Chứng tỏ rằng a = 2 + 2 mũ 2 + 2 mũ 3 + chấm chấm chấm + 2 mũ 100 chia hết cho 6

CHUYÊN ĐỀ 4 - CÁC BÀI TOÁN VỀ SỰ CHIA HẾT CỦA SỐ NGUYÊN

A. MỤC TIÊU:

* Củng cố, khắc sâu kiến thức về các bài toán chia hết giữa các số, các đa thức

* HS tiếp tục thực hành thành thạo về các bài toán chứng minh chia hết, không chia hết, sốnguyên tố, số chính phương…

* Vận dụng thành thạo kỹ năng chứng minh về chia hết, không chia hết… vào các bài toán cụ thể

B.KIẾN THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN:

I. Dạng 1: Chứng minh quan hệ chia hết

1. Kiến thức:

* Để chứng minh A(n) chia hết cho một số m ta phân tích A(n) thành nhân tử có một nhân tử làm hoặc bội của m, nếu m là hợp số thì ta lại phân tích nó thành nhân tử có các đoi một nguyên tố cùng nhau, rồi chứng minh A(n) chia hết cho các số đó

* Chú ý:

+ Với k số nguyên liên tiếp bao giờ củng tồn tại một bội của k

+ Khi chứng minh A(n) chia hết cho m ta xét mọi trường hợp về số dư khi chia A(n) cho m

+ Với mọi số nguyên a, b và số tự nhiên n thì:

2. Bài tập:

2. Các bài toán

Bài 1: chứng minh rằng

a) 251 - 1 chia hết cho 7                      b) 270 + 370 chia hết cho 13

c) 1719 + 1917 chi hết cho 18              d) 3663 - 1 chia hết cho 7 nhưng không chia hết cho 37

e) 24n  -1 chia hết cho 15 với n∈ N

Giải

a) 251 - 1 = (23)17 - 1

23 - 1 = 7

b) 270 + 370 (22)35 + (32)35 = 435 + 935

4 + 9 = 13

c) 1719 + 1917 =  (1719 + 1) + (1917 - 1)

1719 + 1

17 + 1 = 18 và 1917 - 1 19 - 1 = 18 nên  (1719 + 1) + (1917 - 1)

hay 1719 + 1917

18

d) 3663 - 1

36 - 1 = 35 7

    3663 - 1 = (3663 + 1) - 2  chi cho 37 dư - 2

e) 2 4n - 1 = (24) n - 1

24 - 1 = 15

Bài 2: chứng minh rằng

a)  n5 - n chia hết cho 30 với n ∈ N    ;    

b) n4 -10n2  + 9 chia hết cho 384 với mọi n lẻ n∈  Z

c) 10n  +18n -28 chia hết cho 27 với n∈ N  ;  

Giải:

a) n5 - n = n(n4 - 1) = n(n - 1)(n + 1)(n2 + 1) = (n - 1).n.(n + 1)(n2 + 1) chia hết cho 6 vì

(n - 1).n.(n+1) là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3 (*)

Mặt khác     n5 - n = n(n2 - 1)(n2 + 1) = n(n2 - 1).(n2 - 4 + 5) = n(n2 - 1).(n2 - 4 ) + 5n(n2 - 1)

               = (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n  + 2) + 5n(n2 - 1)

Vì (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n  + 2) là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 5

    5n(n2 - 1) chia hết cho 5

Suy ra (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n  + 2) + 5n(n2 - 1) chia hết cho 5 (**)

Từ (*) và (**) suy ra đpcm

b) Đặt A = n4 -10n2  + 9 = (n4 -n2 ) - (9n2 - 9) =  (n2 - 1)(n2 - 9) = (n - 3)(n - 1)(n + 1)(n + 3)

Vì n lẻ nên đặt n = 2k + 1 (k

Z) thì

A = (2k - 2).2k.(2k + 2)(2k + 4) = 16(k - 1).k.(k + 1).(k + 2)

A chia hết cho 16 (1)

Và  (k - 1).k.(k + 1).(k + 2) là tích của 4 số nguyên liên tiếp nên A có chứa bội của 2, 3, 4 nên A là bội của 24 hay A chia hết cho 24 (2)

Từ (1) và (2) suy ra A chia hết cho 16. 24 = 384

c) 10 n  +18n -28 =  ( 10 n - 9n - 1) + (27n - 27)

+ Ta có: 27n - 27

27 (1)

Từ (1) và (2) suy ra đpcm

3. Bài 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên a thì

a) a3 - a  chia hết cho 3

b) a7 - a  chia hết cho 7

Giải

a) a3 - a  = a(a2 - 1) =  (a - 1) a (a + 1)  là tích của ba số nguyên liên tiếp nên tồn tại một số là bội của 3 nên  (a - 1) a (a + 1) chia hết cho 3

b) ) a7 - a  = a(a6 - 1) = a(a2 - 1)(a2 + a + 1)(a2 -  a + 1)

Nếu a = 7k (k

Z) thì a chia hết cho 7

Nếu a = 7k + 1 (k

Z)  thì a2 - 1 = 49k2 + 14k  chia hết cho 7

Nếu a = 7k + 2 (k

Z)  thì a2 + a + 1 = 49k2 + 35k  + 7 chia hết cho 7

Nếu a = 7k + 3 (k

Z)  thì a2 - a + 1 = 49k2 + 35k  + 7 chia hết cho 7

Trong trường hợp nào củng có một thừa số chia hết cho 7

Vậy: a7 - a  chia hết cho 7

Bài 4: Chứng minh rằng  A = 13 + 23 + 33 + ...+ 1003 chia hết cho B = 1 + 2 + 3 + ... + 100

Giải

Ta có: B = (1 + 100) + (2 + 99) + ...+ (50 + 51) = 101. 50

Để chứng minh A chia hết cho B ta chứng minh A chia hết cho 50 và 101

Ta có: A = (13 + 1003) + (23 + 993) + ... +(503 + 513)

= (1 + 100)(12 + 100 + 1002) + (2 + 99)(22 + 2. 99 + 992) + ... + (50 + 51)(502 + 50. 51 + 512) = 101(12 + 100 + 1002 + 22 + 2. 99 + 992 + ... + 502 + 50. 51 + 512) chia hết cho 101 (1)

Lại có:    A = (13 + 993) + (23 + 983) + ... + (503 + 1003)

Mỗi số hạng trong ngoặc đều chia hết cho 50 nên A chia hết cho 50 (2)

Từ (1) và (2) suy ra A chia hết cho 101 và 50 nên A chi hết cho B

Bài tập về nhà

Chứng minh rằng:

a) a5 – a chia hết cho 5

b) n3 + 6n2 + 8n chia hết cho 48 với mọi n chẵn

c) Cho a l à số nguyên tố lớn hơn 3. Cmr  a2 – 1 chia hết cho 24

d) Nếu a + b + c chia hết cho 6 thì a3 + b3 + c3 chia hết cho 6

e) 20092010  không chia hết cho 2010

f) n2 + 7n + 22  không chia hết cho 9

Dạng 2: Tìm số dư của một phép chia

Bài 1:

Tìm số dư khi chia 2100

a)cho 9,                     b) cho 25,               c) cho 125

Giải

a) Luỹ thừa của 2 sát với bội của 9 là 23 = 8 = 9 - 1

Ta có : 2100 = 2. (23)33 = 2.(9 - 1)33 = 2.[B(9) - 1] = B(9) - 2 = B(9) + 7

Vậy: 2100 chia cho 9 thì dư 7

b) Tương tự ta có:  2100 = (210)10 = 102410 =  [B(25) - 1]10  =  B(25) + 1

Vậy: 2100 chia chop 25 thì dư 1

c)Sử dụng công thức Niutơn:

2100 = (5 - 1)50 = (550  - 5. 549 + … +

. 52 - 50 . 5 ) + 1

Không kể phần hệ số của khai triển Niutơn thì 48 số hạng đầu đã chứa thừa số 5 với số mũ lớn hơn hoặc bằng 3 nên đều chia hết cho 53  = 125, hai số hạng tiếp theo:

. 52 -  50.5 cũng chia hết cho 125 , số hạng cuối cùng là 1

Vậy: 2100 = B(125) + 1 nên chia cho 125 thì dư 1

Bài 2:

Viết số 19951995 thành tổng của các số tự nhiên . Tổng các lập phương đó chia cho 6 thì dư bao nhiêu?

Giải

Đặt 19951995 = a = a1 + a2 + …+ an.  

Gọi

= + a - a

          = (a1 3 - a1) + (a2 3 - a2) + …+ (an 3 - an) + a

Mỗi dấu ngoặc đều chia hết cho 6 vì mỗi dấu ngoặc là tích của ba số tự nhiên liên tiếp. Chỉ cần tìm số dư khi chia a cho 6

1995 là số lẻ chia hết cho 3, nên a củng là số lẻ chia hết cho 3, do đó chia cho 6 dư 3

Bài 3: Tìm ba chữ số tận cùng của 2100 viết trong hệ thập phân

giải

Tìm 3 chữ số tận cùng là tìm số dư của phép chia 2100 cho 1000

Trước hết ta tìm số dư của phép chia 2100 cho 125

Vận dụng bài 1 ta có 2100 = B(125) + 1 mà 2100 là số chẵn nên 3 chữ số tận cùng của nó chỉ có thể  là 126, 376, 626 hoặc 876

Hiển nhiên 2100 chia hết cho 8 vì 2100 = 1625 chi hết cho 8 nên ba chữ số tận cùng của nó chia hết cho 8

trong các số 126, 376, 626 hoặc 876 chỉ có 376 chia hết cho 8

Vậy: 2100 viết trong hệ thập phân có ba chữ số tận cùng là 376

Tổng quát: Nếu n là số chẵn không chia hết cho 5 thì 3 chữ số tận cùng của nó là 376

Bài 4: Tìm số dư trong phép chia các số sau cho 7

a) 2222 + 5555                           b)31993

c) 19921993 + 19941995              d)

Giải

a) ta có: 2222 + 5555 = (21 + 1)22 + (56 – 1)55 = (BS 7 +1)22 + (BS 7 – 1)55

= BS 7 + 1 + BS 7 - 1 = BS 7 nên  2222 + 5555  chia 7 dư 0

b) Luỹ thừa của 3 sát với bội của 7 là 33 = BS 7 – 1

Ta thấy 1993 =  BS 6 + 1 = 6k + 1, do đó:

31993 = 3 6k + 1 = 3.(33)2k = 3(BS 7 – 1)2k = 3(BS 7 + 1) = BS 7 + 3

c) Ta thấy 1995 chia hết cho 7, do đó:

19921993 + 19941995 = (BS 7 – 3)1993 + (BS 7 – 1)1995 =  BS 7 – 31993 + BS 7 – 1

Theo câu b ta có 31993 = BS 7 + 3 nên  

19921993 + 19941995 = BS 7 – (BS 7 + 3) – 1 = BS 7 – 4 nên chia cho 7 thì dư 3

d)

= 32860 = 33k + 1 = 3.33k = 3(BS 7 – 1) =  BS 7 – 3 nên chia cho 7 thì dư 4

Dạng 3: Tìm điều kiện để xảy ra quan hệ chia hết

Bài 1: Tìm  n

Z để giá trị của biểu thức A = n3 + 2n2 - 3n + 2 chia hết cho giá trị của biểu thức B = n2 - n

Giải

Chia A cho B ta có: n3 + 2n2 - 3n + 2  = (n + 3)(n2 - n) + 2

Để A chia hết cho B thì 2 phải chia hết cho n2 - n = n(n - 1) do đó 2 chia hết cho n, ta có:

Vậy: Để  giá trị của biểu thức A = n3 + 2n2 - 3n + 2 chia hết cho giá trị của biểu thức

B = n2 - n thì n

Bài 2:

a) Tìm n

N để n5 + 1 chia hết cho n3  + 1

b) Giải bài toán trên nếu n

Z

Giải

Ta có:  n5  + 1

n3 + 1 n2(n3 + 1) - (n2 - 1) n3 + 1 (n + 1)(n - 1) n3 + 1

(n + 1)(n - 1) (n + 1)(n2 - n + 1) n - 1 n2 - n + 1  (Vì n + 1 0)

a) Nếu n = 1 thì  0

1

Nếu n > 1 thì n - 1 < n(n - 1) + 1 <  n2 - n + 1 nên không thể xẩy ra n - 1

n2 - n + 1  

Vậy giá trụ của n tìm được là n = 1

b) n - 1

n2 - n + 1 n(n - 1) n2 - n + 1 (n2 - n + 1 ) - 1 n2 - n + 1

1 n2 - n + 1. Có hai trường hợp xẩy ra:

+ n2 - n + 1 = 1

n(n - 1) = 0 (Tm đề bài)

+ n2 - n + 1 =  -1

n2 - n + 2 = 0 (Vô nghiệm)

Bài 3: Tìm số nguyên n sao cho:

a) n2 + 2n - 4

11                                       b) 2n3 + n2 + 7n + 1 2n - 1

c) n4 - 2n3 + 2n2 - 2n + 1

n4 - 1                d) n3 - n2 + 2n + 7 n2 + 1

Giải

a) Tách n2 + 2n - 4  thành tổng hai hạng tử trong đó có một hạng tử là B(11)

n2 + 2n - 4

11 (n2 - 2n - 15) + 11 11 (n - 3)(n + 5) + 11 11

(n - 3)(n + 5)   11

b) 2n3 + n2 + 7n + 1 = (n2 + n + 4) (2n - 1) + 5

Để  2n3 + n2 + 7n + 1

2n - 1 thì 5 2n - 1 hay 2n - 1 là Ư(5)

Vậy:  n  

thì 2n3 + n2 + 7n + 1 2n - 1

c) n4 - 2n3 + 2n2 - 2n + 1

n4 - 1

Đặt A =  n4 - 2n3 + 2n2 - 2n + 1 = (n4 - n3) - (n3 - n2) + (n2 - n) - (n - 1)

= n3(n - 1) - n2(n - 1) + n(n - 1)  -  (n - 1) = (n - 1) (n3 - n2 + n - 1) = (n - 1)2(n2 + 1)

B = n4 - 1 = (n - 1)(n + 1)(n2 + 1)

A chia hết cho b nên n

1 A chia hết cho B n - 1 n + 1 (n + 1) - 2 n + 1

2 n + 1  

Vậy: n

thì  n4 - 2n3 + 2n2 - 2n + 1 n4 - 1  

d) Chia n3 - n2 + 2n + 7 cho n2 + 1 được thương là  n - 1, dư  n + 8

Để n3 - n2 + 2n + 7

n2 + 1 thì  n + 8 n2 + 1 (n + 8)(n - 8) n2 + 1 65 n2 + 1

Lần lượt cho n2 + 1 bằng 1; 5; 13; 65 ta được n bằng 0;

2; 8

Thử lại ta có n = 0; n = 2; n = 8  (T/m)

Vậy: n3 - n2 + 2n + 7

n2 + 1 khi n = 0, n = 8

Dạng 4: Tồn tại hay không tồn tại sự chia hết

Bài 1: Tìm n

N sao cho 2n – 1 chia hết cho 7

Giải

Nếu n = 3k ( k

N) thì 2n – 1 = 23k – 1 = 8k  - 1 chia hết cho 7

Nếu n = 3k + 1 ( k

N) thì 2n – 1 = 23k + 1  – 1 = 2(23k – 1) + 1 = BS 7 + 1

Nếu n = 3k + 2 ( k

N) thì 2n – 1 = 23k + 2  – 1 = 4(23k – 1) + 3 = BS 7 + 3

V ậy: 2n – 1 chia hết cho 7 khi n = BS 3

Bài 2: Tìm n

N để:

a) 3n – 1 chia hết cho 8

b) A = 32n  + 3 + 24n + 1 chia hết cho 25

c) 5n – 2n chia hết cho 9

Giải

a) Khi n = 2k (k

N) thì 3n – 1 = 32k – 1 = 9k – 1 chia hết cho 9 – 1 = 8

  Khi n = 2k + 1 (k

N) thì 3n – 1 = 32k + 1  – 1 = 3. (9k – 1 ) + 2 = BS 8 + 2

Vậy : 3n – 1 chia hết cho 8 khi n = 2k (k

N)

b) A = 32n  + 3 + 24n + 1 = 27 . 32n  + 2.24n =  (25 + 2) 32n  + 2.24n = 25. 32n  + 2.32n  + 2.24n

         = BS 25 + 2(9n  + 16n)

Nếu n = 2k +1(k

N) thì 9n  + 16n = 92k + 1 + 162k + 1 chia hết cho 9 + 16 = 25

Nếu n = 2k  (k

N) thì 9n có chữ số tận cùng bằng 1 , còn 16n có chữ số tận cùng bằng 6

suy ra 2((9n  + 16n) có chữ số tận cùng bằng 4 nên A không chia hết cho 5 nên không chia hết cho 25

c) Nếu n = 3k (k

N) thì 5n – 2n =  53k – 23k chia hết cho 53 – 23 = 117 nên chia hết cho 9

   Nếu n = 3k + 1 thì 5n – 2n =  5.53k – 2.23k = 5(53k – 23k) + 3. 23k = BS 9 + 3. 8k

= BS 9 + 3(BS 9 – 1)k = BS 9 + BS 9 + 3

Tương tự:  nếu n = 3k + 2 thì 5n – 2n không chia hết cho 9