Tìm điểm thuộc đường thẳng trong không gian thỏa mãn điều kiện Trang trước Trang sau
Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng cơ bản - Cô Nguyễn Phương Anh [Giáo viên Tôi] Quảng cáo
+ Để tìm điểm thỏa điều kiện cho trước ta thường tham số hóa điểm M theo biến t, sau đó ta chỉ cần tìm giá trị t [dựa vào điều kiện bài toán đưa ra].,
Để tham số hóa điểm M ta phải đưa đường thẳng Δ về dạng tham số.
+ Sử dụng công thức tính khoảng cách hai điểm; khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng; khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng; khoảng cách hai đường thẳng....
Ví dụ: 1
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
và điểm A[ 2; - 5; - 6] . Tìm tọa độ điểm M nằm trên Δ sao cho
.
A. M[1; 0 ; 1] hoặc M[5; 0; - 7] .
B. M [1; -2; -1] hoặc M[ 5; 0; - 7] .
C. M[ 1; 0; -2] hoặc M[ - 5; 0; 7]
D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải
Vì điểm M thuộc Δ nên tọa độ M[1+ 2t;-2+ t; -1- 3t ]
Chọn B. Quảng cáo
Ví dụ: 2
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
và mặt phẳng [α]: x- 2y 2z + 5= 0. Tìm điểm A trên d sao cho khoảng cách từ A đến α bằng 3.
A. A[ 0; 0 ; - 1] hoặc [ 1; 2; 3]
B. A[ -2; 1; - 2] .
C. A[ 2;-1; 0] hoặc [ 0; 0; -1]
D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải
Điểm A nằm trên đường thẳng d nên tọa độ A[ 2t; -t; -1+ t]
Ta có khoảng cách từ A đến α là
Chọn D.
Ví dụ: 3
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng [P]: x+ y+ z- 3= 0 và đường thẳng
. Biết điểm M thuộc Δ và khoảng cách từ M đến mặt phẳng [P] bằng . Tọa độ điểm M là
A. M[ 4; -5 ; - 2] hoặc M[ 2; 1; 0]
B. M[ -1; -3; 2] hoặc M[ -2; 7; 4]
C. M[ 4; -5; - 2] hoặc M[ -2; 7; 4]
D. Tất cả sai
Hướng dẫn giải
Suy ra M[ 4; -5; - 2] hoặc M[ - 2; 7 ; 4]
Chọn C.
Ví dụ: 4
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng
và hai điểm A[1; -1; 2]; B[ 2;-1; 0] . Biết điểm M có hoành độ dương thuộc Δ và tứ diện OABM có thể tích bằng [ với O là gốc tọa độ ]. Khi đó tọa độ điểm M là
A.M[ 3; - 2; 1]
B. M[ 11; -6; 5]
C. M[ 5; -3; 2]
D. M[ 7; -4; 3]
Hướng dẫn giải
Suy ra
Khi đó thể tích tứ diện OABM là
Chọn B. Quảng cáo
Ví dụ: 5
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng [ P]: 3x- 4y + 1= 0, [ Q]: 4x+ 3z 10 = 0 và đường thẳng
. Có điểm A thuộc d và cách đều hain mặt phẳng [P] và [ Q] . Tọa độ điểm A là
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Do điểm A thuộc đường thẳng d nên tọa độ A[ t; - 1+ 2t;2- t]
Ta có: d[A;[P]]= d[ A; [ Q]]
Chọn A
Ví dụ: 6
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng
và hai điểm A[ -2; 1;1] và B[ -3; -1; 2]. Điểm M có hoành độ dương thuộc Δ và tam giác MAB có diện tích bằng
. Khi đó tọa độ điểm M là :
A. M[ - 1; 3; - 1]
B. M[ 0; 7; - 9]
C.M[ -9; 2; 1]
D. M[ -2; 1; - 5]
Hướng dẫn giải
Diện tích tam giác MAB là:
Chọn D.
Ví dụ: 7
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng
. Biết M thuộc tia Ox và khoảng cách từ M đến Δ bằng OM. Tọa độ điểm M là
A. M[ 1; 0; 0 ]
B. M[ -2; 0; 0]
C. M[2; 0; 0 ]
D.M[ - 1;0; 0 ]
Hướng dẫn giải
Do điểm M thuộc tia Ox nên tọa độ M[ t; 0; 0] với t > 0 .
Suy ra
Mà
Chọn C.
Ví dụ: 8
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng
. Xét hình bình hành ABCD có A[ 1;0;0], C[ 2; 2;2] và biết diện tích hình bình hành ABCD bằng
. Tọa độ điểm B
A. B[0;- 2;4]
B. B[ -2; 3; 1]
C. B[ 0;1; 3]
D. Tất cả sai
Hướng dẫn giải
Điểm D thuộc d nên D [-2+ t; 3- 2t;1- 2t]
Khi đó
Ta có:
Suy ra
Từ [1] và [ 2] suy ra
Mặt khác ABCD là hình bình hành nên
Chọn D.
Ví dụ: 9
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
và mặt cầu [S]: x2+ y2 + z2 -2x 4y + 2z+5= 0 . Tọa độ điểm M trên [S] sao cho d[M; d] đạt GTLN là:
A. [1; 2; -1].
B. [ 2;2; -1].
C.[0; 2; -1].
D. [-3; - 2; 1]
Hướng dẫn giải
+Mặt cầu [ S] có tâm I[ 1;2; -1] bán kính R= 1
+ Đường thẳng d đi qua A[ 2; 0;1] và có vecto chỉ phương
Khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng d là:
Suy ra [S] tiếp xúc với d và tiếp điểm là H.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên d=> H[ 2; 2; -1]
Đường thẳng IH: đi qua I[1; 2; -1] và có vecto chỉ phương
=> Phương trình IH:
Tọa độ giao điểm của IH và [S] là nghiệm hệ phương trình: x2+ y2 + z2 -2x 4y + 2z+5= 0 .
Thay [1]; [2] và[3] vào [*] ta được :
[1+ t]2+ 4+1- 2[ 1+ t] 4.2 + 2. [ -1] + 5= 0
Ta có:
Vậy khoảng cách từ M đến d đạt giá trị lớn nhất khi MA[ 0;2; -1].
Chọn C.
Ví dụ: 10
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A[-3;3; -3]thuộc mặt phẳng [α]:2x-2y+z+15=0 và mặt cầu [S]:[x-2]2+[y-3]2+[z-5]2=100. Đường thẳng Δ qua A, nằm trên mặt phẳng [α] cắt [S] tại A; B. Để độ dài AB lớn nhất thì phương trình đường thẳng là:
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Mặt cầu [S] có tâm I[2; 3; 5] , bán kính R= 10.
Khoảng cách từ I đến [α] là:
=> Δ luôn cắt [S] tại 2 điểm A và B.
Khi đó
Do đó, AB lớn nhất thì d[I,[Δ]] nhỏ nhất nên Δ qua H với H là hình chiếu vuông góc của I lên [α]. Phương trình
Do vậy
là véc tơ chỉ phương của Δ .
Phương trình của Δ:
Chọn A.
Ví dụ: 11
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A[-3; 3; -3] thuộc mặt phẳng [α]:2x-2y+z+15=0 và mặt cầu [S]:[x-2]2+[y-3]2+[z-5]2=100 và . Đường thẳng Δ qua A, nằm trên mặt phẳng [α] cắt [S] tại A; B. Để độ dài AB nhỏ nhất thì phương trình đường thẳng là:
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Mặt cầu [S] có tâm I[2; 3; 5] , bán kính R= 10.
Khoảng cách từ I đến [α] là:
=> luôn cắt [S] tại 2 điểm A và B.
Khi đó
.
Do đó AB nhỏ nhất thì d[I,[Δ]] lớn nhất nên Δ là đường thẳng nằm trong [α], qua A và vuông góc với AI.
Do đó Δ có véctơ chỉ phương
Vậy, phương trình của Δ:
.
Chọn A.
Câu 1:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng
và mặt phẳng [Oxz] cắt d1; d2 lần lượt tại các điểm A; B. Diện tích S của tam giác OAB bằng bao nhiêu
A. S= 5
B. S= 3
C. S= 6
D. S= 10 Hiển thị lời giải
Mặt phẳng [Oxz] có phương trình: y= 0
Theo giả thiết ta có :
Chọn A.
Câu 2:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng [P]: 2x- y- 2z= 0 và đường thẳng
. Tìm tọa độ điểm A thuộc Ox sao cho A cách đều d và [P].
A. A[ 2; 0; 0] .
B. A[ 3; 0; 0] .
C. A[ 4; 0; 0] .
D. A[ 5; 0; 0]. Hiển thị lời giải
Đường thẳng d đi qua M[ 1; 0;-2] và có VTCP
.
Do A thuộc Ox nên A[ a;0; 0] .
Ta có:
Theo giả thiết d[ A;[P]] = d[ A; d]
Chọn B.
Câu 3:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A[ 1; 4; 2] , B[ -1;2; 4] và đường thẳng
. Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho MA2+ MB2 = 40.
A. M[ 0;1; 2] hoặc M[ - 2; 1; 6] .
B. M[ 0;1; 2] hoặc M[ 2; 1; 6] .
C. M[ 0;-1;2] hoặc M[ -2; 1; 6] .
D. M[0;1; 2] hoặc M[ 2; 1; 6] . Hiển thị lời giải
Do M thuộc d nên tọa độ M[ 1- t; - 2+ t; 2t]
Ta có
Theo giả thiết MA2+ MB2 = 40 nên :
+ với t= 1 ta có M[ 0; - 1; 2]
+ Với t= 3 ta có M[ -2; 1; 6]
Chọn C.
Câu 4:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
và điểm M[ 4; 0; 4] . Tìm trên đường thẳng d hai điểm A; B sao cho tam giác MAB đều.
A. A[ 4; 4;0] và B[0; 0 ;0 ] .
B. A[0; 0 ;0] và B[ 4; 4; 0]
C. A[ 4; 4;0] ; B[ 0;0; 0] hoặc A[0; 0 ;0]; B[ 4; 4; 0] .
D. Không có điểm thỏa mãn điều kiện bài toán. Hiển thị lời giải
Do A và B thuộc d nên tọa độ A[ 1+a; 1+ a;0]; B[ 1+ b; 1+ b; 0] với a b.
Ta có :
.
Tam giác MAB đều khi và chỉ khi :
Từ [ 1] suy ra: 2a2- 4a = 2b2 4b
[ 2a2- 2b2 ] 4[ a- b] = 0
2[ a- b] [ a+ b] 4[ a- b] = 0
[ a- b] [ 2a+ 2b- 4] =0
Thay a=2- b vào [ 2] giải [2] ta được
.
Vậy có 2 cặp điểm thỏa mãn đầu bài là:
Chọn C.
Câu 5:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A[0; -1; 3] và đường thẳng
. Tìm trên đường thẳng d điểm H sao cho AH có độ dài nhỏ nhất.
A.H[ 1; 2; -1] .
B. H[-1; 2; 1].
C. H[ 5; 2; -2].
D. H[ 3; 2; -1]. Hiển thị lời giải
Điểm H thuộc d nên tọa độ H[1+ 2t;2; -t]. Khi đó
Dấu = xảy ra khi t= -1.
Suy ra H[ - 1; 2;1].
Chọn B.
Câu 6:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
và hai điểm A[0; 1; 1] , B[ -5; 0; 5]. Điểm M thuộc d thỏa mãn MA2+ MB2 có giá trị nhỏ nhất. Giá trị nhỏ nhất đó bằng:
A. 28
B. 76
C.
D. 4 Hiển thị lời giải
Điểm M thuộc d nên M[1-t; - 2+ t; 2t].
Ta có
Suy ra MA2= [ t-1]2+ [ 3-t]2+ [1- 2t]2 = 6t2 12t + 11
MB2= [ t-6]2 + [2-t]2 + [ 5- 2t]2 = 6t2 - 36t + 65
Do đó : MA2+ MB2 = 6t2 12t + 11+ 6t2 36t+ 65
= 12t2 48t+76 = 12[t-2]2 + 28 28
=> MA2+ MB2 đạt giá trị nhỏ nhất là 28; dấu = xảy ra khi t= 2
Chọn A.
Câu 7:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A[0;1;1]; B[ -5;0; 5] và đường thẳng đường thẳng
. Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho
có giá trị nhỏ nhất.
A. M[1; -2; 0].
B. M[ -1;2; 0].
C. M[ -3; 2;8]
D. M[ 0; -1; 2] . Hiển thị lời giải
Điểm M thuộc d nên M[ 1-t; -2+ t; 2t]
Ta có:
Suy ra
.
Do đó:
Dấu = xảy ra khi t= 4.
Suy ra: M[ - 3; 2; 8] .
Chọn C.
Câu 8:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A[1;-5;2]; B[3; -1; -2] và đường thẳng
. Điểm M thuộc d thỏa mãn
có giá trị nhỏ nhất. Giá trị nhỏ nhất đó bằng:
A.
B.
C. 21
D. 29 Hiển thị lời giải
Điểm M thuộc d nên M[ - 3+ 4t; 2+t; -3+ 2t].
Ta có :
.
Suy ra:
Vậy giá trị nhỏ nhất của
là 29 khi t= 1
Chọn D.
Câu 9:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A[0;1;1], B[ 1;2;1] và đường thẳng
. Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho diện tích tam giác MAB có giá trị nhỏ nhất.
A. M[ 2; -3; -2].
B. M[0;1; -2]
C. M[1;-2; 0]
D. M[ -1; 0;4] Hiển thị lời giải
Điểm M thuộc d nên M[ t; -1- t; 2- 2t]
Ta có :
.
Suy ra:
.
Do đó:
.
Dấu = xảy ra khi t= 0. Suy ra M[ 0;-1; 2].
Chọn C.
Câu 10:
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng [P]: 2x- 2y- z+ 9= 0 và mặt cầu [S]:[x-3]2+[y+2]]2+[z-1]2=100 . Tọa độ điểm M nằm trên mặt cầu [S] sao cho khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng [P] đạt giá trị nhỏ nhất là:
A.
B.
C.
D.
Hiển thị lời giải
Mặt cầu [S] có tâm I[ 3; -2; 1].
Khoảng cách từ I đến mặt phẳng [P] là
=> Mặt phẳng [P] cắt [ S].
Để khoảng cách từ M thuộc [S] đến [P] lớn nhất thì M thuộc đường thẳng d: đi qua tâm I và vuông góc với mp[P]
Phương trình:
.
Ta có :
Mà :
Thử lại ta thấy :
thỏa yêu cầu bài toán.
Chọn A.
Câu 11:
Cho hai đường thẳng
. Tìm mênh đề đúng?
A. Hai đường thẳng đã cho có nhiều hơn một điểm chung
B. Hai đường thẳng đã cho cắt nhau tại điểm A[ 1; 1;1]
C. Hai đường thẳng đã cho chéo nhau.
D. Hai đường thẳng đã cho cắt nhau tại điểm B[3; 0; -1] . Hiển thị lời giải
+ Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng đã cho:
Phương trình tham số của d:
Xét hệ phương trình: [1]
Hệ phương trình có 1 nghiệm. Vậy d cắt d
+ Thay t = 0 vào phương trình tham số của d ta được giao điểm là B [3; 0; -1].
Chọn D.
Câu 12:
Cho đường thẳng
và mặt phẳng [P]: x + 2y + z 2 = 0 Tìm mệnh đề đúng?
A. Đường thẳng d và mặt phẳng [P] có nhiều hơn một điểm chung
B. Đường thẳng d và mặt phẳng [P] cắt nhau tại một điểm có hoành độ âm.
C. Đường thẳng d và mặt phẳng [P] cắt nhau taị một điểm có tung độ âm.
D. Tất cả sai Hiển thị lời giải
+ Phương trình tham số của d là:
Thay x, y, z ở phương trình trên vào phương trình tổng quát của [P], ta được:
[1+2t] + 2[-1+t] + [-t] 2 = 0 [1]
3t 3=0 hay t= 1
Phương trình [1] có 1 nghiệm t = 1, vậy d cắt [P] tại điểm A[ 3;0; -1]
=> D đúng
Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng nâng cao - Cô Nguyễn Phương Anh [Giáo viên Tôi]
Xem thêm các chuyên đề Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Giới thiệu kênh Youtube Tôi Trang trước Trang sau