Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 95 Bài 4 : GIÁ TRỊ LỚN NHẤT GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ. 4.1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa: Cho hàm số xác định trên D •Số M gọi là giá trị lớn nhất [GTLN] của hàm số []y f x= trênD nếu 0 0[ ] : [ ]f x M x Dx D f x M≤ ∀ ∈∃ ∈ = , ta kí hiệumax [ ]x DM f x∈=. •Số m gọi là giá trị nhỏ nhất [GTNN] của hàm số []y f x= trên D nếu0 0[ ] : [ ]f x M x Dx D f x m≥ ∀ ∈∃ ∈ =, ta kí hiệumin [ ]x Dm f x∈=. 2. Phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số Phương pháp chung: Để tìm GTLN, GTNN của hàm số []y f x= trên D ta tính 'y, tìm các điểm mà tại đó đạo hàm triệt tiêu hoặc không tồn tại và lập bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên ta suy ra GTLN, GTNN. Chú ý: • Nếu hàm số []y f x= luôn tăng hoặc luôn giảm trên ;a b thì[a;b] [a;b]max [ ] max{ [ ], [ ]}; min [ ] min{ [ ], [ ]}f x f a f b f x f a f b= = . • Nếu hàm số []y f x= liên tục trên ;a b thì luôn có GTLN, GTNN trên đoạn đó và để tìm GTLN, GTNN ta làm như sau * Tính 'y và tìm các điểm 1 2, , ,nx x x mà tại đó 'y triệt tiêu hoặc hàm số không có đạo hàm. * Tính các giá trị 1 2[ ], [ ], , [ ], [ ], [ ]nf x f x f x f a f b.Khi đó [][][][][][]{}1 2; ;max max , , ,ix a b x a bf x f a f x f x f x f b ∈ ∈ + = [][][][][][]{}1 2; ;min min , , ,ix a b x a bf x f a f x f x f x f b ∈ ∈ + = •Nếu hàm số []y f x= là hàm tuần hoàn chu kỳ T thì để tìm GTLN, GTNN của nó trên D ta chỉ cần tìm GTLN, GTNN trên một đoạn thuộc D có độ dài bằng T. * Cho hàm số []y f x= xác định trên D. Khi đặt ẩn phụ [ ]t u x=, ta tìm được t E∈ với x D∀ ∈, ta có []y g t= thì Max, Min của hàm f trên D chính là Max, Min của hàmg trên E. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 96 * Khi bài toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất mà không nói trên tập nào thì ta hiểu là tìm GTLN, GTNN trên tập xác định của hàm số. * Ngoài phương pháp khảo sát để tìm Max, Min ta còn dùng phương pháp miền giá trị hay Bất đẳng thức để tìm Max, Min. 4.2 DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Ví dụ 1 : Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số: 3 11.3xyx−=− trên đoạn 0;2 . 2.2[ 6] 4y x x= − + trên đoạn 0;3 . []36 23. 4 1y x x= + − trên đoạn 1;1 − . 24. 5 6y x x = − + + trên đoạn [ 1; 6]−. Giải : 3 11.3xyx−=− * Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn 0;2 . * Ta có [ ]28' 0, 0;23y xx− = < ∀ ∈ − * Bảng biến thiên x 0 2 'y − y 13 5− Từ bảng biến thiên suy ra : [ ] [ ]0;2 0;21max 0 min 5 23f x khi x f x khi x = = = − = 2.2[ 6] 4y x x= − + * Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn 0;3 . * Ta có : 222 6 4' , 0; 34x xy xx− + = ∈ + Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 97 1' 02xyx== ⇔= 0;30;3[1] 5 5max 3 13[0] 12[2] 8 2 min 12[3] 3 13xxyyyy yy ∈ ∈ = −= −= −⇒ = − = − = − Vậy 0;3max 3 13xy ∈ = − khi 3x= , 0;3min 12xy ∈ = − khi 0x=. []36 23. 4 1y x x= + − * Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn 1;1 − . Đặt 2, 1;1 0;1t x x t = ∈ −⇒∈ Hàm số đã cho viết lại [ ] [ ]334 1 , 0;1f t t t t = + − ∈ * Ta có [ ] [ ][]22 2' 3 12 1 3 3 8 4f t t t t t= − − = − + − [ ]2 2 4,' 03 3 92t ff tt = = = ⇔ = [][]0 4, 1 1f f= = * Bảng biến thiên t 0 23 1 []'f t − 0 + []f t 4 1 49 Từ bảng biến thiên suy ra : [ ] [ ]1;1 1;14 2max 4 0 min9 3f x khi x f x khi x − − = = = = ± 24. 5 6y x x = − + + Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 98 * Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn [ 1; 6]−. * Ta có 22 5'2 5 6xyx x− +=− + + 5' 0 [ 1; 6]2y x= ⇔ = ∈ − [ ]5 7[ 1] 6 0,2 2y y y − = = = . Vậy : 1;6min 0 1, 6xy khi x x∈ − = = − = và1;67 5max2 2xy khi x∈ − = = . Ví dụ 2 : Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số: 221 9, 08 1x xy xx+ += >+. Giải : * Hàm số đã cho xác định và liên tục trên khoảng []0;+∞ []2 2 2222 29 1 9 1 18 19 1[8 1] 9 1x x x xyxx xx x x+ + + −= = =++ −+ + − Hàm số đạt giá trị lớn nhất trên khoảng []0;+∞ khi hàm số 2[ ] 9 1 f x x x= + −đạt giá trị nhỏ nhất trên khoảng []0;+∞. [ ]29' 19 1xf xx= −+ [ ]2201' 0 9 1 972 16 2xf x x x xx>= ⇔ + = ⇔ ⇔ == [ ]002 2 1 1 3 2 1min khi m khi 3 46 2 2 2 6 23xxf x x y x>>= = ⇒ = = =ax. Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số: 21. 4y x x= + − trên đoạn 2;2 − . 212.1xyx+=+ trên đoạn 1;2x ∈ − . Giải : 21. 4y x x= + − * Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn 2;2 − . Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 99 * Ta có [ ]22 24' 1 , 2;24 4x x xy xx x− −= − = ∈ −− − [ ] [ ]2 24 0 4' 02;2 2;2x x x xyx x − − = − = = ⇔ ⇔ ∈ − ∈ − 2 2 20 2 0 224 2x xxx x x < < < • > ⇒ + > ⇒ ⇒ >> [ ]1[ 1]120 1 112[0]2fp p ffα− >• < ⇒ − > ⇒ ⇒ >> 1;1max max [ ] ; [ 1] ; [1]2xpy f f f ∈ − = − − [ ] [ ] [ ] [ ]20 , 0 , 1 1 12pp f x x q f f q f f q • = ⇒ = + = − = − = = + Giá trị lớn nhất của y là một trong hai giá trị ; 1q q+ 1 1 1 11 [ 1] [ ]2 2 2 2q q f fα• > −⇒+ >⇒± >⇒> 1 1 1 1[0] [ ]2 2 2 2q q f fα• < −⇒>⇒>⇒> [ ]21 1 1 1max [ ] 0; 12 2 2 2q f x x f x x x• = − ⇒ = − ≤ ⇒ = ⇔ = = ± cũng là giá trị nhỏ nhất của []fα. Vậy 10,2p q= = − thoả mãn bài toán . Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 102 Ví dụ 6 : Tìm các giá trị ,a bsao cho hàm số 21ax byx+=+có giá trị lớn nhất bằng 4 và có giá trị nhỏ nhất bằng 1−. Giải : * Hàm số đã cho xác định và liên tục trên ». • Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 4 khi và chỉ khi 22200 00204,4 4 0,14 4 0 :: 41ax bxx ax b xxax bx ax bxx+≤ ∀ ∈− + − ≥ ∀ ∈ +⇔ +− + − =∃ ∈ =+»»»0co ùnghieäm x [][ ][ ]22216 4 016 64 0 *16 4 0a ba ba b∆ = − − ≤⇔ ⇔ + − =∆ = − − ≥ • Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 1 khi và chỉ khi 22200 00201,1 0,11 0 :: 11ax bxx ax b xxax bx ax bxx+≥ − ∀ ∈+ + + ≥ ∀ ∈ +⇔ ⇔ ++ + + =∃ ∈ = −+»»»0co ùnghieäm x [][ ][ ]2224 1 04 4 0 * *4 1 0a ba ba b∆ = − + ≤⇔ ⇔ − − =∆ = − + ≥ Từ [][]* à * *v ta có hệ [][ ]22216 64 0 * 4 4163 334 4 0 * *a b a aab bba b + − = = − == ⇔⇔ ⇔ ∨ = ==− − = Vậy giá trị ,a b cần tìm là :4 43 3a ab b = − = ∨ = = Ví dụ 7 : Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số: 4 21. sin cos 2y x x= + + 2. sin 2y x x= − trên đoạn ;2ππ − 2sin 13.sin sin 1xyx x+=+ + 6 6sin cos cos sin4.sin cosx x x xyx x+=+ Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 103 Giải : 4 21. sin cos 2y x x= + + 4 2 4 2sin cos 2 sin sin 3y x x x x= + + = − + * Hàm số đã cho xác định và liên tục trên ». Đặt 2sin , 0 1t x t= ≤ ≤ Xét hàm số []23f t t t= − + liên tục trên đoạn 0;1 Ta có []' 2 1f t t= −, 0;1t ∈ [ ]1' 02f t t= ⇔ = [ ] [ ]1 110 1 3 ,2 4f f f = = = [ ]0;111 3min min 24 4ty f t ∈ = = = []0;1max m x 3ty a f t ∈ = = 2. sin 2y x x= − trên đoạn ;2ππ − * Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn đoạn ;2ππ − Ta có : [ ]' 1 2 cos 2 ,2f x x xππ= − − < < [ ]5' 0 , ,6 6 6f x xπ π π= ⇔ = − 3 3;6 6 2 6 6 2f fπ π π π − = − + = − [ ]5 5 3; ;6 6 2 2 2f f fπ π π ππ π = + − = − = Vậy: ;25 3 5max6 2 6xy khi xπππ π ∈ − = + = ;2min2 2xy khi xπππ π ∈ − = − = − 2sin 13.sin sin 1xyx x+=+ + Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 104 Đặt [ ]21sin , [ 1; 1]1tt x f t tt t+= ⇒ = ∈ −+ + [ ]211tf tt t+=+ + liên tục trên đoạn [ 1; 1]− [ ][ ]2/2 2/2[ 1]0 0 [ 1; 1]t tf tt tf t t− −=+ += ⇔ = ∈ − [ ] [ ]2[ 1] 0, 0 1, 13f f f− = = = . Vậy: [ ] [ ]1;1min min 0 sin 1 2 , 2tf x f t khi x x k kππ∈ − = = = − ⇔ = − + ∈ Z [][]1;1max max 1 sin 0 , tf x f t khi x x k kπ∈ − = = = ⇔ = ∈ Z. 6 6sin cos cos sin4.sin cosx x x xyx x+=+ Vì 2 2sin cos sin cos 1,x x x x x+ ≥ + = ∀ Nên 5 56 6sin cos sin cossin cos cos sinsin cos sin cosx x x xx x x xyx x x x + + = =+ + []2 2sin cos 1 sin cos sin cosy x x x x x x= − − 231 1 1sin sin 2 sin 28 4 2y x x x−= − + Đặt sin 2 ; 0 1t x t= ≤ ≤ Xét hàm số : 3 21 1 1[ ]8 4 2f t t t t−= − + liên tục trên đoạn 0;1 . Ta có : 23 1 1'[ ] , 0;18 2 2f t t t t− = − + ∀ ∈ và 2'[ ] 03f t t= ⇔ = 2 5 1[0] 0; ; [1]3 27 8f f f = = = Vậy : 0;1min min [ ] [0] 0ty f t f ∈ = = = khi sin 2 02kx xπ= ⇔ = Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 105 0;12 5max [ ]3 27ty maxf t f ∈ = = = khi 2 1 1 1sin 2 cos 4 cos3 9 4 9 2kx x x arcπ= ⇔ = ⇔ = ± + Bài tập tương tự: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số: 3 31. sin cosy x x= + 32. 2 sin 3 cos2 6 siny x x x= − + − Ví dụ 8 : Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số: 11.sin cosyx x=+ 2. 1 sin 1 cosy x x= + + + Giải : 11.sin cosyx x=+ Xét hàm số [ ] sin cosg x x x= + liên tục trên đoạn 0;2π Ta có :cos sin cos cos sin sin'[ ]2 sin 2 cos 2 sin .cosx x x x x xg xx x x x−= − =, 0;2xπ ∈ cos sin'[ ] 0, 0;0;2 42x xg x x xxπ ππ= = ∈ ⇔ ⇔ = ∈ 4 441[0] 1; [ ] 8; [ ] 1 1 [ ] 8 14 28g g g g x yπ π= = =⇒≤ ≤⇒≤ ≤ Vậy 41min ,max 18y y= = 2. 1 sin 1 cosy x x= + + + Hàm số đã cho xác định khi 1 sin 01 cos 0xx+ ≥+ ≥ []20 sin cos 2 2 sin cos sin cos 1 *y y x x x x x x>⇒= + + + + + + Đặt 21sin cos 2 sin , 2 2 sin cos4 2tt x x x t x xπ −= + = + − ≤ ≤ ⇒ = Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 106 Khi đó []* viết lại [ ][ ]212 2 2 1 2 2 12f t t t t t t= + + + + = + + + [ ][][]1 2 2 2, 2 11 2 2 2, 1 2t tf tt t− + − − ≤ ≤ −=+ + + − ≤ ≤neáuneáu [ ]1 2 0, 2 1'1 2 0, 1 2tf tt− < − ≤ < −=+ > − < ≤neáuneáu Hàm số []f t không có đạo hàm tại điểm 1t= − [ ] [ ]max 4 2 2 min 1x xf x f x∈ ∈= + = » » Ví dụ 9: []2 2[ ] [sin ] cosg x f x f x= trong đó hàm fthỏa mãn: [cot ] sin 2 cos 2 f x x x= +[0; ]xπ∀ ∈. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của [ ]g x. Giải : Đặt cott x= 22 2 2 22 t n 2 cot 2 1sin 2 ; cos 21 t n 1 cot 1 1a x x t tx xa x x t t−⇒ = = = =+ + + + 222 1[ ]1t tf tt+ −⇒ =+ 4 2 4 24 4[sin 2sin 1][cos 2 cos 1][ ][sin 1][cos 1]x x x xg xx x+ − + −⇒ =+ + 4 4 2 2 24 4 2 2 2sin cos 8 sin cos 2 8 2[ ] [ ]sin cos 2 sin cos 2 2 2x x x x u ug x h ux x x x u u+ − + −= = =− + − +. trong đó 2 21sin cos ; 04u x x u= ≤ ≤. 22 25 4 6 1'[ ] 2 0 0;4[ 2 2]u uh u uu u − + +⇒ = > ∀ ∈ − +. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 107 ⇒ hàm số [ ]h u luôn tăng trên 10;4 nên 1 0;41 1max [ ]4 25uh u h ∈ = = 10;4min [ ] [0] 1uh t h ∈ = = − . Vậy 1max [ ] ; min [ ] 125g x g x= = − Ví dụ 10: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số trên : 1;2 − , biết [][ ] [ ]2 20 1. ' 1 2 3ff x f x x x== + + Giải : [ ] [ ]32 2 2 3[ ]. ' 1 2 3 , :3f xf x f x x x x x x c c = + + ⇔ = + + +hằng số. [ ]10 13f c=⇒= Do đó 33 2[ ] 3 3 3 1f x x x x= + + + Xét hàm số : []3 23 3 3 1g x x x x= + + + liên tục trên đoạn 1;2x ∈ − . Ta có []2' 9 6 3g x x x= + + [ ]1' 013xg xx= −= ⇔= − [ ] [ ] [ ] [ ]1;2 1;21 21 2, 2 40, m x 40, min 23 9x xg g g a g x g x ∈ − ∈ − − = − = − = ⇒ = = − Vậy [][ ]31;231;2m x 40 2min 2 1xxa f x khi xf x khi x ∈ − ∈ − = == − = − Ví dụ 11 : Cho ,a b là các số dương thoả mãn3ab a b+ + =. Tìm GTLN của biểu thức: 2 23 31 1a b abP a bb a a b= + + − −+ + + [Dự bị Đại học- 2005 ] . Giải : Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 108 Từ 2[ ]3 3 [ ] 24a bab a b a b ab a b++ + = ⇒ − + = ≤ ⇔ + ≥. Ta có: [ ] [ ]23 [ 1] 3 [ 1][ ] 21 1a a b b abP a b aba bb a+ + += + − + +++ + 22[ ] 2 [ ]3 [ ] 21a b ab a b abP a b abab a b a b+ − + += + − + ++ + + + 2 23 3 [ ][ ] 3[ ] 6 [ ] 6 2[ ]4a bP a b a b a b a ba b− + = + + + − + − + + − + + 21 12[ ] [ ] 24P a b a ba b = − + + + + + + . Đặt 2t a b= + ≥. Xét hàm số 212[ ] 2g t t tt= − + + + với 2t≥ Ta có: 2212 3'[ ] 2 1 0 2 max [ ] [2]2tg t t t g t gt≥= − + − < ∀ ≥ ⇒ = =. Vậy 3max2P= đạt được khi 1a b= =. Ví dụ 12: Cho , ,x y z là số thực thỏa mãn2 2 22x y z+ + =.Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức 3 3 33P x y z xyz= + + −. Giải : Từ các đẳng thức 2 2 2 22[ ] [ ]x y z xy yz zx x y z+ + + + + = + + 3 3 3 2 2 23 [ ][ ]x y z xyz x y z x y z xy yz zx+ + − = + + + + − − −và điều kiện ta có: 2 2 2[ ][ ]P x y z x y z xy yz zx= + + + + − − − 2[ ] 2[ ] 22x y zx y z + + −= + + − Đặt 6 6t x y z t= + + ⇒ − ≤ ≤ Ta có: 2 32[2 ] 3 [ ]2 2t tP t t f t−= − = − + = Xét hàm số [ ]f t với 6 6t− ≤ ≤. Ta có: 23'[ ] [ 2] '[ ] 0 22f t t f t t= − + ⇒ = ⇔ = ± 6; 6 6; 6max [ ] [ 2] 2 2; min [ ] [ 2] 2 2f t f f t f − − ⇒ = = = − = − Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 109 Vậy max 2 2P= đạt được khi 2; 0x y z= = = min 2 2P= − đạt được khi 2; 0x y z= − = =. Ví dụ 13: Cho hai số , 0x y≠thay đổi thỏa mãn []2 2x y xy x y xy+ = + − Tìm GTLN của biểu thức : 3 31 1Ax y= + [ Đại học Khối A – 2006 ]. Giải: Cách 1 : Đặt: []2 2 2, 3u x y v xy x y xy x y xy uv u v= + = ⇒ + = + − ⇔ = − [ ] [ ]223 do 33uu v u v uu⇔ + = ⇔ = ≠ −+. Vậy [ ][]223 3 3 23 3 3 3 2331 1 3 3u u vx y u uv u uAux y v v vxy− + − += + = = = = = Vì 22 24 4 14 1 0 3 3 3u uu v uu u u−≥ ⇒ ≥ ⇔ ≤ ⇔ ≥+ + +[ở đây ta lưu ý0u≠] 1 3u u⇔ ≥ ∨ < − 30uu+⇒>. Xét hàm [ ] [ ]23 3' 0uf u f uuu+ −=⇒= < Lập bảng biến thiên, ta thấy [ ] [1] 4f u f≤ =16A⇒ ≤. Đẳng thức xảy ra 12x y⇔ = =. Vậy GTLN của 16A=. Cách 2 : Đặt 1 1;a bx y= =. Khi đó giả thiết của bài toán trở thành 2 2 21[ ] 0 44a b a b ab a b a b+ = + − ≥ + ⇔ ≤ + ≤ Và 3 3 2 2 2[ ][ ] [ ] 16A a b a b a b ab a b= + = + + − = + ≤ Đẳng thức xảy ra 122a b x y⇔ = = ⇔ = =. Ví dụ 14 : Cho hai số thực ,x y thay đổi và thỏa mãn hệ thức 2 21x y+ =. Tìm GTLN, GTNN cảu biểu thức: 222[ 6 ]1 2 2x xyPxy y+=+ + [Đại học Khối B – 2008]. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 110 Giải: Cách 1 : Ta có: 2 22 2 22[ 6 ] 2[ 6 ]1 2 2 2 3x xy x xyPxy y x xy y+ += =+ + + + * Nếu 0 1y P=⇒=. Nếu 0y≠thì đặt : [ ]2 2 2 22 2 2 2 22[ 6 ] 2[ 6 ]22 3 2 3t y ty t tx ty P f tt y ty y t t+ +=⇒= = =+ + + + Xét hàm số [ ]f t, ta có : [ ][][ ]21 2224 6 18 3' , ' 0 3,22 3t tf t f t t tt t− + += = ⇔ = = −+ +, []lim 1tf t→±∞= Lập bảng biến thiên ta được: GTLN 3P= và GTNN 6P= −. Cách 2 : 2 22 2 22[ 6 ] 2 121 2 2 2 3x xy x xyPxy y x xy y+ += =+ + + + 2 22 2 2 22 12 [ 3 ]3 3 02 3 2 3x xy x yPx xy y x xy y+ − −⇒− = − = ≤+ + + + 3P⇒≤. Đẳng thức xảy ra 2 2332112xx yx yy= ±= ⇔ ⇔ + = = ±. 2 22 2 2 22 12 2[2 3 ]6 6 02 3 2 3x xy x yPx xy y x xy y+ ++ = + = ≥+ + + + 6P⇒≥ −. Đẳng thức xảy ra 2 2331322113xx yx yy== − ⇔ ⇔ + == ±∓. Vậy max 3; min 6P P= = −. Tuy nhiên cách làm cái khó là chúng ta làm sao biết cách đánh giá 3P− và 6P+ ? Ví dụ 15: Cho bốn số nguyên , , ,a b c d thay đổi thỏa: 1 50a b c d≤ < < < ≤ Tìm GTNN của biểu thức a cPb d= + [Dự bị Đại học - 2002]. Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 111 Giải: Vì 1 50a b c d≤ < < < ≤ và , , ,a b c d là các số nguyên nên 1c b≥ + Suy ra :[ ]1 150a c bf bb d b++ ≥ + =. Dẽ thấy 2 48b≤ ≤ nên ta xét hàm số : [ ]1 1, [2; 48]50xf x xx+= + ∈ Ta có[ ] [ ]21 1' ' 0 5 250f x f x xx= − +⇒= ⇔ =. Lập bảng biến thiên ta được [][][2;48]min 5 2f x f= Do 7 và 8 là hai số nguyên gần 5 2 nhất vì vậy: [ ] [ ] [ ]{ }[2;48]53 61 53min min 7 ; 8 min ;175 200 175f b f f = = = . Vậy GTNN 53175P=. Ví dụ 16: Cho , ,a b c là 3 số thực dương và thỏa mãn 2 2 21.a b c+ + =Chứng minh rằng : 2 2 2 2 2 23 3.2a b cb c a c a b+ + ≥+ + + Giải : Để không mất tính tổng quát , giả sử 0a b c< ≤ ≤ và thỏa mãn hệ thức 2 2 21.a b c+ + =Do đó 103a b c< ≤ ≤ ≤. 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1a b c a b cb c a c a b a b c+ + = + ++ + + − − − [ ] [ ] [ ]2 2 22 2 21 1 1a b ca a b b c c= + +− − − Xét hàm số : []2[ ] 1f x x x= − liên tục trên nửa khoảng 10;3 . Ta có : [ ]21'[ ] 3 1 0, 0;3f x x x f x = − + > ∈⇒ liên tục và đồng biến trên nửa khoảng 10;3 . Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 112 Và [ ]20 01 2 2lim [ ] lim 1 0, 0 [ ]3 3 3 3 3x xf x x x f f x+ +→ → = − = =⇒< ≤ hay [ ]220 13 3x x< − ≤. Hay [ ]2221 2 3 3 1, 0;2113 3 3xx xxx x ≥ ⇔ ≥ ∀ ∈−− . Suy ra [ ]222 2 2 22 2 2 2223 3213 3 3 32 21 1 1 13 321aaab a b cb a b cb a b cccc≥−≥⇒+ + ≥ + +− − − −≥−. Vậy 2 2 2 2 2 23 3.2a b cb c a c a b+ + ≥+ + + Xảy ra khi 13a b c= = =. Chú ý : Để không mất tính tổng quát , giả sử 0a b c< ≤ ≤ và thỏa mãn hệ thức 2 2 21.a b c+ + = Ta có thể suy ra 0 1a b c< ≤ ≤ = ⇔ ⇔ =− = [ ]1 2 24 10c>0:g [ ]3 9 32 2c g⇒ ∀ ≤ = + = Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 115 103P⇒ ≤. Dấu "=" xảy ra khi 12212 2abc=== Vậy giá trị lớn nhất của P là 103. Ví dụ 19 : Cho tam giác ABC không tù. Tìm GTLN của biểu thức: cos 2 2 2[cos cos ]P A B C= + + [Đại học Khối A – 2004 ] . Giải: Ta có 2 290 cos 2 2 cos 1 2 cos 1 1 4 sin2AA A A A≤ ⇒ = − ≤ − = − Đẳng thức có 2cos cosA A⇔ = [1]. cos cos 2 sin . cos 2 sin2 2 2C B C CB C−+ = ≤ Đẳng thức xảy ra cos 12B C−⇔ = [2]. Đặt 2sin 02 2At t= ⇒ < ≤. Ta có: 24 4 2 1 [ ]P t t f t≤ − + + = Xét hàm số 2[ ], 0;2f t t ∈ , có 2'[ ] 8 4 2 '[ ] 02f t t f t t= − + ⇒ = ⇔ = Lập bảng biến thiên ta có: 2[ ] 3 32f t f P ≤ = ⇒ ≤ . Đẳng thức xảy ra 200cos cos90cos 12452sin2 2A AAB CB CA==− ⇔ = ⇔ = = =. Vậy max 3P=. Ví dụ 20: Cho tam giác ABC có A B C> >. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : sin sin1.sin sinx A x BMx C x C− −= + −− − Giải : Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 116 Biểu thức xác định khi []];sin sin ;D C A= −∞ +∞∪ . [ ] [ ]2 2sin sin sin 1 sin sin sin' . . 0,sin 2 sinsin sinx C A C x C B CM x D Mx A x Bx C x C− − − −= + > ∀ ∈ ⇒− −− − liên tục và đồng biến trên mỗi khoảng [];sinC−∞ ,]sin ;A+∞ Do đó [ ]sin sinmin sin 1sin sinA BM M AA C−= = −− Ví dụ 21: Cho một tam giác đều ABCcạnh a. Người ta dựng một hình chữ nhật MNPQcó cạnh MNnằm trên cạnh BC, hai đỉnh Pvà Qtheo thứ tự nằm trên hai cạnh ACvà ABcủa tam giác . Xác định vị trí điểm Msao cho hình chữ nhật có diện tích lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó. Giải : Đặt , 0 2 22aBM x x NM BC BM a x= < < ⇒ = − = − Trong tam giác vuông BMQcó tan .tan 3QMQBM QM BM QBM xBM= ⇒ = = Diện tích hình chữ nhật MNPQ là [][]. 2 3S x MN QM a x x= = − Bài toán quy về : Tìm giá trị lớn nhất của [ ] [ ]2 3, 0;2aS x a x x x = − ∈ [ ] [ ]' 4 3 3, 0; ' 02 4a aS x x a x S x x = − + ∈ = ⇔ = Bảng biến thiên của []S x trên khoảng 0;2a x 0 4a 2a []'S x + 0 − []S x 238a 0 0 Vậy diện tích hình chữ nhật lớn nhất là 238a khi 4ax=