Một đa giác lồi có 20 cạnh thi có bao nhiêu đường chéo

" Một đa giác lồi n cạnh có bao nhiêu đường chéo? " hay " Tìm số đường chéo của đa giác lồi có n cạnh " là câu hỏi thườn...

"Một đa giác lồi n cạnh có bao nhiêu đường chéo?" hay "Tìm số đường chéo của đa giác lồi có n cạnh" là câu hỏi thường gặp trong các chương trình: đố vui để học, rung chuông vàng, đường lên đỉnh Olympia,... Đây là một bài toán đã gặp trong bài "phương pháp quy nạp toán học" và thường xuất hiện trong các câu hỏi trắc nghiệm bài "tổ hợp" thuộc chương trình toán lớp 11.

Đề bài

Một đa giác lồi $n$ cạnh có tất cả bao nhiêu đường chéo?

Lời giải

- Đa giác lồi $n$ cạnh thì có $n$ đỉnh. Cứ $2$ đỉnh cho ta một đoạn thẳng. Vì vậy tổng số đoạn thẳng là: $C^2_n$
- Trong số các đoạn thẳng đó thì có $n$ cạnh của đa giác, còn lại là đường chéo. Vậy số đường chéo của đa giác $n$ cạnh là:
$C^2_n−n=\frac{n!}{2!(n-2)!}-n=\frac{n(n−1)}{2}-n=\frac{n(n−3)}{2}$

Áp dụng

Câu hỏi ở phần Về đích của OLP.12/1/2020.

Áp dụng công thức trên cho $n=9$ ta được đáp số $27$ đường chéo.

Theo MathVn. Người đăng: Tố Uyên.

Trang Chủ Sách bài tập lớp 11 SBT Toán 11

Bài 2.9, 2.10, 2.11, 2.12 trang 67 SBT Đại số và giải tích 11: Một đa giác lồi 20 cạnh có bao nhiêu đường chéo ?

Bài 2 Hoán vị – chỉnh hợp – tổ hợp SBT Toán lớp 11. Giải bài 2.9, 2.10, 2.11, 2.12 trang 67. Câu 2.9: Cô giáo chia 4 quả táo, 3 quả cam và 2 quả chuối cho 9 cháu (mỗi cháu một quả). Hỏi có bao nhiêu cách chia khác nhau ?; Một đa giác lồi 20 cạnh có bao nhiêu đường chéo ?

Bài 2.9: Cô giáo chia 4 quả táo, 3 quả cam và 2 quả chuối cho 9 cháu (mỗi cháu một quả). Hỏi có bao nhiêu cách chia khác nhau ?

Đầu tiên coi các quả là khác nhau. Do vậy có 9! cách chia.

Nhưng các quả cùng loại (táo, cam, chuối) là giống nhau nên nếu các cháu có cùng loại quả đổi cho nhau thì vẫn chỉ là một cách chia. Vì vậy, số cách chia là:

$${{9!} \over {4!3!2!}} = 1260$$

Có thể giải theo các cách như sau:

Chọn 4 trong 9 cháu để phát táo. Có \(C_9^4\) cách.

Chọn 3 trong 5 cháu còn lại để phát cam. Có \(C_5^3\) cách.

Chuối sẽ phát cho 2 cháu còn lại.

Vậy có \(C_9^4.C_5^3 = 1260\) cách.

Advertisements (Quảng cáo)

Bài 2.10: Một đoàn đại biểu gồm 4 học sinh được chọn từ một tổ gồm 5 nam và 4 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho trong đó có ít nhất một nam và ít nhất một nữ ?

Kí hiệu X là tập hợp các đoàn đại biểu.A, B lần lượt là tập các đoàn đại biểu gồm toàn nam và toàn nữ.

Theo bài ra ta cần tìm:

\(n\left[ {X\backslash \left( {A \cup B} \right)} \right] = n\left( X \right) – n\left( {A \cup B} \right)\)

\(= n\left( X \right) – n\left( A \right) – n\left( B \right)\)

Ta có: \(n\left( X \right) = C_9^4,{\rm{ }}n\left( A \right) = C_5^4,{\rm{ }}n\left( B \right) = C_4^4\)

Vậy \(n\left[ {X\backslash \left( {A \cup B} \right)} \right] = C_9^4 – C_5^4 – C_4^4 = 120\)

Bài 2.11: Từ tập hợp gồm 10 điểm nằm trên một đường tròn :

a)      Vẽ được bao nhiêu tam giác ?

b)      Vẽ được bao nhiêu đa giác ?

a)      Cứ ba điểm vẽ được 1 tam giác.Vì vậy có thể vẽ được \(C_{10}^3 = 120\) tam giác.

b)      Số đa giác vẽ được là tổng cộng của số tam giác, tứ giác, ngũ giác, …, thập giác.

Do đó vẽ được \(C_{10}^3 + C_{10}^4 + C_{10}^5 + C_{10}^6 + C_{10}^7 + C_{10}^8 + C_{10}^9 + C_{10}^{10} = 968\) đa giác.

Câu trả lời được xác thực chứa thông tin chính xác và đáng tin cậy, được xác nhận hoặc trả lời bởi các chuyên gia, giáo viên hàng đầu của chúng tôi.

Đáp án: $170$ nhé

Lời giải: Hai đỉnh bất kì của đa giác thì tạo thành một đoạn thẳng suy ra có $C^2_{20}=190$ (đoạn) thẳng như thế.