Bài viết hướng dẫn phương pháp giải và biện luận phương trình bậc hai một ẩn, nội dung bài viết gồm 3 phần: trình bày phương pháp, ví dụ minh họa và các bài tập rèn luyện, các ví dụ và bài tập trong bài viết đều được phân tích và giải chi tiết.
1. Phương pháp giải và biện luận phương trình bậc hai một ẩn
Các bước giải và biện luận phương trình dạng $a{x^2} + bx + c = 0:$
Nếu $a=0$: Phương trình trở thành: $bx + c = 0$, khi đó:
+ Nếu$b \ne 0$, phương trình $\Leftrightarrow x = \frac{c}{b}$,do đó phương trình có nghiệm duy nhất $x = \frac{c}{b}.$
+ Nếu$b = 0$,phương trình trở thành $0x + c = 0$, ta tiếp tục xét 2 trường hợp:
Trường hợp 1:Với $c = 0$,phương trình nghiệm đúng với mọi $x \in R.$
Trường hợp 2: Với $c 0$,phương trình vô nghiệm.
Nếu $a\ne 0$: xét $\Delta ={{b}^{2}}-4ac:$
+ Trường hợp 1: Nếu $\Delta >0$, phương trình có hai nghiệm phân biệt $x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}.$
+ Trường hợp 2: Nếu $\Delta =0$, phương trình có nghiệm kép $x=-\frac{b}{2a}.$
+ Trường hợp 3: Nếu $\Delta 0$ $\Leftrightarrow 1-4m>0$ $\Leftrightarrow m0$ $\Leftrightarrow m>-2$ khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt $x=\frac{m\pm \sqrt{m+2}}{m+1}.$
+ Khi $\Delta =0$ $\Leftrightarrow m+2=0$ $\Leftrightarrow m=-2$ khi đó phương trình có nghiệm là $x=2.$
+ Khi $\Delta 0$ $\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-4m+1>0$ $\Leftrightarrow {{\left[ 2m-1 \right]}^{2}}>0$ $\Leftrightarrow m\ne \frac{1}{2}.$
Vậy $m\ne 0$ và $m\ne \frac{1}{2}$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.
[ads]
3. Bài tập rèn luyện
a. Đề bài
Bài toán 1. Tìm $m$ để phương trình ${{x}^{2}}-3mx+[2{{m}^{2}}-m-1]=0$ có nghiệm kép, tìm nghiệm kép đó.
Bài toán 2. Cho phương trình: $m{{x}^{2}}-2mx+m+1=0.$
a] Giải phương trình đã cho khi $m=-2.$
b] Tìm $m$ để phương trình đã cho có nghiệm.
Bài toán 3. Giải và biện luận phương trình:
a] $[m-2]{{x}^{2}}-2[m+1]x+m-5=0.$
b] $[m-2]{{x}^{2}}-[2m-1]x+m+2=0.$
Bài toán 4. Tùy thuộc vào giá trị của tham số $m$, hãy tìm hoành độ giao điểm của đường thẳng $d:y=2x+m$ và Parabol $[P]:$ $y=\left[ m 1 \right]{{x}^{2}}+2mx+3m 1.$
b. Hướng dẫn giải và đáp số
Bài toán 1. Ta có: $\Delta =9{{m}^{2}}-4\left[ 2{{m}^{2}}-m-1 \right]$ $=9{{m}^{2}}-8{{m}^{2}}+4m+4$ $={{[m+2]}^{2}}.$
Phương trình có nghiệm kép khi $\Delta ={{[m+2]}^{2}}=0$ $\Rightarrow m=-2.$
Nghiệm kép đó là ${{x}_{1}}={{x}_{2}}$ $=\frac{3m}{2}=\frac{-6}{2}=-3.$
Bài toán 2.
a] Với $m=-2$ ta có phương trình: $-2{{x}^{2}}+4x-1=0$ $\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-4x+1=0$, phương trình này có hai nghiệm phân biệt $x=\frac{2\pm \sqrt{2}}{2}.$
b]
Với $m=0$ ta thấy phương trình vô nghiệm.
Với $m\ne 0$ thì phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $\Delta={{m}^{2}}-m\left[ m+1 \right]\ge 0$ $\Leftrightarrow m