1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng
Định nghĩa :
vectơ \[\vec{u}\] được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng \[∆\] nếu \[\vec{u}\] ≠ \[\vec{0}\] và giá của \[\vec{u}\] song song hoặc trùng với \[∆\]
Nhận xét :
- Nếu \[\vec{u}\] là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \[∆\] thì \[k\vec{u} [ k≠ 0]\] cũng là một vectơ chỉ phương của \[∆\] , do đó một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương.
- Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.
2. Phương trình tham số của đường thẳng
- Phương trình tham số của đường thẳng \[∆\] đi qua điểm \[M_0[x_0 ;y_0]\] và nhận vectơ \[\vec{u} = [u_1; u_2]\] làm vectơ chỉ phương là :
\[∆\] : \[\left\{\begin{matrix} x= x_{0}+tu_{1}& \\ y= y_{0}+tu_{2}& \end{matrix}\right.\]
-Khi \[u_1≠ 0\] thì tỉ số \[k= \dfrac{u_{2}}{u_{1}}\] được gọi là hệ số góc của đường thẳng.
Từ đây, ta có phương trình đường thẳng \[∆\] đi qua điểm \[M_0[x_0 ;y_0]\] và có hệ số góc k là:
\[y – y_0 = k[x – x_0]\]
Chú ý: Ta đã biết hệ số góc \[k = \tan α\] với góc \[α\] là góc của đường thẳng \[∆\] hợp với chiều dương của trục \[Ox\]
3. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng
Định nghĩa: Vectơ \[\vec{n}\] được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \[∆\] nếu \[\vec{n}\] ≠ \[\vec{0}\] và \[\vec{n}\] vuông góc với vectơ chỉ phương của \[∆\]
Nhận xét:
- Nếu \[\vec{n}\] là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \[∆\] thì k\[\vec{n}\] \[[k ≠ 0]\] cũng là một vectơ pháp tuyến của \[∆\], do đó một đường thẳng có vô số vec tơ pháp tuyến.
- Một đường thẳng được hoàn toàn xác định nếu biết một và một vectơ pháp tuyến của nó.
4. Phương trình tổng quát của đường thẳng
Định nghĩa: Phương trình \[ax + by + c = 0\] với \[a\] và \[b\] không đồng thời bằng \[0\], được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng.
Trường hợp đặc biết:
+ Nếu \[a = 0 => y = \dfrac{-c}{b}; ∆ // Ox\] hoặc trùng Ox [khi c=0]
+ Nếu \[b = 0 => x = \dfrac{-c}{a}; ∆ // Oy\] hoặc trùng Oy [khi c=0]
+ Nếu \[c = 0 => ax + by = 0 => ∆\] đi qua gốc tọa độ
+ Nếu \[∆\] cắt \[Ox\] tại \[A[a; 0]\] và \[Oy\] tại \[B [0; b]\] thì ta có phương trình đoạn chắn của đường thẳng \[∆\] :
\[\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1\]
5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Xét hai đường thẳng ∆1 và ∆2
có phương trình tổng quát lần lượt là :
a1x+b1y + c1 = 0 và a2x+b2y +c2 = 0
Điểm \[M_0[x_0 ;y_0]\]] là điểm chung của ∆1 và ∆2 khi và chỉ khi \[[x_0 ;y_0]\] là nghiệm của hệ hai phương trình:
[1] \[\left\{\begin{matrix} a_{1}x+b_{1}y +c_{1} = 0& \\ a_{2}x+b_{2}y+c_{2}= 0& \end{matrix}\right.\]
Ta có các trường hợp sau:
a] Hệ [1] có một nghiệm: ∆1 cắt ∆2
b] Hệ [1] vô nghiệm: ∆1 // ∆2
c] Hệ [1] có vô số nghiệm: ∆1 \[ \equiv \]∆2
6.Góc giữa hai đường thẳng
Hai đường thẳng ∆1 và ∆2 cắt nhau tạo thành 4 góc.
Nếu ∆1 không vuông góc với ∆2 thì góc nhọn trong số bốn góc đó được gọi là góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2.
Nếu ∆1 vuông góc với ∆2 thì ta nói góc giữa ∆1 và ∆2 bằng 900.
Trường hợp ∆1 và ∆2 song song hoặc trùng nhau thì ta quy ước góc giữa ∆1 và ∆2 bằng 00.
Như vậy góc giữa hai đường thẳng luôn bé hơn hoặc bằng 900
Góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 được kí hiệu là \[\widehat{[\Delta _{1},\Delta _{2}]}\]
Cho hai đường thẳng:
∆1: a1x+b1y + c1 = 0
∆2: a2x+b2y + c2 = 0
Đặt \[\varphi\] = \[\widehat{[\Delta _{1},\Delta _{2}]}\]
\[\cos \varphi\] = \[\dfrac{|a_{1}.a_{2}+b_{1}.b_{2}|}{\sqrt{{a_{1}}^{2}+{b_{1}}^{2}}\sqrt{{a_{2}}^{2}+{b_{2}}^{2}}}\]
Chú ý:
+ \[{\Delta _1} \bot {\Delta _2} \Leftrightarrow {n_1} \bot {n_2}\] \[ \Leftrightarrow {a_1}.{a_2} + {b_1}.{b_2} = 0\]
+ Nếu \[{\Delta _1}\] và \[{\Delta _2}\] có phương trình y = k1 x + m1 và y = k2 x + m2 thì
\[{\Delta _1} \bot {\Delta _2} \Leftrightarrow {k_1}.{k_2} = - 1\]
7. Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Trong mặt phẳng \[Oxy\] cho đường thẳng \[∆\] có phương trình \[ax+by+c=0\] và điểm \[M_0[x_0 ;y_0]\]].
Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng là gì? Lý thuyết và bài tập ví dụ về phương trình đường thẳng trong mặt phẳng như nào? Đề cương ôn tập phương trình đường thẳng và mặt phẳng? Dạng toán viết phương trình đường thẳng trong mặt phẳng?… Tất cả những thắc mắc của bạn trên đây sẽ được giải đáp cụ thể trong bài viết dưới đây của DINHNGHIA.VN cùng tìm hiểu nhé!
Mục lục
Phương trình tổng quát của đường thẳng
Phương trình tổng quát của đường thẳng d trong mặt phẳng Oxy có dạng:
\[ax+by+c=0\] với \[a^{2}+b^{2}\neq 0\]
Khi đó vector \[\vec{n} = [A, B]\] là một vector pháp tuyến của đường thẳng.
Nhận xét:
- Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến [VTPT] \[\vec{n}= [a;b]\], véc tơ chỉ phương [VTCP] \[\vec{u}= [-b;a]\] hoặc \[\vec{u}= [b;-a]\]
- Nếu d đi qua điểm \[M_{0}=[x_{0},y_{0}]\] thì phương trình của d là: \[a[x-x_{0}]+b[y-y_{0}]=0\]
Ví dụ 1:
Cách viết phương trình tổng quát của đường thẳng
Những dạng đặc biệt của phương trình tổng quát
Xem thêm >>> Viết phương trình tham số của đường thẳng
Phương trình chính tắc của đường thằng là gì?
Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
Xét hai điểm \[A[x_{1}, y_{1}]\], \[B[x_{2}, y_{2}]\]
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A, B có dạng: \[\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}\]
Lý thuyết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm
Xem chi tiết >>> Chuyên đề Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm
Dạng tổng quát phương trình đường thẳng qua hai điểm
Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm \[A[x_{1}, y_{1}]\], \[B[x_{2}, y_{2}]\]
Cách giải:
Giả sử đường thẳng đi qua 2 điểm \[A[x_{1}, y_{1}]\], \[B[x_{2}, y_{2}]\] có dạng: y = ax + b [1]
Vì [1] đi qua \[A [x_{1}, y_{1}]\] nên ta có \[y_{1} = ax_{1} + b\] [2]
Vì [1] đi qua \[B [x_{2}, y_{2}]\] nên ta có \[y_{2} = ax_{2} + b\] [3]
Từ [2] và [3] giải hệ ta tìm được a và b.
Thay vào [1] ta sẽ tìm được đường thẳng cần tìm.
Phương trình đường thẳng Ox
Gọi \[M[x_{0},0]\in Ox\]
Đường thẳng OM có phương trình ax+by+c=0
Do OM đi qua O [0,0] thay vào phương trình ta có c=0
OM đi qua \[M[x_{0},0]\] nên ta có ax=0. Suy ra x=0.
Vậy phương trình đường thẳng Ox là x=0
Phương trình đường thẳng có hệ số góc k
Cho đường thẳng \[\Delta\] đi qua điểm \[M[x_{0},y_{0}]\] và có hệ số góc k. Phương trình đường thẳng \[\Delta\] có dạng:
\[y-y_{0}=k[x-x_{0}]\]
Như vậy, qua nội dung bài viết về phương trình đường thẳng và mặt phẳng mà chúng tôi đã cung cấp trên đây đã mang đến cho bạn những kiến thức hữu ích phục vụ cho quá trình học tập của mình. Chúc bạn luôn học tốt cũng như nắm vững lý thuyết về phương trình đường thẳng trong mặt phẳng nhé!