Đề bài - bài 58 trang 102 sgk đại số 10 nâng cao

Đề bài

Với giá trị nào của a thì hai phương trình sau có nghiệm chung:

\(x^2+ x + a = 0\) và \(x^2+ ax + 1 = 0\)

Lời giải chi tiết

Giả sử \({x_0}\)là nghiệm chung của hai phương trình, ta có:

\({x_0}^2 + {\rm{ }}{x_0} + {\rm{ }}a{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) (1)

\({x_0}^2 + {\rm{ }}a{x_0} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) (2)

Lấy (1) trừ (2) ta có:

\((1 - a){x_0} + a - 1 = 0\)\( \Leftrightarrow (1 - a)({x_0} - 1) = 0 \)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
a = 1 \hfill \cr
{x_0} = 1 \hfill \cr} \right.\)

+) Với \({x_0}= 1 \) thay vào (1) ta được: \( {1^2} + 1 + a = 0 \Leftrightarrow a = - 2\)

Khi đó, hai phương trình \({x^2} + {\rm{ }}x{\rm{ }}-{\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)và \({x^2}-{\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)có nghiệm chung là \(x = 1\)

+) Với \(a = 1\) thì \({x_0}^2 + {\rm{ }}{x_0} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)(vô nghiệm)

Vậy \(a = -2\).