Đề bài - bài 59 trang 146 sgk đại số 10 nâng cao

Đề bài

Tìm m để bất phương trình sau:

(m 1)x2 2(m + 1)x + 3(m 2) > 0

nghiệm đúng với mọi x R

Lời giải chi tiết

+ Với m = 1, ta có: -4x 3 > 0

Không nghiệm đúng với mọi x R

+ Với m 1, ta đặt \(f\left( x \right) = \left( {m - 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 3\left( {m - 2} \right)\)

BPT đã cho nghiệm đúng với mọi x \(\Leftrightarrow f\left( x \right) > 0,\forall x\)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a > 0 \hfill \cr
\Delta '< 0 \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
m - 1 > 0 \hfill \cr
\Delta ' = {(m + 1)^2} - 3(m - 2)(m - 1) < 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\{m^2} + 2m + 1 - 3\left( {{m^2} - 3m + 2} \right) < 0\end{array} \right.\cr &\Leftrightarrow \left\{ \matrix{m > 1 \hfill \cr - 2{m^2} + 11m - 5 < 0 \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{m > 1 \hfill \cr \left[ \matrix{m < {1 \over 2} \hfill \cr m > 5 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \cr} \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
m > 1\\
m < \frac{1}{2}
\end{array} \right.\left( {VN} \right)\\
\left\{ \begin{array}{l}
m > 1\\
m > 5
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 5\)

Vậy với m > 5 thì bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x R