol [P] tại hai điểm nằm phía trên trục hoành ⇒ a > 0.
+] Đường thẳng [d] cắt parabol [P] tại hai điểm nằm phía dưới trục hoành ⇒ a < 0.
+] Đường thẳng [d] cắt parabol [P] tại hai điểm nằm cùng phía so với trục tung ⇔ phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm cùng dấu hay a.n < 0.
+] Đường thẳng [d] cắt parabol [P] tại hai điểm cùng nằm phía bên phải trục tung ⇔ phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm dương
+] Đường thẳng [d] cắt parabol [P] tại hai điểm cùng nằm phía bên trái trục tung ⇔ phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm âm
+] Đường thẳng [d] cắt [P] tại hai điểm nằm về hai phía trục tung ⇔ phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm trái dấu hay a.n > 0
+] Đường thẳng [d] cắt [P] tại hai điểm thỏa mãn điều kiện khác: Sử dụng hệ thức Vi-ét, kết hợp biến đổi biểu thức.
Bước 4: Kết luận.
B. Các ví dụ điển hình
Ví dụ 1: Cho parabol [P]: y = x2 và đường thẳng [d]: y = x + m [với m là tham số]. Giá trị của m để [d] cắt [P] tại hai điểm phân biệt ở hai phía so với trục tung là:
Lời giải
Chọn A
Ví dụ 2:Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng [d]: y = -x + 2m và parabol [P]: cắt nhau tại hai điểm phân biệt nằm cùng phía so với trục tung.
Lời giải
Chọn A
Ví dụ 3: Đường thẳng nào sau đây cắt đồ thị hàm số y = ax2 [a > 0] tại hai điểm khác phía so với trục tung và cách đều trục tung với mọi m?
Lời giải
Chọn B
Bài tập vận dụng
Bài 1: Tìm giá trị nguyên âm của m để parabol [P]: y = x2 cắt đường thẳng [d]: y = [m - 1]x + m + 2 [với m là tham số, m ≠ 1] tại hai điểm phân biệt nằm ở hai phía so với trục tung.
Đáp án A
Bài 2: Cho đường thẳng [d]: y = mx + 2 và parabol [P]: . Gọi giao điểm của đường thẳng [d] với parabol [P] là A, B và giao điểm của [d] với trục tung là G. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A và B trên trục hoành. Tìm m để diện tích tam giác GHK bằng 4.
Đáp án A
Cặp parabol và đường thẳng nào sau đây tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ dương ở phía trên trục hoành?
Đáp án C
Bài 4: Đường thẳng [d]: y = x + 1 tiếp xúc với parabol nào sau đây tại điểm A sao cho OA = 5?
Đáp án D
Bài 5: Tìm m để đường thẳng [d]: y = [m + 3]x + m2 tiếp xúc với parabol [P]: y = -4x2 tại điểm cách trục hoành 1 đơn vị.
Đáp án B
Bài 6: Gọi A và B là hai giao điểm của parabol [P]: và đường thẳng [d]: . Phương trình đường thẳng [d’] tiếp xúc với parabol [P] tại điểm C sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất là:
Đáp án B
Bài 7: Cho hàm số y = 2x2 có đồ thị là parabol [P] và hai điểm A[2; 3], B[-1; 0]. Gọi C là giao điểm của [P] và đường thẳng AB phía bên phải trục tung. Phương trình đường thẳng qua C và có một điểm chung duy nhất với [P] là:
Đáp án A
Bài 8: Tìm m để parabol [P]: y = x2 tiếp xúc với đường thẳng [d1]: y = 2mx - m2 tại giao điểm của [d1] và [d2]: y = x + 2 ở phía bên trái trục tung.
Đáp án C
Bài 9: Cho parabol [P]: y = -x2 và đường thẳng [d]: y = mx - 2 [với m là tham số]. Tìm m để [d] cắt [P] tại hai điểm phân biệt A và B sao cho độ dài đoạn AB đạt giá trị nhỏ nhất.
Đáp án C
Bài 10: Cho parabol [P]: . Tìm m để đường thẳng [d]; y = m cắt [P] tại hai điểm A và B khác phía so với trục tung sao cho diện tích tam giác OAB bằng 16.
Đáp án C