Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để 4 2 2 yxmmx − 3 có điểm cực đại

Tìm tham số m để hàm số đạt cực trị tại một điểm cực hay

Bài giảng: Các dạng bài tìm cực trị của hàm số - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên Tôi)

Trong dạng toán này ta chỉ xét trường hợp hàm số có đạo hàm tại x0.

Khi đó để giải bài toán này, ta tiến hành theo hai bước.

Bước 1. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị tại x0 là y'(x0) = 0, từ điều kiện này ta tìm được giá trị của tham số .

Bước 2. Kiểm lại bằng cách dùng một trong hai quy tắc tìm cực trị ,để xét xem giá trị của tham số vừa tìm được có thỏa mãn yêu cầu của bài toán hay không?

Ví dụ 1. Cho hàm số y = x3 - 3mx2 +(m2 - 1)x + 2, m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 2.

Hướng dẫn

Tập xác định D = R.

Tính y'=3x2 - 6mx + m2 - 1; y'' = 6x - 6m.

Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 2

m = 1.

Ví dụ 2. Tìm các giá trị của m để hàm số y = -x3 + (m+3)x2 - (m2 + 2m)x - 2 đạt cực đại tại x = 2.

Hướng dẫn

Tập xác định D = R.

y' = -3x2 + 2(m + 3)x - (m2 + 2m) ; y'' = -6x + 2(m + 3).

Hàm số đã cho đạt cực đại tại x = 2

Kết luận : Giá trị m cần tìm là m = 0 ,m = 2.

Ví dụ 3. Tìm m để hàm số y = x4 - 2(m + 1)x2 - 2m - 1 đạt cực đại tại x = 1 .

Hướng dẫn

Tập xác định D = R.

Ta có y' = 4x3 -4(m + 1)x.

+ Để hàm số đạt cực đại tại x = 1 cần y'(1) = 0 4 - 4(m + 1) = 0 m = 0

+ Với m = 0 y' = 4x3 - 4x y'(1) = 0.

+ Lại có y'' = 12x2 - 4 y''(1) = 8 > 0.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 m = 0 không thỏa mãn.

Vậy không có giá trị nào của m để hàm số đạt cực đại tại x = 1.

Bài 1. Cho hàm số: y = 1/3 x3 - mx2 +(m2 - m + 1)x + 1. Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực đại tại điểm x = 1

Hiển thị đáp án

TXĐ: D = R

Ta có: y' = x2 - 2mx + m2 - m + 1, y'' = 2x - 2m

Điều kiện cần: y'(1) = 0 m2 - 3m + 2 = 0 m = 1 hoặc m = 2

Điều kiện đủ:

Với m = 1 thì y''(1) = 0 hàm số không thể có cực trị.

Với m = 2 thì y''(1) = -2 < 0 hàm số có cực đại tại x = 1 .

Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.

Bài 2. Cho hàm số y = 1/3 x3 + (m2 - m + 2) x2 + (3m2 + 1)x + m - 5. Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = -2 .

Hiển thị đáp án

Tập xác định: D = R

Đạo hàm: y' = x2 + 2(m2 - m + 2)x + 3m2 + 1

Điều kiện cần:

Hàm số đạt cực tiểu tại x = -2 y'(-2) = 0

Điều kiện đủ:

Với m = 1, ta có: y' = x2 + 4x + 4, y' = 0 x = -2

Lập BBT ta suy ra m = 1 không thỏa.

Với m = 3, ta có: y' = x2 + 16x + 28, y' = 0

Lập BBT ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x = -2.

Vậy giá trị m cần tìm là m = 3.

Bài 3. Cho hàm số y = 1/3 x3 - (m+1) x2 + (m2 + 2m)x + 1 (m là tham số). Tìm tất cả tham số thực m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2.

Hiển thị đáp án

Tập xác định D = R.

Tính y' = x2 2(m + 1)x + m2 + 2m; y'' = 2x 2m - 2.

Để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 2

Vậy m = 0 là giá trị cần tìm.

Bài 4. Tìm tất cả tham số thực m để hàm số y = (m-1)x4 - (m2 - 2) x2 + 2016 đạt cực tiểu tại

x = -1.

Hiển thị đáp án

Tập xác định D = R.

Tính y' = 4(m - 1)x3 2(m2 - 2)x; y'' = 12(m - 1)x2 2m2 + 4.

Để hàm số đã cho đạt cực đại tại x = -1

.

Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.

Bài 5. Tìm giá trị của tham số m để hàm số y = x3/3 +(2m - 1)x2 + (m - 9)x + 1 đạt cực tiểu tại

x = 2 .

Hiển thị đáp án

Ta có : y' = x2 + 2(2m - 1)x + m - 9.

Điều kiện cần để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 là

y'(2) = 0 4 + 4(2m - 1) + m - 9 = 0 m = 1.

Kiểm tra lại . Ta có y'' = 2x + 2(2m - 1).

Khi m = 1 thì y'' = 2x + 2, suy ra y''(2) = 6 > 0. Do đó hàm số đạt cực tiểu tại x = 2

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 m = 1.

Bài 6. Tìm giá trị của tham số m để hàm số y = mx3 + 2(m - 1)x2 - (m + 2)x + m đạt cực tiểu tại x = 1 .

Hiển thị đáp án

Ta có: y' = 3mx2 + 4(m - 1)x - m - 2,y'' = 6mx + 4(m - 1)

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 y'(1) = 0 6m - 6 = 0 m = 1

Khi đó y''(1) = 10m - 4 = 6 > 0 hàm số đạt cực tiểu tại x = 1.

Vậy m = 1 là giá trị cần tìm.

Bài 7. Tìm giá trị của tham số m để hàm số

đạt cực tiểu tại x = 1.

Hiển thị đáp án

Ta có:

Cách 1: Vì hàm số có đạo hàm tại mọi điểm x -m nên để hàm đạt cực tiểu tại x = 1 thì trước hết y'(1) = 1 - 1/((1 + m)2 ) = 0 m = 0; m = -2.

* m = 0 y''(1) = 1 > 0 x = 1 là điểm cực tiểu m = 0 thỏa yêu cầu bài toán.

* m = -2 y'(1) = -1 < 0 x = 1 là điểm cực đại m = -2 không thỏa yêu cầu bài toán.

Cách 2: Bài toán khẳng định được y''(1) 0 nên ta có thể trình bày:

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1

Bài 8. Tìm giá trị của tham số m để hàm số

đạt cực đại tại x = -1.

Hiển thị đáp án

Ta có

Hàm số đạt cực đại tại x = -1 y'(-1) = 0

m2 - m - 2 = 0 m = -1, m = 2.

m = -1 y''(-1) = -1 < 0 x = -1 là điểm cực đại

m = 2 y''(-1) = 2 > 0 x = -1 là điểm cực tiểu.

Vậy m = -1 là giá trị cần tìm.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Giới thiệu kênh Youtube Tôi