Mệnh de Có ít nhất một số tự nhiên khác 0 mô tả mệnh de nào dưới đây
Đối với các định nghĩa khác, xem Mệnh đề. Show
Mục lục
Trong logic toán, một phân ngành logic, cơ sở của mọi ngành toán học, mệnh đề, hay gọi đầy đủ là mệnh đề logic là một khái niệm nguyên thủy, không định nghĩa. Thuộc tính cơ bản của một mệnh đề là giá trị chân lý của nó, được quy định như sau: Mỗi mệnh đề có đúng một trong hai giá trị chân lý 0 hoặc 1. Mệnh đề có giá trị chân lý 1 là mệnh đề đúng, mệnh đề có giá trị chân lý 0 là mệnh đề sai.Ký hiệu:
Chẳng hạn, để ký hiệu a là mệnh đề "Paris là thủ đô của nước Pháp" ta sẽ viết:
Ở đây, a là mệnh đề đúng nên G(a) = 1. Chú ý: 1. Trong thực tế có những mệnh đề mà tính đúng sai của nó luôn gắn với một thời gian và địa điểm cụ thể: đúng ở thời gian hoặc địa điểm này nhưng sai ở thời gian hoặc địa điểm khác. Nhưng ở bất kì thời điểm nào, địa điểm nào cũng luôn có giá trị chân lý đúng hoặc sai. Chẳng hạn:
Mệnh đề và câuSửa đổiMệnh đề có thể là một câu nhưng không phải mọi câu đều là mệnh đề. Có thể chia các câu trong khoa học cũng như trong cuộc sống ra làm hai loại: loại thứ nhất gồm những câu phản ánh tính đúng hoặc sai một thực tế khách quan và loại thứ hai gồm những câu không phản ánh tính đúng hoặc sai một thực tế khách quan nào. Những câu thuộc loại thứ nhất là chính những mệnh đề. Vì vậy có thể nói: "Mệnh đề là một câu khẳng định có tính chất hoặc đúng hoặc sai". Ví dụ:
Nhận xét: nói chung những câu nghi vấn, câu cảm thán, câu mệnh lệnh đều không phải là mệnh đề. Mệnh đề logic và mệnh đề mờSửa đổiNếu như trong logic toán, một mệnh đề chỉ có thể nhận một trong hai giá trị chân lý 0 hoặc 1 thì trong Trí tuệ nhân tạo người ta dùng logic mờ, mà ở đó giá trị chân lý của một mệnh đề là một số nằm giữa 0 và 1. Mệnh đề có giá trị chân lý 0 là sai, có giá trị chân lý 1 là đúng. Còn giá trị chân lý nằm giữa 0 và 1 chỉ ra mức độ thay đổi của chân lý. Các phép toán logic cơ bảnSửa đổiTrong toán học, khi có hai số, người ta dùng các phép toán số học (cộng, trừ, nhân, chia,...) tác động vào chúng để nhận được những số mới. Tương tự, khi có mệnh đề, người ta dùng các phép logic tác động vào chúng để nhận được những mệnh đề mới. Dưới đây ta trình bày định nghĩa và các tính chất cơ bản của các phép toán này. Phép phủ địnhSửa đổiPhủ định của mệnh đề a là một mệnh đề, ký hiệu là a ¯ {\displaystyle {\overline {a}}} , đúng khi a sai và sai khi a đúng.
Ví dụ 1: Nếu a = "Paris là thủ đô của nước Pháp" thì mệnh đề phủ định a ¯ {\displaystyle {\overline {a}}} có thể diễn đạt như sau:
Ở đây G(a) = 1 còn G( a ¯ {\displaystyle {\overline {a}}} ) = 0. Ví dụ 2: Nếu b = "15 lớn hơn 30" thì mệnh đề phủ định b ¯ {\displaystyle {\overline {b}}} có thể diễn đạt như sau:
Ở đây G(b) = 0 còn G( b ¯ {\displaystyle {\overline {b}}} ) = 1. Ví dụ 3: Nếu c = "Chuyến tàu TN1 hôm nay bãi bỏ" thì mệnh đề phủ định c ¯ {\displaystyle {\overline {c}}} có thể diễn đạt như sau: c ¯ {\displaystyle {\overline {c}}} = "Chuyến tàu TN1 hôm nay không bãi bỏ".Nếu qua xác minh mệnh đề c đúng (hoặc sai) thì mệnh đề phủ định c ¯ {\displaystyle {\overline {c}}} sẽ sai (hoặc đúng). Chú ý: Mệnh đề phủ định a thường được diễn đạt là "không phải a". Phép hội (Tương Đương Hàm Min)Sửa đổiHội của hai mệnh đề a, b là một mệnh đề, đọc là a và b, ký hiệu a Λ b (hoặc a.b), đúng khi cả hai mệnh đề a, b cùng đúng và sai trong các trường hợp còn lại.
Chú ý: Để thiết lập mệnh đề hội của hai mệnh đề a, b ta ghép hai mệnh đề đó bởi liên từ "và" hay một liên từ khác cùng loại. Những liên từ đó là: mà, nhưng, song, đồng thời, vẫn, cùng,... hoặc dùng dấu phẩy hoặc không dùng liên từ gì. Ví dụ 1: "Lúc 8 giờ sáng nay Hà có mặt ở Hà Nội và thành phố Hồ Chí Minh" là hội của hai mệnh đề a = "Lúc 8 giờ sáng nay Hà có mặt ở Hà Nội" và b = "Lúc 8 giờ sáng nay Hà có mặt ở thành phố Hồ Chí Minh". Vì hai mệnh đề này không thể cùng đúng, nên G(a Λ b) = 0. Ví dụ 2: "Thành phố Hồ Chí Minh là thành phố lớn nhất trong cả nước nhưng không phải là thủ đô" là hội của hai mệnh đề a = "Thành phố Hồ Chí Minh là thành phố lớn nhất trong cả nước" và b = "Thành phố Hồ Chí Minh không phải là thủ đô". Rõ ràng là G(a) = 1 và G(b) = 1 nên G(a Λ b) = 1. Ví dụ 3:
Chú ý: Đôi khi trong mệnh đề có liên từ "và" nhưng không có nghĩa của mệnh đề hội. Chẳng hạn:
Phép tuyển (Tương Đương Hàm Max)Sửa đổiTuyển của hai mệnh đề a, b là một mệnh đề đọc là a hoặc b, ký hiệu là a ν b (hoặc a+b), sai khi cả hai mệnh đề cùng sai và đúng trong trường hợp còn lại.
Phép tuyển trên còn được gọi là phép tuyển không loại trừ. Phép tuyển loại trừ của hai mệnh đề a và b, chỉ đúng khi hoặc a, hoặc b đúng. Chú ý: Để thiết lập mệnh đề tuyển của hai mệnh đề a, b ta ghép hai mệnh đề đó bởi liên từ "hoặc" (hay liên từ khác cùng loại). Ví dụ 1: "Tháng 12 có 31 ngày hoặc 2 + 2 = 4" là tuyển của hai mệnh đề a = "Tháng 12 có 31 ngày" và b = "2 + 2 = 4". Ở đây G(a ν b) = 1. Ví dụ 2:
Chú ý: Trong thực tế, liên từ "hoặc" thường được dùng với hai nghĩa "loại trừ" và "không loại trừ".
Chẳng hạn:
Phép kéo theoSửa đổia kéo theo b là một mệnh đề, ký hiệu là a → {\displaystyle \rightarrow } b, chỉ sai khi a đúng và b sai và đúng trong các trường hợp còn lại.
Chú ý: Mệnh đề a kéo theo b thường được diễn đạt dưới nhiều hình thức khác nhau, chẳng hạn: "Nếu a thì b""Có b khi có a" "Từ a suy ra b" "a là điều kiện đủ để có b" "b là điều kiện cần (ắt có) để có a" .............. Ví dụ:
Chú ý: 1. Trong logic, khi xét giá trị chân lý của mệnh đề a ⇒ {\displaystyle \Rightarrow } b người ta không quan tâm đến mối quan hệ về nội dung của hai mệnh đề a, b. Không phân biệt trường hợp a có phải là nguyên nhân để có b hay không, mà chỉ quan tâm đến tính đúng, sai của chúng. Ví dụ:
Mấy đời dì ghẻ có thương con chồng" hoặc"Chuồn chuồn bay thấp thì mưa, Bay cao thì nắng bay vừa thì râm". Phép tương đươngSửa đổiBài chi tiết: Tương đương logic a tương đương b là một mệnh đề, ký hiệu là a ⇔ {\displaystyle \Leftrightarrow } b, nếu cả hai mệnh đề a và b cùng đúng hoặc cùng sai.
Chú ý: 1. Trong thực tế, mệnh đề "a tương đương b" thường được diễn đạt dưới nhiều hình thức khác nhau. Chẳng hạn:"a khi và chỉ khi b""a nếu và chỉ nếu b" "a và b là hai mệnh đề tương đương" "a là điều kiều kiện cần và đủ để có b" 2. Hai mệnh đề a, b tương đương với nhau hoàn toàn không có nghĩa là nội dung của chúng như nhau, mà nó chỉ nói lên rằng chúng có cùng giá trị chân lý (cùng đúng hoặc cùng sai). Ví dụ:
==Sự tương đương logic Công thứcSửa đổiTrong phần trên ta đã xét năm phép toán trên các mệnh đề. Như vậy, nếu có các mệnh đề a, b, c,... khi dùng các phép toán logic tác động vào, chúng ta sẽ nhận được những mệnh đề ngày càng phức tạp hơn. Mỗi mệnh đề như thế và cả những mệnh đề xuất phát ta gọi là công thức. Hay nói cách khác: a) Mỗi mệnh đề gọi là một công thức. b) Nếu P, Q là những công thức thì P ¯ {\displaystyle {\overline {P}}} , P Λ Q, P ν Q, P ⇒ {\displaystyle \Rightarrow } Q, P ⇔ {\displaystyle \Leftrightarrow } Q cũng đều là công thức. c) Mọi dãy ký hiệu khác không xác định theo quy tắc a), b) đều không phải là công thức.Mỗi công thức được tạo thành từ những mệnh đề dưới tác dụng của các phép toán logic. Như vậy ta gán cho mỗi mệnh đề có mặt trong công thức P một giá trị chân lý, dùng bảng chân lý của các phép logic ta khẳng định được công thức P là mệnh đề đúng hoặc sai. Nếu P là mệnh đề đúng (hoặc sai) thì ta nói công thức P có giá trị chân lý bằng 1 (hoặc 0). Ví dụ:
Sự tương đương logicSửa đổiCho P và Q là hai công thức. Ta nói rằng hai công thức P, Q tương đương logic với nhau, ký hiệu là P ≡ Q, nếu với mọi hệ chân lý gán cho các mệnh đề có mặt trong hai công thức đó thì chúng luôn nhận giá trị chân lý như nhau. Đặc biệt, hai mệnh đề a, b gọi là tương đương logic, ký hiệu là a ≡ b, nếu chúng cùng đúng hoặc cùng sai. Chú ý: 1. Ký hiệu a ≡ b là để chỉ hai mệnh đề tương đương logic chứ không phải là hai mệnh đề bằng nhau. 2. Hai mệnh đề tương đương logic có thể về nội dung chúng hoàn toàn không có liên quan. Chẳng hạn: "Tháng 2 có 31 ngày ≡ 2 + 2 = 11". 3. Quan hệ P ≡ Q còn được gọi là một đẳng thức.Đẳng thứcSửa đổiDưới đây là một số đẳng thức thường gặp trong logic mệnh đề: Phủ định của phủ địnhSửa đổi(1) a ¯ ¯ {\displaystyle {\overline {\overline {a}}}} ≡ a.Luật De MorganSửa đổi(2) a ∧ b ¯ {\displaystyle {\overline {a\land b}}} ≡ a ¯ ∨ b ¯ {\displaystyle {\overline {a}}\vee {\overline {b}}} (3) a ∨ b ¯ {\displaystyle {\overline {a\vee b}}} ≡ a ¯ ∧ b ¯ {\displaystyle {\overline {a}}\land {\overline {b}}}Tính chất kết hợp của các phép logicSửa đổi(4) (a Λ b) Λ c ≡ a Λ (b Λ c) (5) (a ν b) ν c ≡ a ν (b ν c)Tính chất giao hoán của các phép logicSửa đổi(6) a Λ b ≡ b Λ a (7) a ν b ≡ b ν a (8) a ↔ {\displaystyle \leftrightarrow } b ≡ b ↔ {\displaystyle \leftrightarrow } aTính chất phân phốiSửa đổi(9) a Λ (b ν c) ≡ (a Λ b) ν (a Λ c) (10) a ν (b Λ c) ≡ (a ν b) Λ (a ν c)Tính lũy đẳngSửa đổi(11) a Λ a ≡ a (12) a ν a ≡ aBiểu diễn phép kéo theo qua các phép logic khácSửa đổi(13) a → b {\displaystyle a\rightarrow b} ≡ a ¯ ∨ b {\displaystyle {\overline {a}}\vee b} (14) a → b {\displaystyle a\rightarrow b} ≡ a ∧ b ¯ ¯ {\displaystyle {\overline {a\land {\overline {b}}}}} (15) a → b {\displaystyle a\rightarrow b} ≡ b ¯ → a ¯ {\displaystyle {\overline {b}}\rightarrow {\overline {a}}} (luật phản đảo)Biểu diễn tương đương qua các phép logic khácSửa đổi(16) a ↔ b {\displaystyle a\leftrightarrow b} ≡ ( a → b ) ∧ ( b → a ) {\displaystyle (a\rightarrow b)\land (b\rightarrow a)} (17) a ↔ b {\displaystyle a\leftrightarrow b} ≡ a ¯ ↔ b ¯ {\displaystyle {\overline {a}}\leftrightarrow {\overline {b}}}Các đẳng thức về 0 và 1Sửa đổiNgười ta còn dùng ký hiệu 1 (hoặc 0) để chỉ một mệnh đề luôn luôn đúng (hoặc luôn luôn sai). Ta có các đẳng thức sau về 0 và 1: (18) a Λ 0 ≡ 0 (19) a ν 0 ≡ a (20) a Λ 1 ≡ a (21) a ν 1 ≡ 1 (22) a ν a ¯ {\displaystyle {\overline {a}}} ≡ 1 (luật bài trung) (23) a Λ a ¯ {\displaystyle {\overline {a}}} ≡ 0 (luật mâu thuẫn)Chứng minh đẳng thứcSửa đổiĐể chứng minh một đẳng thức trong logic mệnh đề ta thường dùng phương pháp lập bảng giá trị chân lý. Ví dụ 1: Chứng minh: a ∧ b ¯ {\displaystyle {\overline {a\land b}}} ≡ a ¯ ∨ b ¯ {\displaystyle {\overline {a}}\vee {\overline {b}}}
Nhìn cột 3 và 4 trong bảng trên ta thấy hai công thức a ∧ b ¯ {\displaystyle {\overline {a\land b}}} và a ¯ ∨ b ¯ {\displaystyle {\overline {a}}\vee {\overline {b}}} luôn nhận giá trị chân lý như nhau. Vậy ta có điều phải chứng minh. Ví dụ 2: Chứng minh: a → b {\displaystyle a\rightarrow b} ≡ b ¯ → a ¯ {\displaystyle {\overline {b}}\rightarrow {\overline {a}}}
Nhìn cột 3 và 4 trong bảng trên ta thấy hai công thức a → b {\displaystyle a\rightarrow b} và b ¯ → a ¯ {\displaystyle {\overline {b}}\rightarrow {\overline {a}}} luôn nhận giá trị chân lý như nhau. Vậy ta có điều phải chứng minh. Hàm mệnh đề. Các lượng từ tồn tại và tổng quátSửa đổiBài chi tiết: Logic bậc nhất Khái niệm về hàm mệnh đềSửa đổiTa xét các ví dụ sau: Ví dụ 1: "Số tự nhiên n chia hết cho 5". Về phương diện ngôn ngữ thì đây là một câu. Nhưng câu này chưa phản ánh tính đúng hoặc sai một thực tế khách quan nào, cho nên nó chưa phải là mệnh đề. Song nếu ta thay n bằng số tự nhiên cụ thể, chẳng hạn:
Ví dụ 2: "x + 3 > 7". Tương tự như trong ví dụ 1, x + 3 > 7 chưa phải là mệnh đề, song nếu ta thay x bởi một số thực cụ thể, chẳng hạn:
Ví dụ 3: "Ông A là nhà toán học vĩ đại". Câu trên chưa phải là mệnh đề. Nhưng nếu ta chọn "ông A" là "Gausơ" sẽ được mệnh đề đúng: "Gausơ là nhà toán học vĩ đại", nếu ta chọn "ông A" là "Đinh Bộ Lĩnh" thì sẽ được mệnh đề sai: "Đinh Bộ Lĩnh là nhà toán học vĩ đại". Từ các ví dụ trên ta đi đến định nghĩa sau: Những câu có chứa các biến mà bản thân nó chưa phải là mệnh đề nhưng khi ta thay các biến đó bởi các phần tử thuộc tập xác định X thì nó trở thành mệnh đề (đúng hoặc sai) ta sẽ gọi là hàm mệnh đề (hoặc vị từ, hàm phán đoán, mệnh đề không xác định, mệnh đề chứa biến). Tập X gọi là miền xác định của hàm mệnh đề đó. Ta dùng ký hiệu: T(n), F(x),... để chỉ các hàm mệnh đề. Chẳng hạn:
Mệnh đề tồn tạiSửa đổiCho T(x) là hàm mệnh đề xác định trên miền X. Nếu ta đặt thêm cụm từ "Tồn tại x ∈ X {\displaystyle x\in X} sao cho..." vào trước hàm mệnh đề T(x) ta được mệnh đề:
Ta gọi mệnh đề có cấu trúc như trên là mệnh đề tồn tại. Ký hiệu là: ∃ x ∈ X : T ( x ) {\displaystyle \exists x\in X:T(x)}hoặc ∃ x T ( x ) {\displaystyle \exists x\ T(x)}x ∈ X {\displaystyle x\in X} Ký hiệu ∃ {\displaystyle \exists } gọi là lượng từ tồn tại. Ví dụ:
Chú ý: 1. Trong thực tế, mệnh đề tồn tại còn được diễn đạt dưới những dạng khác nhau, chẳng hạn:
Mệnh đề tổng quátSửa đổiCho T(x) là hàm mệnh đề xác định trên miền X. Nếu ta đặt thêm cụm từ "Với mọi x ∈ X {\displaystyle x\in X} ta có..." vào trước hàm mệnh đề T(x) ta được mệnh đề:
Ta gọi mệnh đề có cấu trúc như trên là mệnh đề tổng quát (hoặc toàn thể, phổ biến, phổ cập,...). Ký hiệu là: ∀ x ∈ X , T ( x ) {\displaystyle \forall x\in X,\ T(x)}hoặc ( ∀ x ∈ X ) T ( x ) {\displaystyle (\forall x\in X)\ T(x)}hoặc ∀ x T ( x ) {\displaystyle \forall x\ T(x)}x ∈ X {\displaystyle x\in X} Ký hiệu ∀ {\displaystyle \forall } gọi là lượng từ tổng quát (hay toàn thể, phổ biến, phổ cập,...) Phủ định của mệnh đề tồn tại và tổng quátSửa đổiPhủ định các mệnh đề tồn tại và tổng quát được thiết lập theo hai quy tắc dưới đây: Như vậy, hai mệnh đề:
Ví dụ:
Ứng dụngSửa đổi. Giải bài toán bằng suy luận logicSửa đổiThông thường khi giải một bài toán dùng công cụ của logic mệnh đề ta tiến hành theo các bước sau: Bước 1: Phiên dịch đề bài từ ngôn ngữ đời thường sang ngôn ngữ của logic mệnh đề:
Ví dụ: Tại Tiger Cup 98 có bốn đội lọt vào vòng bán kết: Việt Nam, Singapore, Thái Lan và Indonesia. Trước khi thi đấu vòng bán kết, ba bạn Dụng, Quang, Trung dự đoán như sau: Dụng: Singapore nhì, còn Thái Lan ba. Quang: Việt Nam nhì, còn Thái Lan tư. Trung: Singapore nhất và Indonesia nhì.Kết quả, mỗi bạn dự đoán đúng một đội và sai một đội. Hỏi mỗi đội đã đạt giải mấy? Giải: Ký hiệu các mệnh đề:
Vì Dụng có một dự đoán đúng và một dự đoán sai, nên có hai khả năng:
Vậy Singapore nhất, Việt Nam nhì, Thái Lan ba còn Indonesia đạt giải tư. Giải bài toán trong kĩ thuậtSửa đổiMệnh đề logic còn được ứng dụng trong kĩ thuật lắp ráp các mạch điện và thiết bị trong nhà máy. Dưới đây là một ví dụ minh họa. Ví dụ: Giữa công tắc và dây may so của một chiếc Bàn là có rơle tự ngắt (để khi dây may so nóng đến nhiệt độ quy định cho phép thì rơle tự ngắt mạch điện cho Bàn là được an toàn). Hãy thiết lập nguyên tắc logic của quá trình hoạt động của chiếc Bàn là đó (thiết lập mối liên hệ giữa việc đóng, ngắt mạch của công tắc, rơle với nhiệt độ cho phép của dây may so). Giải: Ký hiệu các mệnh đề:
Mối liên hệ giữa trạng thái an toàn của Bàn là và giá trị chân lý của các mệnh đề c, r, t có thể biểu diễn bởi bảng sau:
Nhìn vào bảng trên ta thấy:
Các trạng thái còn lại: 2, 3, 6 và 7 đều đảm bảo an toàn. Các trạng thái đó được mô tả bằng các công thức logic sau:
Vậy Bàn là hoạt động an toàn khi và chỉ khi: ( c ∧ r ∧ t ¯ ) ∨ ( c ∧ r ¯ ∧ t ) ∨ ( c ¯ ∧ r ∧ t ¯ ) ∨ ( c ¯ ∧ r ¯ ∧ t ) {\displaystyle (c\land r\land {\overline {t}})\vee (c\land {\overline {r}}\land t)\vee ({\overline {c}}\land r\land {\overline {t}})\vee ({\overline {c}}\land {\overline {r}}\land t)} (1)Áp dụng các đẳng thức về luật phân phối, các đẳng thức về 0 và 1 cho trạng thái 2 với 6 và 3 với 7, ta có: ( c ∧ r ∧ t ¯ ) ∨ ( c ¯ ∧ r ∧ t ¯ ) ≡ ( c ∨ c ¯ ) ∧ ( r ∧ t ¯ ) ≡ r ∧ t ¯ {\displaystyle (c\land r\land {\overline {t}})\vee ({\overline {c}}\land r\land {\overline {t}})\equiv (c\vee {\overline {c}})\land (r\land {\overline {t}})\equiv r\land {\overline {t}}} (2) ( c ∧ r ¯ ∧ t ) ∨ ( c ¯ ∧ r ¯ ∧ t ) ≡ ( c ∨ c ¯ ) ∧ ( r ¯ ∧ t ) ≡ r ¯ ∧ t {\displaystyle (c\land {\overline {r}}\land t)\vee ({\overline {c}}\land {\overline {r}}\land t)\equiv (c\vee {\overline {c}})\land ({\overline {r}}\land t)\equiv {\overline {r}}\land t} (3)Dùng bảng chân lý ta nhận được: ( r ∧ t ¯ ) ∨ ( r ¯ ∧ t ) ≡ ( r ⇔ t ¯ ) ≡ ( r ¯ ⇔ t ) {\displaystyle (r\land {\overline {t}})\vee ({\overline {r}}\land t)\equiv (r\Leftrightarrow {\overline {t}})\equiv ({\overline {r}}\Leftrightarrow t)} (4)Từ (1), (2), (3) và (4) ta suy ra: Bàn là hoạt động an toàn khi và chỉ khi ( r ⇔ t ¯ ) ≡ ( r ¯ ⇔ t ) {\displaystyle (r\Leftrightarrow {\overline {t}})\equiv ({\overline {r}}\Leftrightarrow t)} Quy trình trên ta có thể phát biểu thành lời như sau: để Bàn là hoạt động an toàn phải đảm bảo nguyên tắc: "Công tắc rơle đóng mạch khi và chỉ khi nhiệt độ dây may so chưa tới hạn cho phép" hay "nhiệt độ dây may so tới hạn cho phép khi và chỉ khi công tắc rơle ngắt mạch điện". Xem thêmSửa đổi
Tham khảoSửa đổi
Liên kết ngoàiSửa đổi |