Cho ab là các số thực dương và ab 1 thỏa mãn 2 log 3 ab a thi giá trị của 3 logab ab bằng

Câu hỏi:

Cho hai số thực \(a\), \(b\) đều lớn hơn \(1\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S = \frac{1}{{{{\log }_{ab}}a}} + \frac{1}{{{{\log }_{\sqrt[4]{{ab}}}}b}}\) bằng

A. \(\frac{4}{9}\).

B. \(\frac{9}{4}\).

C. \(\frac{9}{2}\).

D. \(\frac{1}{4}\).

Lời giải

Chọn B

Ta có \(S = \frac{1}{{{{\log }_{ab}}a}} + \frac{1}{{{{\log }_{\sqrt[4]{{ab}}}}b}}\)\( = {\log _a}\left( {ab} \right) + {\log _b}\sqrt[4]{{ab}}\)

\( = 1 + {\log _a}b + \frac{1}{4}\left( {{{\log }_b}a + 1} \right)\)\( = {\log _a}b + \frac{1}{{4{{\log }_a}b}} + \frac{5}{4}\).

Đặt \(x = {\log _a}b\). Do \(a\), \(b > 1\) nên \(x > 0\). Khi đó \(S = x + \frac{1}{{4x}} + \frac{5}{4}\).

Cách 1.

Ta có \(S = x + \frac{1}{{4x}} + \frac{5}{4}\)\( \ge 2\sqrt {x.\frac{1}{{4x}}} + \frac{5}{4} = \frac{9}{4}\) (Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương \(x\) và \(\frac{1}{4}x\)).

Dấu xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{{4x}}\\x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \pm \frac{1}{2}\\x > 0\end{array} \right. \Rightarrow x = \frac{1}{2}\).

Vậy \(\min S = \frac{9}{4}\) tại \({\log _a}b = \frac{1}{2} \Leftrightarrow b = \sqrt a \).

Cách 2.

Ta có \(S = x + \frac{1}{{4x}} + \frac{5}{4}\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = x + \frac{1}{{4x}} + \frac{5}{4}\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\), ta có

\(f’\left( x \right) = 1 – \frac{1}{{4{x^2}}}\)\( = \frac{{4{x^2} – 1}}{{4{x^2}}}\); \(f’\left( x \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \)\(x = – \frac{1}{2} \notin \left( {0; + \infty } \right)\) hoặc \(x = \frac{1}{2} \in \left( {0; + \infty } \right)\).

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, ta có \(\mathop {\min }\limits_{\left( {0\,\,; + \infty } \right)} f\left( x \right) = \frac{9}{4}\) khi \(x = \frac{1}{2}\).

Vậy \(\min S = \frac{9}{4}\) tại \({\log _a}b = \frac{1}{2} \Leftrightarrow b = \sqrt a \).

======= Thuộc mục: Trắc nghiệm Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

Lời giải của GV Vungoi.vn

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\log _a^2b + \log _b^2c + 2{\log _b}\dfrac{c}{b} = {\log _a}\dfrac{c}{{{a^3}b}}\\ \Leftrightarrow \log _a^2b + \log _b^2c + 2{\log _b}c - 2 = {\log _a}c - {\log _a}\left( {{a^3}b} \right)\\ \Leftrightarrow \log _a^2b + \log _b^2c + 2{\log _b}c - 2 = {\log _a}c - 3 - {\log _a}b\\ \Leftrightarrow \log _a^2b + \log _b^2c = {\log _a}b.lo{g_b}c - 2{\log _b}c - {\log _a}b - 1\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Đặt \(x = {\log _a}b,\,\,y = {\log _b}c\), khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}P = {\log _a}ab - {\log _b}bc\\P = 1 + {\log _a}b - 1 - {\log _b}c\\P = x - y \Rightarrow y = x - P\end{array}\)

Thay \(x,\,\,y\) vào (1) ta có:

\(\begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = xy - 2y - x - 1\\ \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {x - P} \right)^2} = x\left( {x - P} \right) - 2\left( {x - P} \right) - x - 1\\ \Leftrightarrow {x^2} + {x^2} - 2Px + {P^2} = {x^2} - Px - 2x + 2P - x - 1\\ \Leftrightarrow {x^2} - \left( {P - 3} \right)x + {P^2} - 2P + 1 = 0\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Để tồn tại các số \(a,\,\,b,\,\,c\) thỏa mãn yêu cầu bài toán thì phương trình (2) phải có nghiệm.

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta  \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( {P - 3} \right)^2} - 4\left( {{P^2} - 2P + 1} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow {P^2} - 6P + 9 - 4{P^2} + 8P - 4 \ge 0\\ \Leftrightarrow  - 3{P^2} + 2P + 5 \ge 0\\ \Leftrightarrow  - 1 \le P \le \dfrac{5}{3}\end{array}\) 

Vậy \(m =  - 1,\,\,M = \dfrac{5}{3}\) \( \Rightarrow S = 2{m^2} + 9{M^2} = 2.{\left( { - 1} \right)^2} + 9.{\left( {\dfrac{5}{3}} \right)^2} = 27\).

VietJack

Bằng cách đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách Bảo mật của chúng tôi.

VietJack

Bằng cách đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách Bảo mật của chúng tôi.

Phương pháp giải:

- Sử dụng các công thức

({log _a}left( {xy} right) = {log _a}x + {log _a}y,,left( {0 0} right))

({log _{{a^n}}}{b^m} = dfrac{m}{n}{log _a}b,,left( {0 0} right))

({log _a}b = dfrac{1}{{{{log }_b}a}},,left( {0 < a,b ne 1} right))

Từ giả thiết tính ({log _a}b).

- Biến đổi biểu thức cần tính bằng cách sử dụng các công thức trên, thay ({log _a}b) vừa tính được để tính giá trị biểu thức.

Giải chi tiết:

Theo bài ra ta có:

(begin{array}{l}{log _{sqrt {ab} }}left( {asqrt[3]{b}} right) = {log _{sqrt {ab} }}left( {sqrt[3]{{ab}}.sqrt[3]{{{a^2}}}} right)\ = {log _{sqrt {ab} }}sqrt[3]{{ab}} + {log _{sqrt {ab} }}sqrt[3]{{{a^2}}}\ = {log _{{{left( {ab} right)}^{dfrac{1}{2}}}}}{left( {ab} right)^{dfrac{1}{3}}} + dfrac{1}{{{{log }_{{a^{dfrac{2}{3}}}}}{{left( {ab} right)}^{dfrac{1}{2}}}}}\ = dfrac{1}{3}2.{log _{ab}}left( {ab} right) + dfrac{1}{{dfrac{1}{2}.dfrac{3}{2}{{log }_a}left( {ab} right)}}\ = dfrac{2}{3} + dfrac{1}{{dfrac{3}{4}left( {1 + {{log }_a}b} right)}}\ Rightarrow dfrac{2}{3} + dfrac{1}{{dfrac{3}{4}left( {1 + {{log }_a}b} right)}} = 3\ Rightarrow {log _a}b =  - dfrac{3}{7}end{array})

Khi đó ta có:

(begin{array}{l}{log _{sqrt {ab} }}left( {bsqrt[3]{a}} right) = {log _{sqrt {ab} }}left( {sqrt[3]{{ab}}sqrt[3]{{{b^2}}}} right)\ = {log _{sqrt {ab} }}sqrt[3]{{ab}} + {log _{sqrt {ab} }}sqrt[3]{{{b^2}}}\ = {log _{{{left( {ab} right)}^{dfrac{1}{2}}}}}{left( {ab} right)^{dfrac{1}{3}}} + dfrac{1}{{{{log }_{{b^{dfrac{2}{3}}}}}{{left( {ab} right)}^{dfrac{1}{2}}}}}\ = dfrac{1}{3}.2.{log _{ab}}left( {ab} right) + dfrac{1}{{dfrac{1}{2}.dfrac{3}{2}{{log }_b}left( {ab} right)}}\ = dfrac{2}{3} + dfrac{1}{{dfrac{3}{4}left( {{{log }_b}a + 1} right)}}\ = dfrac{2}{3} + dfrac{4}{3}.dfrac{1}{{ - dfrac{7}{3} + 1}} =  - dfrac{1}{3}end{array})

Chọn B.

Cho \(a,\,\,\,b\) là các số thực dương khác 1 và thỏa mãn \({\log _a}b = 3\). Tính giá trị của biểu thức \(T = {\log _{\frac{{\sqrt b }}{a}}}\frac{{\sqrt[3]{b}}}{{\sqrt a }}.\)

A.

B.

C.

D.

Phương pháp giải:

- Sử dụng các công thức

\({\log _a}\left( {xy} \right) = {\log _a}x + {\log _a}y\,\,\left( {0 < a \ne 1,\,\,x,y > 0} \right)\)

\({\log _{{a^n}}}{b^m} = \dfrac{m}{n}{\log _a}b\,\,\left( {0 < a \ne 1,\,\,b > 0} \right)\)

\({\log _a}b = \dfrac{1}{{{{\log }_b}a}}\,\,\left( {0 < a,b \ne 1} \right)\)

Từ giả thiết tính \({\log _a}b\).

- Biến đổi biểu thức cần tính bằng cách sử dụng các công thức trên, thay \({\log _a}b\) vừa tính được để tính giá trị biểu thức.

Giải chi tiết:

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}{\log _{\sqrt {ab} }}\left( {a\sqrt[3]{b}} \right) = {\log _{\sqrt {ab} }}\left( {\sqrt[3]{{ab}}.\sqrt[3]{{{a^2}}}} \right)\\ = {\log _{\sqrt {ab} }}\sqrt[3]{{ab}} + {\log _{\sqrt {ab} }}\sqrt[3]{{{a^2}}}\\ = {\log _{{{\left( {ab} \right)}^{\dfrac{1}{2}}}}}{\left( {ab} \right)^{\dfrac{1}{3}}} + \dfrac{1}{{{{\log }_{{a^{\dfrac{2}{3}}}}}{{\left( {ab} \right)}^{\dfrac{1}{2}}}}}\\ = \dfrac{1}{3}2.{\log _{ab}}\left( {ab} \right) + \dfrac{1}{{\dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{2}{{\log }_a}\left( {ab} \right)}}\\ = \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{{\dfrac{3}{4}\left( {1 + {{\log }_a}b} \right)}}\\ \Rightarrow \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{{\dfrac{3}{4}\left( {1 + {{\log }_a}b} \right)}} = 3\\ \Rightarrow {\log _a}b =  - \dfrac{3}{7}\end{array}\)

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}{\log _{\sqrt {ab} }}\left( {b\sqrt[3]{a}} \right) = {\log _{\sqrt {ab} }}\left( {\sqrt[3]{{ab}}\sqrt[3]{{{b^2}}}} \right)\\ = {\log _{\sqrt {ab} }}\sqrt[3]{{ab}} + {\log _{\sqrt {ab} }}\sqrt[3]{{{b^2}}}\\ = {\log _{{{\left( {ab} \right)}^{\dfrac{1}{2}}}}}{\left( {ab} \right)^{\dfrac{1}{3}}} + \dfrac{1}{{{{\log }_{{b^{\dfrac{2}{3}}}}}{{\left( {ab} \right)}^{\dfrac{1}{2}}}}}\\ = \dfrac{1}{3}.2.{\log _{ab}}\left( {ab} \right) + \dfrac{1}{{\dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{2}{{\log }_b}\left( {ab} \right)}}\\ = \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{{\dfrac{3}{4}\left( {{{\log }_b}a + 1} \right)}}\\ = \dfrac{2}{3} + \dfrac{4}{3}.\dfrac{1}{{ - \dfrac{7}{3} + 1}} =  - \dfrac{1}{3}\end{array}\)

Chọn B.