– Véctơ pháp tuyến: Véctơ $\vec{n} \neq 0$ gọi là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $[P]$ nếu giá của $\vec{n}$ vuông góc với mặt phẳng $[\alpha]$.
– Cặp véctơ chỉ phương của mặt phẳng $[\alpha]$: Hai véctơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ không cùng phương là cặp véctơ chỉ phương của mặt phẳng $[\alpha]$ nếu giá của chúng song song hoặc nằm trên $[\alpha]$
Chú ý:
– Nếu $\vec{n}$ là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $[\alpha]$ thì $k\vec{n}$ cũng là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $[\alpha]$.
– Nếu hai véctơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là một cặp véctơ chỉ phương của mặt phẳng $[\alpha]$ thì véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $[\alpha]$ là: $\vec{n}=[\vec{a};\vec{b}]$.
Ví dụ:
– Nếu $\vec{n}=[1;2;3]$ là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng [P] thì $\vec{a}=[2;4;6]$ hoặc $\vec{b}=[3;6;9]$ hoặc $\vec{c}=[-1;-2;-3]$ cũng là những véctơ pháp tuyến của mặt phẳng [P]
– Nếu hai véctơ $\vec{a}=[2;1;2]$ và $\vec{b}=[3;2;-1]$ là một cặp véctơ chỉ phương của mặt phẳng $[\alpha]$ thì véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $[\alpha]$ là: $\vec{n}=[\vec{a};\vec{b}]$ được xác định như sau:
$\vec{n}=[\vec{a};\vec{b}]=\left[\left | \begin{array}{ll}1&2 \\2&-1 \end{array} \right. |;\left | \begin {array}{ll}2&2\\-1&3 \end{array} \right. |;\left | \begin{array}{ll}2&1\\3&2 \end{array} \right | \right. ]= [-5;8;1]$
Xem thêm: Cách xác định vectơ pháp tuyến của đường thẳng trong mặt phẳng Oxy
2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
– Phương trình tổng quát của mặt phẳng $[P]$ bất kì trong không gian có dạng: $Ax + By + Cz + D = 0$ với $A^2 +B^2 + C^2 >0$
– Nếu mặt phẳng $[P]$ bất kì có dạng: $Ax + By + Cz + D = 0$ thì véctơ pháp tuyến của $[P]$ là : $\vec{n}=[A;B;C]$
– Phương trình mặt phẳng $[P]$ đi qua $M_0[x_0;y_0;z_0]$ và có véctơ pháp tuyến là $\vec{n}=[A;B;C]$ có dạng: $A[x-x_0] + B[y-y_0] + C[z-z_0] = 0$
Chú ý:
Muốn viết phương trình mặt phẳng trong không gian ta cần xác định được 2 dữ kiện:
+ Điểm M bất kì mà mặt phẳng đi qua
+ Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng
Bài giảng nên xem: 4 dạng toán viết phương trình mặt phẳng trong không gian phải dùng
3. Các trường hợp đặc biệt của phương trình mặt phẳng
Trong bảng trên các bạn thấy khi trong phương trình mặt phẳng của chúng ta không chứa ẩn nào thì mặt phẳng đó sẽ song song hoặc chứa trục đó. Nếu trong phương trình mặt phẳng của chúng ta không chứa 2 ẩn bất kì nào thì mặt phẳng đó song song với mặt phẳng chứa hai trục đó, hoặc trùng với mặt phẳng chứa 2 trục đó.
Ví dụ:
Ở dòng thứ 2 trong bảng, phương trình mặt phẳng của chúng ta khuyết ẩn x, nên mặt phẳng sẽ song song hoặc chứa trục ox. Ở dòng thứ 5 trong bảng phương trình mặt phẳng khuyết 2 ẩn x và y, nên mặt phẳng sẽ song song với mặt phẳng [oxy] hoặc trùng với mặt phẳng [oxy].
4. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Cho 2 mặt phẳng [P] và [Q] lần lượt có phương trình như sau:
[P]: $Ax + By + Cz + D=0$ và [Q]: $A’x + B’y + C’z + D’=0$
– Hai mặt phẳng cắt nhau khi và chỉ khi: $\frac{A}{A’} \neq \frac{B}{B’} \neq \frac{C}{C’}$
– Hai mặt phẳng song song khi và chỉ khi: $\frac{A}{A’} = \frac{B}{B’} = \frac{C}{C’} \neq \frac{D}{D’}$
– Hai mặt phẳng trùng nhau khi và chỉ khi: $\frac{A}{A’} = \frac{B}{B’} = \frac{C}{C’} = \frac{D}{D’}$
– Hai mặt phẳng vuông góc khi và chỉ khi: $AA’ + BB’ +CC’ = 0$. [biểu thức này chính là tích vô hướng của hai véctơ pháp tuyến của 2 mặt phẳng [P] và [Q]].
5. Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng
Cho điểm $M[a;b;c]$ và mặt phẳng $[P]$ có phương trình: $Ax + By + Cz + D= 0$. Khi đó khoảng cách từ điểm $M$ tới mặt phẳng $[P]$ được xác định như sau:
$d[M,[P]] = \frac{|Aa + Bb + Cc + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$
Ví dụ: Khoảng cách từ điểm $A[1;2;3]$ tới mặt phẳng $[P]$ có phương trình: $2x + 3y -z +4 =0$ là:
$d[A,[P]] = \frac{|2.1 + 3.2 -1.3 + 4|}{\sqrt{2^2 + 3^2 + [-1]^2}} = \frac{|9|}{\sqrt{14}} = \frac{9}{\sqrt{14}}$
Bài giảng nên xem: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
6. Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn
Phương trình mặt phẳng $[P]$ đi qua $3$ điểm $A[a;0;0];B[0;b;0]; C[0;0;c]$ có dạng là: $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$ với $a.b.c \neq 0$. Trong đó $A\in Ox; B\in Oy; C\in Oz$. Khi đó $[P]$ được gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.
Bài giảng nên xem: Lập phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn
Dưới đây là hai bài tập để các bạn tham khảo.
Bài 1: Viết phương trình mặt phẳng [P] trong các trường hợp sau:
a. Đi qua $M[3;1;1]$ và có VTPT $\vec{n}=[-1;1;2]$
b. $[P]$ là mặt phẳng trung trực của đoạn $AB$ cho trước với $A[2;1;1]$ và $B[2;-1;-1]$
c. Đi qua $M[1;2;-3]$ và có cặp VTCP là $\vec{a}=[2;1;2]$ và $\vec{b}=[3;2;-1]$
d. Đi qua $3$ điểm không thẳng hàng $A[1;-2;4]; B[3;2;-1]; C[-2;1;-3]$
Bài 2: Viết phương trình mặt phẳng $[P]$ biết:
a. $[P]$ đi qua điểm $M[2;1;5]$ và song song với các mặt phẳng tọa độ
b. $[P]$ đi qua điểm $M[2;1;5]$ và song song với mặt phẳng $[Q]: x-2y+z-10=0$
SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ
Chương trình toán học lớp 11 bao gồm chuyên đề quan trọng về hai mặt phẳng vuông góc. Vậy cụ thể hai mặt phẳng vuông góc là gì? Tính chất 2 mặt phẳng vuông góc? Chuyên đề và bài tập 2 mặt phẳng vuông góc như nào?… Trong bài viết cụ thể dưới đây, hãy cùng DINHNGHIA.VN tìm hiểu nhé!
Chuyên đề hai mặt phẳng vuông góc
Định nghĩa hai mặt phẳng vuông góc là gì?
Nếu 2 mặt phẳng vuông góc với nhau thì góc giữa chúng bằng \[90^{\circ}\].
\[[P]\perp [Q]\Leftrightarrow [\widehat{[P],[Q]}]=90^{\circ}\]
Điều kiện để 2 mặt phẳng vuông góc
Hai mặt phẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi trong mặt phẳng này và có một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
\[\left\{\begin{matrix} d& \perp [Q]& \\ d&\subset [P] & \end{matrix}\right. \Rightarrow [P]\perp [Q]\].
Tính chất của hai mặt phẳng vuông góc
- Nếu 2 mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến cũng vuông góc với mặt phẳng kia.
\[\left\{\begin{matrix} [P] &\perp [Q] & \\ a & \subset [P] & \\ [P] & \cap [Q]= & b\\ a&\perp b& \end{matrix}\right. \Rightarrow a\perp [Q]\]
- Nếu hai mặt phẳng [P], [Q] vuông góc với nhau và thì đường thẳng a qua A và vuông góc với [Q] sẽ nằm trong [P].
\[\left\{\begin{matrix} [P] &\perp [Q] & \\ A& \in [P] & \\ A& \in & a\\ a&\perp [Q]& \end{matrix}\right. \Rightarrow a\subset [P]\]
- Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng cũng vuông góc với mặt phẳng thứ ba.
\[\left\{\begin{matrix} [P] &\cap [Q] =a& \\ [P]& \perp [R] & \\ [Q]& \perp [R] & \\ \end{matrix}\right. \Rightarrow a\perp [R]\].
Hai mặt phẳng vuông góc trong không gian Oxyz
Phương trình tổng quát mặt phẳng trong không gian Oxyz
Phương trình tổng quát của mặt phẳng [P] trong không gian Oxyz có dạng:
\[Ax + By + Cz + D = 0\]
với \[A^{2}+B^{2}+C^{2}> 0\]
Do đó muốn viết phương trình mặt phẳng trong không gian ta phải cần xác định được 2 dữ kiện:
- Điểm M bất kì mà mặt phẳng đã đi qua
- Vector pháp tuyến của mặt phẳng
Điều kiện hai mặt phẳng vuông góc trong không gian Oxyz
Cho 2 mặt phẳng \[[P]: Ax + By + Cz + D = 0\]và \[ [Q]: A’x + B’y + C’z + D’ = 0\]
thì ta có 2 mặt phẳng vuông góc khi và chỉ khi: \[AA’+BB’+CC’+DD’=0\].
Cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc
Chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc với nhau
- Cách 1: Chứng minh mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
- Cách 2: Chứng minh góc giữa hai mặt phẳng là \[90^{\circ}\].
Chứng minh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng \[[\alpha ]\]
- Cách 1: Nếu hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến [nếu có] của chúng cũng vuông góc với mặt phẳng này.
- Cách 2: Nếu 2 mặt phẳng vuông góc với nhau, khi một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia.
Kết quả:
- \[S’=Scos \varphi\]
- Nếu hai mặt phẳng [P] và [Q] vuông góc với nhau, điểm A thuộc mặt phẳng [P] thì mọi đường thẳng qua A và vuông góc với [Q] đều nằm trong [P].
Các dạng bài tập hai mặt phẳng vuông góc
Bài tập hai mặt phẳng vuông góc cơ bản
Cho hình chóp\[S_{ABC}\] có đáy ABC là tam giác vuông tại B, Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC. Chứng minh rằng: \[[SAB] \perp [SBC], [AHK] \perp [SBC]\].
Cách giải:
- Chứng minh \[[SAB] \perp [SBC]\]:
Để chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc với nhau, ta chứng minh trong mặt phẳng này có 1 đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
Ta có: Tam giác ABC vuông tại B \[\Rightarrow AB\perp BC [1]\].
\[SA \perp [ABC] \Rightarrow SA \perp BC [2]\].
Từ [1] và [2] \[\Rightarrow BC \perp [SAB], BC \subset [SBC] \Rightarrow\] \[[SAB] \perp [SBC]\]
[đpcm].
- Chứng minh\[[AHK] \perp [SBC]\]:
Ta có: \[BC \perp [SAB] \Rightarrow BC \perp AH [3]\].
H là hình chiếu vuông góc của A [gt] \[\Rightarrow SB \perp AH[4]\].
Từ [3] và [4] \[\Rightarrow AH \perp [SBC], AH \subset [AHK] \Rightarrow [AHK] \perp [SBC]\] [đpcm].
Bài tập hai mặt phẳng vuông góc trong không gian
Bài 4 SGK toán 11 2 mặt phẳng vuông góc
Cho hai mặt phẳng\[\Delta\] và \[[\beta ]\] vuông góc với nhau và cắt nhau theo giao tuyến d. Chứng minh rằng nếu có một đường thẳng \[\Delta\] nằm trong \[\Delta\] và \[\Delta\] vuông góc với d thì \[\Delta\] vuông góc với \[[\beta ]\].
Cách giải:
Ta có:
\[\left\{\begin{matrix} \Delta &\subset & [\alpha ]\\ \Delta & \perp &d \end{matrix}\right. \Rightarrow \Delta \cap d =\left \{ A \right \}\]
Từ A, kẻ đường thẳng a: \[\left\{\begin{matrix} a &\in & [\beta ]\\ a & \perp &d \end{matrix}\right.\]
Do \[[\alpha ]\perp [\beta ]\Rightarrow [\widehat{[\alpha ],a}]=90^{\circ}\] hay \[\Delta \perp d\]
Từ đó suy ra: \[\Delta \perp [d,a]\] hay \[\Delta \perp [\beta ]\]
Như vậy, bài viết trên đây của DINHNGHIA.VN đã giúp bạn tổng hợp kiến thức về chủ đề hai mặt phẳng vuông góc. Chúc bạn luôn học tốt!
Xem thêm >>> Hai mặt phẳng song song: Định nghĩa, Tính chất và Các dạng bài tập
Xem thêm >>> Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Lý thuyết và Các dạng bài tập
Please follow and like us: