Không gian nghiệm là gì

Trong toán học, số chiều của một không gian vectơ V là số lượng (tức là số vectơ) trong một hệ cơ sở của V trên trường cơ sở của nó.[1][2] Nó đôi khi cũng được gọi là số chiều Hamel (theo tên nhà toán học Georg Hamel) hay số chiều đại số để phân biệt nó với các khái niệm chiều khác.

Đối với mọi không gian vectơ đều tồn tại một cơ sở,[a] và mọi cơ sở của một không gian vectơ đều có lực lượng bằng nhau; vì vậy số chiều của một không gian vectơ được xác định duy nhất. Ta nói V là hữu hạn chiều nếu số chiều của V là hữu hạn, và vô hạn chiều nếu số chiều của nó là vô hạn.

Số chiều của một không gian vectơ V trên một trường F có thể được viết dưới dạng dimF(V) hay [V: F], và đọc là "số chiều của V trên trường F". Khi F có thể suy được từ ngữ cảnh, ta thường viết ngắn gọn là dim(V).

Không gian vectơ R3 có

{ ( 1 0 0 ) , ( 0 1 0 ) , ( 0 0 1 ) } {\displaystyle \left\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\right\}}  

là một cơ sở chính tắc, vì thế ta có dimR(R3) = 3. Một cách tổng quát hơn, dimR(Rn) = n, và tổng quát hơn nữa, dimF(Fn) = n đối với trường bất kỳ F.

Tập số phức C có thể là một không gian vectơ thực hay phức, vì thế ta có dimR(C) = 2 và dimC(C) = 1. Vì vậy số chiều phụ thuộc vào trường cơ sở.

Không gian vectơ duy nhất có số chiều 0 là {0}, tức là không gian vectơ chỉ gồm phần tử không của nó.

Nếu W là một không gian con của V thì dim(W) ≤ dim(V).

Để chứng tỏ hai không gian vectơ hữu hạn chiều là bằng nhau, ta thường sử dụng tiêu chí sau đây: nếu V là một không gian vectơ hữu hạn chiều và W là một không gian con của V với dim(W) = dim(V), thì W = V.

Rn có cơ sở chính tắc {e1,..., en}, trong đó ei là cột thứ i của ma trận đơn vị cỡ n. Vì thế Rn có số chiều n.

Hai không gian vectơ bất kỳ trên trường F có số chiều bằng nhau thì đẳng cấu. Mọi song ánh giữa các cơ sở của chúng có thể được mở rộng thành một song ánh tuyến tính giữa hai không gian vectơ.

Một kết quả quan trọng về số chiều được cho bởi định lý về hạng và số vô hiệu cho các ánh xạ tuyến tính.

• Chiều fractal
• Chiều Krull
• Hạng của matroid
• Hạng (đại số tuyến tính)
• Chiều tô pô, còn gọi là chiều phủ Lebesgue

1. ^ nếu thừa nhận tiên đề chọn

1. ^ Axler (2015) p. 44, §2.36
2. ^ Itzkov, Mikhail (2009). Tensor Algebra and Tensor Analysis for Engineers: With Applications to Continuum Mechanics. Springer. tr. 4. ISBN 978-3-540-93906-1.

• Axler, Sheldon (2015). Linear Algebra Done Right. Undergraduate Texts in Mathematics (ấn bản 3). Springer. ISBN 978-3-319-11079-0.

• Bài giảng Đại số tuyến tính của MIT về Độc lập tuyến tính, Cơ sở và Chiều của Gilbert Strang tại MIT OpenCourseWare

Bài viết về chủ đề toán học này vẫn còn sơ khai. Bạn có thể giúp Wikipedia mở rộng nội dung để bài được hoàn chỉnh hơn. x t s

Lấy từ “https://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Chiều_(không_gian_vectơ)&oldid=68407124”

Hệ sinh, cơ sở, số chiều và hạng của một hệ vectơ

________________________________________________

1. Hệ sinh:

1.1 Định nghĩa: Cho S là một tập con của không gian vectơ V. Ta gọi tập hợp các tổ hợp tuyến tính của các phần tử của S là bao tuyến tính của S và ký hiệu là E(S). S được gọi là hệ sinh của V nếu E(S) = V. Ta gọi S là hệ sinh tối tiểu nếu nó không chứa tập con thực sự cũng là hệ sinh.

Không gian vectơ có một hệ sinh hữu hạn được gọi là không gian hữu hạn sinh hay không gian hữu hạn chiều.

Do đó, nếu cho

S là hệ sinh của V khi và chỉ khi:

.

Nếu S là hệ sinh của V thì ta ký hiệu

.

1.2 Ví dụ:

1. Nếu

thì .

2. Đối với không gian vectơ

, hệ vectơ gồm các vectơ là một cơ sở của không gian vectơ .

3. Tập các đơn thức

là một hệ sinh của không gian các đa thức K[t].

4. Nếu S là hệ sinh của V, thì mọi tập chứa nó đều là hệ sinh của V. Nói riêng V là hệ sinh của V.

1.3 Nhận xét:

Để chứng minh S là một hệ sinh của V ta chứng minh mọi tập con hữu hạn

là hệ sinh của V. Khi đó, ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau:

Phương pháp 1:

Chứng minh với mọi vector v thuộc V thì có các số

thuộc trường K sao cho

.

Trong không gian vector

với điều này tương đương với hệ phương trình:

luôn có nghiệm với trong đó .

Phương pháp 2:

Nếu biết trước 1 hệ sinh

của V thì cần chứng tỏ mỗi vector biểu diễn được qua các vector với i = 1, …, m.

Ví dụ: Chứng minh rằng hệ 4 vector là hệ sinh của không gian vector .

Giải:

Xét hệ phương trình

Hệ này có nghiệm vì hạng của ma trận hệ số bằng với hạng của ma trận hệ số mở rộng và nghiệm của hệ phương trình là:

1.4 Định lý: E(S) là không gian con của V và là không gian con nhỏ nhất của V chứa tập S.

1.5 Định lý: S là hệ sinh tối tiểu của E(S) khi và chỉ khi S là hệ độc lập tuyến tính.

2. Cơ sở, số chiều và hạng của hệ vectơ:

2.1 Định nghĩa: Ta gọi hệ vectơ là cơ sở của V nếu S là hệ sinh tối tiểu của V. Nói cách khác S là cơ sở của V nếu và chỉ nếu S là hệ sinh của V và S là hệ vectơ độc lập tuyến tính.

Nếu tập được sắp thứ tự

là cơ sở của V và thì bộ các số được gọi là tọa độ của u theo S nếu .

Ví dụ:

Trong

xét cơ sở chính tắc gồm 4 vector sau đây:

khi đó vector được biểu thị tuyến tính qua các vector như sau:

. Suy ra tọa độ của vector u đối với cơ sở trên là u = (1, 2, 3, 4).

Mặt khác, trong

xét cơ sở gồm các vector sau:

thì khi đó vector

được biểu thị tuyến tính qua các vector trên như sau:

. Khi đó, tọa độ của u đối với cơ sở này là u = (-2, -1, 3, 3).

2.2 Định lý: Nếu V là không gian hữu hạn sinh thì số vectơ trong mọi cơ sở của V là như nhau. Số này gọi là số chiều của V. Ký hiệu là dimV.

2.3 Ví dụ:

- Các vectơ

lập thành một cơ sở của không gian vectơ . Ta gọi đây là cơ sở chính tắc (cơ sở tự nhiên) của , vậy . Một vectơ có tọa độ với hệ là . Tuy nhiên, tọa độ của x theo hệ lại là

- Các ma trận

lập thành một cơ sở của không gian các ma trận M(2;K). Một ma trận sẽ có tọa độ đối với hệ cơ sở này là (a, b, c, d).

- Trong không gian vectơ các ma trận

, ta có thể lập một hệ cơ sở bao gồm các ma trận trong đó các phần tử tương ứng ở dòng i và cột j với bằng 1 còn các phần tử còn lại của ma trận này đều bằng 0. Khi đó, .

-

là tập hợp các đa thức hệ số thực bậc nhỏ hơn hay bằng n với các phép toán thông thường là một không gian vectơ. Trong đó, hệ là một cơ sở của không gian vectơ này. Do đó, .

2.4 Định lý: Cho S là một hệ vectơ của không gian vectơ V. Khi đó, các điều kiện sau tương đương:

i) S là cơ sở của V;

ii) Mỗi vectơ của V có thể biểu diễn duy nhất qua các vectơ của hệ S;

iii) S là một hệ độc lập tuyến tính tối đại của V. Khi ta có dimV = n thì các điều kiện trên tương đương với: iv) S là một hệ sinh có đúng n phần tử;

v) S là một hệ độc lập tuyến tính có n phần tử;

vi) S có đúng n phần tử và ma trận các cột (dòng) là các vectơ tọa độ của các phần tử của S theo một cơ sở đã biết có định thức khác không.

2.5 Nhận xét:

Đối với không gian hữu hạn chiều (giả sử dim V = n ) thì để chứng minh một hệ vector gồm n vector là cơ sở của không gian V ta chỉ cần chứng minh hệ vector này là độc lập tuyến tính.

2.6 Hệ quả 1:

i) Bất kỳ hệ sinh nào của V cũng chứa một cơ sở của V.

ii) Bất kỳ hệ độc lập tuyến tính nào cũng có thể bổ sung các vectơ để trở thành cơ sở.

2.7 Hệ quả 2:

i) Không gian con của không gian hữu hạn chiều là không gian có số chiều hữu hạn.

ii) Không gian chứa một không gian vô hạn chiều là vô hạn chiều.

2.8 Định nghĩa: Cho một hệ hữu hạn vectơ trong không gian vectơ V. Số phần tử của một hệ con độc lập tuyến tính tối đại của là một hằng số (không phụ thuộc vào cách chọn hệ con, chỉ phụ thuộc vào bản chất của hệ ). Hằng số này được gọi là hạng của hệ vectơ . Ta ký hiệu hạng của hệ là .

2.9 Định lý: Gọi A là ma trận có các dòng (cột) là các tọa độ của các vectơ khi đó ta có

.

Nhận xét: Từ định lý trên muốn tìm hạng của một hệ vectơ ta có thể lập ma trận gồm có các dòng là tọa độ của các vectơ và tìm hạng của ma trận đó.

Ví dụ:

Xét hệ vector

. Khi đó,

= 4 với A là ma trận có các dòng là tọa độ của các vector trong cơ sở chính tắc của .



3. Không gian hữu hạn chiều:

3.1 Định nghĩa: Không gian vectơ V được gọi là không gian vectơ n chiều nếu cơ sở của V có n vectơ.

3.2 Tính chất:

Cho V là một không gian hữu hạn chiều, dimV = n. Khi đó:

1. 
   Mọi hệ vectơ có nhiều hơn n vectơ đều phụ thuộc tuyến tính.
   
2. 
   Mọi hệ có n vectơ độc lập tuyến tính đều là cơ sở của V.
   
3. 
   Mọi hệ có n vectơ là hệ sinh của V đều là cơ sở của V.
   
4. 
   Mọi hệ độc lập tuyến tính có k vectơ đều có thể bổ sung thêm n-k vectơ để lập thành một cơ sở của V.
   

Chú ý: Từ tính chất (b) và (c) ta suy ra, nếu biết dimV = n thì để chứng minh một hệ n vectơ là cơ sở thì ta cần chứng minh đó là hệ độc lập tuyến tính hoặc đó là hệ sinh.

Bài tập

3.2.trong các trường hợp sau đây, xét xem W có phải là không gian con của không gian vectơ R3

a) W =

b)W =

C)w =

Bài giải

1. 
   Với u = (1,2,3) u
   
   W , Ta có -3u = (-3,-6, -9)
   
   W( Vì -3≤ 0)
   

Do đó W không là không gian con của R3

b) ta có 0 = (0,0,0)

W ( vì 0 + 2.0 = 0 ). Suy ra W

với mọi u = ( x1,x2,x3)

W nghĩa là x1 + 2x2 = x3

và v = (y1, y2,y3 )

W nghĩa là y1 + 2y2 = y3

suy ra x3 + y3 = x1 +y1 + 2x2 + 2y2 = x1­ + y1 + 2(x2 + y2)

ta có u + v = (x1 + y1,x2 + y2,x3 + y3 ) = (x1 + y1,x2 + y2­, x1­ + y1 + 2(x2 + y2) )

vậy u + v

W (1)

mặt khác, ta lại có

với mọi

R u = (x1, x2, x3) = (x1, x2, (x1 + 2x2))

= (

x1, x2, x1 + 2x2)

vậy

u W (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra W≤ R

c) ta có 0 = (0,0,0)

W suy ra W

với mọi u = ( x1,x2,x3)

W nghĩa là u = (0,0,x3)

và v = (y1, y2,y3 )

W nghĩa là v = (0,0,y3 )

ta có u + v = (0,0,x3 + y­3)

vậy u + v

W(1)

mặt khác ta lại có với mọi

R u = (0,0, x3)

vậy

u W (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra W≤ R

3.7trong không gian R4 cho các tập

W1 = {( x1,x2,x3,x4)

R4 : x1 + x2 = x3,x1 - x2 + x3 = 2x4}

W2 = {( x1,x2,x3,x4)

R4 : x1 = x2 = x3}

W3 = {( x1,x2,x3,x4)

R4 : x1 = x2 = 0}

a)Chứng minh W1, W2, W3 là các không gian con của R4

b) tìm một cơ sở của W1, W2, W3

bài giải

a)

• 
  Xét W1. Ta có 0 =(0,0,0,0)
  W1 ( vì 0 + 0 = 0 và 0+0+0= 2.0)
  

Suy ra W1

Từ để bài ta có thể viết : x1 + x2 – x3 = 0 và x1 – x2 + x3 – 2x4 = 0

với mọi u = ( x1,x2,x3,x4)

W nghĩa là x1 + x2 –x3 = 0 và x1 –x2 + x3 -2x4 = 0

và v = (y1,y2,y3,y4)

W nghĩa là y1 + y2 –y3 = 0 và y1 – y2 + y3 -2y4 = 0

ta có u + v = ( x1+y1,x2+y2,x3+y3,x4+y4)

vì (x1+y1) + (x2+y2) – (x3+y3) = (x1 + x2 –x3) + (y1 + y2 –y3) = 0 + 0 = 0

và (x1+y1) – (x2+y2) + (x3+y3) -2(x4+y4) = (x1–x2+x3–2x4) + (y1-y2+y3-2y4)

= 0+0 = 0

Do đó u+v W (1)

Mặt khác với mọi

R u = (x1, x2, x3, x4)

Vì αx1 + αx2 – αx3 = α(x1 + x2 – x3 ) = α.0 = 0 và

αx1 – αx2 + αx3 -2αx4 = α(x1 – x2 +x3 -2x4) = α.0 = 0

do đó αu

W (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra W1≤ R

• 
  Xét W2 ta có
  
  
  

Với mọi nghĩa là x1 = x2 =x3 (1)

Và v =

nghĩa là y1 =y2 =y3 (2)

Ta có u + v = (x1+y­1,x2 +y2,x3+y3,x4+y4)

Từ (1) và (2) ta có x1+y1 = x2+y2 = x3+y3­

Do đó

(3)

Mặt khác với mọi

từ (1) ta có

Do đó

(4)

Từ (3) và (4) suy ra W2 ≤R

• 
  Xét W3 dễ thấy
  
  

Với mọi nghĩa là u = (0,0,x3, x4)

Và

nghĩa là v = (0,0,y3,y4)

Ta có u+v = (0,0, x3+y3,x4+y4)

Do đó

(1)

Mặt khác với mọi

Do đó

(2)

Từ (1) và (2) suy ra W3 ≤R

b)

• 
  Tìm một cơ sở của W1
  

Ta có x1 + x2 = x3 và x1 – x2 +x3 = 2x4 nên

(x1,x2,x3,x4) = ( x1,x2, x1+x2,

) = (x1,x2x1+x2,x1)

=(x1,0,x1,x1) + (0,x2,x2,0) = x1(1,0,1,1) + x2(0,1,1,0)

Vậy 2 vecto u = (1,0,1,1) và v = (01,1,0) là tập sinh của W1

Xét ma trận A =

r(A) =2 = Số dòng của A

Suy ra u và v độc lập tuyến tính

Vậy u và v là một cơ sở của W1

• 
  Tìm một cơ sở của W2
  

Ta có x1 = x2 = x3 nên

(x1,x2,x3,x4) = (x1,x1,x1,x4) = (x1,x1,x1,0) + (0,0,0,x4)

= x1(1,1,1,0) + x4(0,0,0,1)

Vậy 2 vectơ u = (1,1,1,0) và v = (0,0,0,1) là tập sinh của W2

Xét ma trận A =

r(A) =2 = Số dòng của A

Suy ra u và v độc lập tuyến tính

Vậy B =

là một cơ sở của W2

• 
  Tìm một cơ sở của W3
  

Ta có x1 = x2 = 0 nên

(x1,x2,x3,x4) = (0,0,x3,x4) = (0,0,x3,0) + (0,0,0,x4)

= x3(0,0,1,0) + x4(0,0,0,1)

Vậy 2 vectơ u = (0,0,1,0) và v =(0,0,0,1) là tập sinh của W3

Xét ma trận A =

r(A) = 2 = số dòng của A

Suy ra u và v độc lập tuyến tính

Vậy B =

là một cơ sở của W3

3.10

a) chứng minh B là cơ sở của R3

Lập A =

Ta có detA = 1 Suy ra B độc lập tuyến tính, mặt khác số vectơ của B bằng 3 = dimR3 nên B là cơ sở của R3

Chứng minh E là cơ sở của R3

Lập A =

Ta có detA = -3 suy ra E độc lập tuyến tính, mặt khác số vectơ của E bằng 3 = dimR3 Nên E là cơ sở của R3

b)

• 
  tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang E
  

Lâp ma trận mở rộng

(v1T,v2T,v3T│u1T,u2T,u3T) →

→

Vậy P(B→E) =

• 
  Cho u = (1,2,3) tìm
  
  
  

Lập ma trận mở rộng (v1T,v2T,v3T│uT) →

Vậy

Lập ma trân mở rộng (u1T,u2T,u3T│uT) =

Vậy

b)

• 
  Tìm P(E→ B)
  

Ta có P(E → B) = =

• 
  Cho
  
  tìm v
  

Ta có suy ra v = 3v1 + 2v2 – v3 = 3(1,0,1) + 2(1,2,2) – (0,-1,-1)

= (5,5,8)

• 
  Tìm
  
  
  

Lập ma trận mở rộng

(u1T,u2T,u3T│vT ) =

Vậy

Tài liệu tham khảo

• 
  Bài giảng môn học đại số A1 – Lê Văn Luyện – Đại học Khoa Học Tự Nhiên thành phố Hồ Chí Minh
  
• 
  Bài tâp toán cao cấp - tập 1 – Nguyển Thuỷ Thanh – nhà xuất bản Đại học Quốc Gia Hà Nội
  
• 
  Chuơng 4: không gian vectơ - http://linearalgebra1.wikispaces.com/file/view/Chuong+4-Khong+gian+vector.doc
  
• 
  Bài giảng toán cao cấp A2 – C2 – Đại Học Công Nghiệp Thực Phẩm Thành Phố Hồ Chí Minh
  

Каталог: file -> downloadfile2 -> 200
200 -> Tin họC Ứng dụng trong cnshmt mục tiêu
downloadfile2 -> Đề tài: Chính Sách ngoại Giao giai đoạn 1954-1964 Chính sách ngoại giao trong giai đoạn 1954 1964 Mở bài
downloadfile2 -> Đánh giá tiềm năng thực hiện sản xuất sạch hơn tại cơ sở chế biến gỗ Huyện Lê
downloadfile2 -> Tình bạn vĩ đại và xúc động của Các Mác và Ph.Ăng ghen TÌnh bạn vĩ ĐẠi và CẢM ĐỘng của các mác và ph.ĂNg ghen
downloadfile2 -> Gvhd: Ts Huỳnh Trọng Dương
downloadfile2 -> TrưỜng đẠi học nông lâm thành phố
downloadfile2 -> 1. Nguồn gốc hình thành tư tưởng Hồ Chí Minh
downloadfile2 -> Báo cáO ĐỀ TÀi táC ĐỘng của môi trưỜNG
downloadfile2 -> ĐỀ TÀi tiểu luận môn kinh tế HỌc mac lê nin
200 -> []

tải về 466.5 Kb.

Chia sẻ với bạn bè của bạn: