9. BIẾN ĐỔI CÁC BIỂU THỨC HỮU TỈ. GIÁ TRỊ CỦA PHÀN THỨC BÀI TẬP VẬN DỤNG LÍ THUYẾT ?1 Biến đổi biểu thức B = 2 X —1 2x thành một phân thức. .2 Hướng dẫn 2 x-1+2 Ta có ■ B = + x-1 = X - 1 = x + 1 X2 +1 = [x + l][x2 + 1] 1 + 2x X2 + 1 + 2x X - 1 [x + l]2 [x - l][x + l]2 x2+l X2 + 1 X2 +1 _ X2 +1 [x - l][x + 1] ~ X2 - 1 ?2 a] Cho phân thức * + 1 ■ X2 + X Tìm điều kiện của X để giá trị của phân thức xác định. Tính giá trị của phân thức tại X = 1000000 và tại X = -1. Hướng dẫn Điều kiện để giá trị của phân thức xác định là : „2 b] Ta CÓ : X * 0 x + 1 X2 + X 1 x[x + 1] * 0 Xi 0 vàx í -1. . Do đó, với X = 1000000 thì giá trị của phân thức X 46 a] b] 47 a] bằng 1000000 và tại X = -1 thì giá trị của phân thức không xác định. GIẢI BÀI TẬP Biến đổi mỗi biểu thức sau thành một phân thức đại số : 1-A b] 1+1 X2 -1 a] 1-- X Ị_ X 1-1 X 1-1 X Giải x + l X _[x + l]x_x + l X X - 1 x[x - 1] X - 1 1--2- X + l X2 - 2 X2 -1 X2 x2-l -2 x + 1-2 X2 - 1 - X2 + 2 X + 1 X2 - 1 x-1 1 x2-l X - 1 X2 - 1 [x - l][x - l][x + 1] _ _ 2 Với giá trị nào của X thì giá trị của mỗi phân thức sau được xác định ? , 5x x-1 a] b] 9 •• 2x + 4 X2 - 1 Giải Điều kiện : 2x + 4 V 0 2x * - X - * —2 5X Vậy điều kiện để giá trị của phán thức ———- được xác định là X * —2. 2x + 4 Điều kiện : X2 - 1 * 0 => X2 * 1 => X * 1 và X *-1 x 1 a ■> , X — 1 Vậy điều kiện đê giá trị của phân thức —— được xác định là X * 1 X2 -1 và X * -1. Cho phân thức x + +■ Với điều kiện nào của X thì giá trị của phân thức được xác định ? Rút gọn phân thức. Tìm giá trị của X để giá trị của phân thức bằng 1. Có giá trị nào của X để giá trị của phân thức bằng 0 hay không ? Giải Điều kiện : X + 2 * 0 => x*-2 K _ , X2 + 4x + 4 Vậy điều kiện để giá trị của phân thức ——-— được xác định là X + 2 X * -2. . X . X + 4x + 4 [X + 2]2 Ta có : --— = —— = X + 2 X + 2 X + 2 Giá trị của X để giá trị của phân thức là 1 thì X + 2 = 1 => X = -1 [thỏa điều kiện xác định]. Vậy với X = -1 thì giá trị của phân thức đã cho là 1. Nếu giá trị của phân thức là 0 thì X + 2 = 0 => X = -2 [không thỏa điều kiện xác định]. Vậy không có giá trị nào của X để phân thức đã cho có giá trị bằng 0. Đô'. Đố em tìm được một phân thức [của một biến x] mà giá trị của nó được xác định với mọi giá trị của X khác các ước của 2. Giải Các ước của 2 là ±1; ±2. Ta có thể chọn phân thức — — — để giá trị của nó [x + l][x - l][x + 2][x - 2] được xác định với mọi giá trị của X sao cho X * ±1; X * ±2. LUYỆN TẬP 50 Thực hiện các phép tính : a] r X lx + 1 /■ 1- 3x2 ì 1-X2J b] [x2- l]f—-1 V X - 1 X + 1 Giải a] 3x2 " 1-x2, x + x + 1 1-x2-3x2 2x + 1 1-4x2 1-x2 1-x2 2x +1 [4x2 -1] x2-l 2x + l [x-l][x + l] x + 1 [2x - l][2x + 1] [2x + l][x - l][x + 1] [x + l][2x - l][2x +1] x-1 2x-l b] [ 1 lì - [x2 11 X + 1 - [x - 1] - [x - l][x + 1] 1X-1 x+l J [X - l][x + 1] [X2 [X - l][x +1] 51 Làm các phép tính a] b] X2 + 4x + 4 X2 - 4x + 4 1 x-2 [x2-l] X + 1 - X + 1 - [x2 - 1] 1 [x-l][x + l] [X2 -1][2 - X2 + 1] [x-l][x + l] [x - l][x + 1][3 - X2] 2 — — *3 — X • Giải a] X 1.1 „+~ y X _ [x + y][x2 -xy+ y2] xy2 b] xy2 fx2-xy + y2ì xy2 [x + y][x2 -xy+ y2].xy2 X2 - xy + y2 xy2[x2 - xy + y2] xy2 1 1 x2 + 4x + 4 X2 - 4x + 4 x-2 1 [x + 2]2 [x-2]2J ■ L[x + 2][x-2]_ [x - 2]2 - [x + 2]2 [x + 2]2[x-2]2 2x [x + 2][x - 2] X2 - 4x + 4 - X2 - 4x - 4 [x + 2][x - 2] [x + 2]2[x-2]2 2x -8x[x + 2][x - 2] [x + 2]2[x - 2]2.2x -4 [x + 2][x - 2] 52 Chứng tỏ rằng với X * 0 và X * ia [a là một sô' nguyên], giá trị của biểu 2a 4a [ -.2 , x, . • X +a thức a - — là một sô' chẵn. Giải Ta có : 2a [với X * 0, X ±a] 2 2 A X + a a X + a a[x + a] - [x2 + a2] P2a[x-a]-4ax x[x - a] ax + a2 - X2 - a2 2ax - 2a2 - 4ax ax - X2 [~2a2 - 2ax] x[x - a] X + a x[x - a] -x[a - x].2a[a + x] [x + a].x[x - a] x[x - a].2a[a + x] _ ... * . Ã , —- -■— — = 2a [là so chăn do a nguyên]. [x + a].x[x-a] 53 Biến đổi mỗi biểu thức sau thành một phân thức đại sô': Em hãy dự đoán kết quả của phép biến đổi biểu thức : thành phân thức đại sô' và kiếm tra lại dự đoán đó. Giải . _ 1,1 X + 1 a] • 1 + — = —— X X d 1 , 1 , X x + l + x 2x +1 1 + ——V = 1 + ——T = 1 + ——7 = —7— = — . I + 2. x +1 x + 1 x + 1 x + 1 X X , 1 d 1 n X +1 2x + l + x + l 3x + 2 1 + 1 = 1 + n-"-y = 1 + — = ' 7 = _ 7 i + 1 2x + 1 2x + 1 2x + 1 2x + 1 l + ỉ X + 1 X b] Từ kết quả trên ta dự đoán kết quả tiếp theo là một phân thức mà tử bằng tổng của tử và mẫu, còn mẫu là tử của kết quả của trước nó. 8x + 5 5x + 3 [Nếu biểu thức có 4 vạch phân số thì kết quả là _ _ , có 5 vạch 3x + 2 phân sô' thì kết quả là 8x + 5] 5x + 3 Thật vây : 1 + ìy = 1 + \ = 1 + ■ 2x~l 1+;i 1 1+3ĨTã 1 + Ì772 a] „ 9 \ b] 2 „• 2x2 - 6x X2 - 3 Giải Điều kiện : 2x2 - 6x * 0 => 2x[x - 3] * 0 => x^0vàx-3^0 => X í 0 và X * 3 3x + 2 Vậy điều kiện để giá trị của phân thức — được xác định là 2x2-6x X * 0 và X * 3. Điều kiện : X2 - 3 * 0 => X2 - [Vã]2 * 0 => [x + V3][x - V3] * 0 5 r- --— được xác định là X * 73 2 -3 => X * 73 và X * -73 Vậy điều kiện để giá trị của phân thức — X và X í —/3. 55 , . ,, X2 + 2x + 1 Cho phân thức a] b] x2-l ■ Với giá trị nào của X thì giá trị của phân thức được xác định ? x + 1 X —1' Chứng tỏ phân thức rút gọn của phân thức đã cho là Để tính giá trị của phân thức đã cho tại X = 2 và tại X = -1, bạn Thắng đã làm như sau : c] a] Với X = 2, phân thức đã cho có giá trị là - = 3. 2-1 Với X = -1, phân thức đã cho có giá trị là 1 + 1 = 0. -1-1 Em có đồng ý không ? Nếu không, em hãy chỉ ra chỗ mà em cho là sai. Theo em, với những giá trị nào của biến thì có thể tính được giá trị của phân thức đã cho bằng cách tính giá trị của phân thức rút gọn ? Giải Điều kiện : X2 - 1 * 0 => [x - l][x + 1] * 0 => X * 1 và X * -1 s ■> X2 + 2x 4" 1 Vậy điều kiện để giá trị của phân thức y—— được xác định là X -1 b] c] 56 X 1 và X -1. X2 + 2x + 1 _ [x + l]2 _ X + 1 x2-l _ [x-l][x + l] _ x-1' Với X = 2, giá trị của phân thức đã cho được xác định. Giá trị của phân 2 + 1 thức là —■ ■£■ = 3. 2-1 Bạn Thắng làm đúng, nhưng với X = -1, giá trị của phân thức không được xác định nên khi tính —1 + 1 = 0 là sai. -1-1 Ta chỉ tính giá trị của phân thức đã cho nhờ phân thức rút gọn khi những giá trị của biến thỏa điều kiện xác định. . 3x2 + 6x + 12 Cho phân thức a] b] c] X3 -8 VỚI điều kiện nào của X thì giá trị của phân thức được xác định ? Rút gọn phân thức. Em có biết trên lem2 bề mặt da của em có bao nhiêu con vi khuẩn không ? Tính giá trị của biểu thức đã cho tại X = 4901 em sẽ tìm đươc 2000 câu trả lời thật đáng sợ. [Tuy nhiên trong sô' đó chỉ có 20% là vi khuẩn có hại]. a] b] c] 57 Giải Điều kiện : X3 - 8 * 0 => X3 * 23 Vậy điều kiện để giá trị của phân thức 3X + x +1 được xác định là X3 -8 X 2. 3x2 + 6x +12 3[x2 + 2x + 4] _ 3 X3 - 8 - [x - 2][x2 + 2x + 4] - X - 2 Với X = 4.221 thỏa điều kiện đế giá trị của phân thức được xác định, 2000 nên giá trị của biểu thức là : 3 =2^222 = 6000 4001 _ 4001 - 4000 1 2000 2000 Trên lcm2 bề mặt da có 6000 con vi khuẩn.
Tìm giá trị nguyên của biến x để tại đó giá trị của mỗi biểu thức sau là một số nguyên . Câu 57 trang 38 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1 – Bài 9. Biến đổi các biểu thức hữu tỉ. Giá trị của phân thức
Tìm giá trị nguyên của biến x để tại đó giá trị của mỗi biểu thức sau là một số nguyên :
a. \[{2 \over {x – 3}}\]
b. \[{3 \over {x + 2}}\]
c. \[{{3{x^3} – 4{x^2} + x – 1} \over {x – 4}}\]
d. \[{{3{x^2} – x + 1} \over {3x + 2}}\]
a. \[{2 \over {x – 3}}\] là một số nguyên nên \[2 \vdots \left[ {x – 3} \right]\] và \[x \ne 3\]
⇒ x – 3 ∈ Ư[2] = { – 2; -1 ; 1; 2 }
\[\eqalign{& x – 3 = – 2 \Rightarrow x = 1 \cr & x – 3 = – 1 \Rightarrow x = 2 \cr & x – 3 = 1 \Rightarrow x = 4 \cr & x – 3 = 2 \Rightarrow x = 5 \cr} \]
Vậy với x ∈ { 1; 2; 4; 5 } thì \[{2 \over {x – 3}}\]là một số nguyên
b. \[{3 \over {x + 2}}\] là một số nguyên nên 3 ⋮ [x + 2] và x ≠ – 2
⇒ x + 2 ∈ Ư[3] = { -3; -1; 1; 3 }
\[\eqalign{ & x + 2 = – 3 \Rightarrow x = – 5 \cr & x + 2 = – 1 \Rightarrow x = – 3 \cr & x + 2 = 1 \Rightarrow x = – 1 \cr & x + 2 = 3 \Rightarrow x = 1 \cr} \]
Vậy với x ∈ { -5; -3; -1; 1 } thì \[{3 \over {x + 2}}\] là một số nguyên
c. \[{{3{x^3} – 4{x^2} + x – 1} \over {x – 4}}\]\[ = {{\left[ {3{x^2} + 8x + 33} \right]\left[ {x – 4} \right] + 131} \over {x – 4}} = 3{x^2} + 8x + 33 + {{131} \over {x – 4}}\]
Với x là số nguyên ta có : \[3{x^2} + 8x + 33\] là số nguyên
Quảng cáoVậy muốn biểu thức là số nguyên thì 131 ⋮ [x – 4 ] và x ≠ 4
⇒ x – 4 ∈ Ư[131] = {-131; -1; 1; 131}
\[\eqalign{ & x – 4 = – 131 \Rightarrow x = – 127 \cr & x – 4 = – 1 \Rightarrow x = 3 \cr & x – 4 = 1 \Rightarrow x = 5 \cr & x – 4 = 131 \Rightarrow x = 135 \cr} \]
Vậy x ∈ {-127; 3; 5; 135} thì ${{3{x^3} – 4{x^2} + x – 1} \over {x – 4}}$ là số nguyên
d. \[{{3{x^2} – x + 1} \over {3x + 2}}\]\[ = {{\left[ {3x + 2} \right]\left[ {x – 1} \right] + 3} \over {3x + 2}} = x – 1 + {3 \over {3x + 2}}\] [với \[x \ne – {3 \over 2}\] ]
x là số nguyên ta có x – 1 là số nguyên.
Vậy muốn biểu thức đã cho là số nguyên thì 3 ⋮ [3x + 2] và \[x \ne – {3 \over 2}\]
3x + 2 ∈ Ư[3] = {-3; -1; 1; 3 }
\[3x + 2 = – 3 \Rightarrow x = – {5 \over 3} \notin \] [loại]
\[3x + 2 = – 1 \Rightarrow x = – 1\]
\[3x + 2 = 1 \Rightarrow x = – {1 \over 3} \notin \] [loại]
\[3x + 2 = 3 \Rightarrow x = {1 \over 3} \notin \] [loại]
x = – 1 khác \[ – {3 \over 2}\]
Vậy với x = – 1 thì biểu thức \[{{3{x^2} – x + 1} \over {3x + 2}}\] có giá trị nguyên.