Đề bài
Từ một điểm M trên dây cung AB của đường tròn [O] ta vẽ đường thẳng d vuông góc với OM tại M. Đường thẳng d cắt các tiếp tuyến tại A và B của đường tròn lần lượt tại E và F. Chứng minh M là trung điểm của EF.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+] Chứng minh tứ giác OMAE và OMFB là các tứ giác nội tiếp.
+] Chứng minh tam giác OEF cân tại O. Từ đó suy ra OM là đường trung tuyến của tam giác OEF.
Lời giải chi tiết
Xét tứ giác OMAE có: \[\widehat {OME} = \widehat {OAE} = {90^0}\,\,\left[ {gt} \right] \Rightarrow \] Tứ giác OMAE là tứ giác nội tiếp [Tứ giác có 2 đỉnh cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau] \[ \Rightarrow \widehat {OEM} = \widehat {OAM}\] [1] [hai góc nội tiếp cùng chắn cung OM].
Xét tứ giác OMFB có: \[\widehat {OMF} = \widehat {OBF} = {90^0}\,\,\left[ {gt} \right]\] \[ \Rightarrow \widehat {OMF} + \widehat {OBF} = {180^0}\] \[ \Rightarrow \] Tứ giác OMFB là tứ giác nội tiếp [Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800] \[ \Rightarrow \widehat {OBM} = \widehat {OFM}\] [2] [hai góc nội tiếp cùng chắn cung OM].
Xét tam giác OAB có \[OA = OB = R \Rightarrow \Delta OAB\] cân tại O \[ \Rightarrow \widehat {OAB} = \widehat {OBA}\] hay \[\widehat {OAM} = \widehat {OBM}\] [3]
Từ [1], [2] và [3] \[ \Rightarrow \widehat {OEM} = \widehat {OFM} \Rightarrow \Delta OEF\] cân tại O.
\[ \Rightarrow \] Đường cao OM đồng thời là đường trung tuyến.
Vậy M là trung điểm của EF [đpcm].