Là kiến thức nằm trong chuyên đề phương trình tọa độ trong không gian và thường xuyên xuất hiện trong đề thi tốt nghiệp THPT môn Toán các năm gần đây, Phương trình đường thẳng là phần kiến thức được rất nhiều thầy cô tập trung ôn tập cho học sinh.
Để hiểu rõ hơn về cấu trúc đề thi, các bạn có thể tham khảo: Cấu trúc đề thi tốt nghiệp THPT môn Toán
Chính vì vậy, luyenthidgnl xin chia sẻ các kiến thức cơ bản và cần nhớ về phần này để các bạn có thể dễ dàng trong viết phương trình đường thẳng hay viết phương trình tham số của đường thẳng,… Hãy cùng tìm hiểu!
Lý thuyết về phương trình đường thẳng
1. Vecto chỉ phương của đường thẳng
Ta có vector u được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ nếu vectơ u ≠ vectơ 0 và giá của vectơ u song song hoặc trùng với ∆. Từ lý thuyết trên ta có thể thấy được một đường thẳng sẽ có vô số vectơ chỉ phương trong mặt phẳng không gian.
2. Phương trình tham số của đường thẳng
Đường thẳng ∆ đi qua điểm M0[x0, y0] và có vectơ chỉ phương u = [a; b]
Vậy ta có phương trình tham số của đường thẳng ∆ đã cho có dạng:
Nhận xét: Nếu đường thẳng ∆ có Vectơ chính phụ = [a; b]
thì có hệ số góc được tính theo công thức:
k = b/a
3. Véctơ pháp tuyến của đường thẳng:
Ta có vector n được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ nếu vectơ n ≠ vectơ 0 và giá của vectơ n vuông góc với đường thẳng ∆. Như vậy, tương tự như vectơ chỉ phương, một đường thẳng sẽ có vô số vectơ chỉ phương.
Mối quan hệ giữa vectơ pháp tuyến và vectơ chỉ phương:
4. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng trên trục tọa động
Đường thẳng ∆ đi qua điểm M0[x0, y0] và có Vectơ pháp tuyến n = [A; B]
=> phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ có dạng
A[x – x0] + B[y – y0] = 0 hay Ax + By + C = 0 với C = –Ax0 – By0
Đây là cách viết phương trình tổng quát của đường thằng khi các bạn làm bài tập của các dạng này.
Lưu ý:
+] Nếu đường thẳng ∆ có VTPT n = [A; B] thì có hệ số góc:
k = -a/b
+] Nếu A, B, C đều khác 0 thì ta có thể đưa phương trình tổng quát của đường thẳng về dạng:
Phương trình trên được gọi là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn, đường thẳng này cắt 2 trục tọa độ Ox và Oy lần lượt tại các điểm M[a0; 0] và N[0; b0].
Xét hai đường thẳng có phương trình tổng quát là
∆1: a1x + b1y + c1 = 0 và ∆2: a2x + b2y + c2 = 0
Tọa độ giao điểm của ∆1 và ∆2 là nghiệm của hệ phương trình:
+] Nếu hệ có một nghiệm duy nhất [x0; y0] thì đường thẳng ∆1 cắt ∆2 tại một điểm điểm M0[x0, y0].
+] Nếu hệ trên có vô số nghiệm nghĩa là ∆1 trùng với ∆2.
+] Nếu hệ vô nghiệm thì đường thẳng ∆1 và ∆2 không có điểm chung, hay ∆1 song song với ∆2
Cách 2. Xét tỉ số
Cho hai đường thẳng
∆1: a1x + b1y + c1 = 0 có VTPT n1 = [a1; b1];
∆2: a2x + b2y + c2 = 0 có VTPT n2 = [a2; b2];
Gọi α là góc tạo bởi giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2
Khi đó ta có:
Khoảng cách từ điểm M0[x0, y0] đến đường thẳng ∆: ax + by + c = 0 được tính theo công thức như sau:
Nhận xét: Cho hai đường thẳng ∆1: a1x + b1y + c1 = 0 và ∆2: a2x + b2y + c2 = 0 giao nhau. Ta tìm phương trình hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng trên là:
Một số bài viết các bạn có thể tham khảo thêm:
Phương trình tọa độ không gia lý thuyết và các dạng bài tập
Khối đa diện – Lý thuyết và các công thức cần nhớ
Số phức – Tổng hợp kiến thức cơ bản và các công thức số phức
10:11:2527/02/2019
Vì vậy, trong bài viết này chúng ta cùng hệ thống lại các dạng toán về phương trình đường thẳng trong mặt phẳng và giải các bài tập minh hoạ cho từng dạng toán để các em dễ dàng nắm bắt kiến thức tổng quát của đường thẳng.
• xem thêm: Các dạng toán về phương trình đường trònI. Tóm tắt lý thuyết phương trình đường thẳng
1. Vectơ pháp tuyến và phương trình tổng quát của đường thẳng
a] Vectơ pháp tuyến của đường thẳng
- Cho đường thẳng [d], vectơ
* Nhận xét: Nếu
b] Phương trình tổng quát của đường thẳng
* Định nghĩa
- Phương trình [d]: ax + by + c = 0, trong đó a và b không đồng thời bằng 0 tức là [a2 + b2 ≠ 0] là phương trình tổng quát của đường thẳng [d] nhận
* Các dạng đặc biệt của phương trình đường thẳng.
- [d]: ax + c = 0 [a ≠ 0]: [d] song song hoặc trùng với Oy
- [d]: by + c = 0 [b ≠ 0]: [d] song song hoặc trùng với Ox
- [d]: ax + by = 0 [a2 + b2 ≠ 0]: [d] đi qua gốc toạ độ.
- Phương trình dạng đoạn chắn: ax + by = 1 nên [d] đi qua A [a;0] B[0;b] [a,b ≠ 0]
- Phương trình đường thẳng có hệ số góc k: y= kx+m [k được gọi là hệ số góc của đường thẳng].
2. Vectơ chỉ phương và phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng
a] Vectơ chỉ phương của đường thẳng
- Cho đường thẳng [d], vectơ
* Nhận xét: Nếu
b] Phương trình tham số của đường thẳng:
* có dạng:
* Chú ý: - Khi thay mỗi t ∈ R vào PT tham số ta được 1 điểm M[x;y] ∈ [d].
- Nếu điểm M[x;y] ∈ [d] thì sẽ có một t sao cho x, y thoả mãn PT tham số.
- 1 đường thẳng sẽ có vô số phương trình tham số [vì ứng với mỗi t ∈ R ta có 1 phương trình tham số].
c] Phương trình chính tắc của đường thẳng
* có dạng:
d] Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm
- Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A[xA;yA] và B[xB;yB] có dạng:
+ Nếu:
+ Nếu: xA = xB: ⇒ AB: x = xA
+ Nếu: yA = yB: ⇒ AB: y = yA
e] Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng
- Cho điểm M[x0;y0] và đường thẳng Δ: ax + by + c = 0, khoảng cách từ M đến Δ được tính theo công thức sau:
3. Vị trí tương đối của 2 đường thẳng
- Cho 2 đường thẳng [d1]: a1x + b1y + c1 = 0; và [d2]: a2x + b2y + c =0;
+ d1 cắt d2 ⇔
+ d1 // d2 ⇔
+ d1 ⊥ d2 ⇔
* Lưu ý: nếu a2.b2.c2 ≠ 0 thì:
- Hai đường thẳng cắt nhau nếu:
- Hai đường thẳng // nhau nếu:
- Hai đường thẳng ⊥ nhau nếu:
II. Các dạng toán về phương trình đường thẳng
Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng khi biết vectơ pháp tuyến và 1 điểm thuộc đường thẳng
Ví dụ: Viết PT tổng quát của đường thẳng [d] biết [d]: đi qua điểm M[1;2] và có VTPT
* Lời giải: Vì [d] đi qua điểm M[1;2] và có VTPT
⇒ PT tổng quát của đường thẳng [d] là: 2[x-1] - 3[y-2] = 0 ⇔ 2x - 3y +4 = 0
Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng khi biết vectơ chỉ phương và 1 điểm thuộc đường thẳng
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng [d] biết rằng [d] đi qua điểm M[-1;2] và có VTCP
* Lời giải: Vì đường thẳng đi qua M [1 ;-2] và có vtcp là
⇒ phương trình tham số của đường thẳng là :
Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 1 đường thẳng
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng [d] biết rằng:
a] đi qua M[3;2] và //Δ:
b] đi qua M[3;2] và //Δ: 2x - y - 1 = 0
* Lời giải:
a] Đường thẳng Δ có VTCP
⇒ PT đường thẳng [d] là:
b] đường thẳng Δ: 2x – y – 1 = 0 có vtpt là
⇒ PT [d] đi qua điểm M[3;2] và có VTPT
Dạng 4: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với 1 đường thẳng
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng [d] biết rằng [d]:
a] đi qua M[-2;3] và ⊥ Δ: 2x - 5y + 3 = 0
b] đi qua M[4;-3] và ⊥ Δ:
* Lời giải:
a] Đường thẳng Δ: 2x - 5y + 3 = 0 nên Δ có VTPT là
vì [d] vuông góc với Δ nên [d] nhận VTPT của Δ làm VTCP ⇒
⇒ PT [d] đi qua M[-2;3] có VTCP
b] Đường thẳng Δ có VTCP
⇒ Vậy [d] đi qua M[4;-3] có VTPT
Dạng 5: Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm
- Đường thẳng đi qua 2 điểm A và B chính là đường thẳng đi qua A nhận nhận vectơ
Ví dụ: Viết PTĐT đi qua 2 điểm A[1;2] và B[3;4].
* Lời giải:
- Vì [d] đi qua 2 điểm A, B nên [d] có VTCP là:
⇒ Phương trình tham số của [d] là:
Dạng 6: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và có hệ số góc k cho trước
- [d] có dạng: y = k[x-x0] + y0
Ví dụ: Viết PTĐT [d] đi qua M[-1;2] và có hệ số góc k = 3;
* Lời giải:
- PTĐT [d] đi qua M[-1;2] và có hệ số góc k = 3 có dạng: y = k[x-x0] + y0
⇒ Vậy PTĐT [d] là: y = 3[x+1] + 2 ⇔ y = 3x + 5.
Dạng 7: Viết phương trình đường trung trực của một đoạn thẳng
- Trung trực của đoạn thẳng AB chính là đường thẳng đi qua trung điểm I của đoạn thẳng này và nhận vectơ
Ví dụ: Viết PTĐT [d] vuông góc với đường thẳng AB và đi qua trung tuyến của AB biết: A[3;-1] và B[5;3]
* Lời giải:
- [d] vuông góc với AB nên nhận
- [d] đi qua trung điểm I của AB, và I có toạ độ: xi = [xA+xB]/2 = [3+5]/2 = 4; yi = [yA+yB]/2 = [-1+3]/2 = 1; ⇒ toạ độ của I[4;1]
⇒ [d] đi qua I[4;1] có VTPT [2;4] có PTTQ là: 2[x-4] + 4[y-1] = 0 ⇔ 2x + 4y -12 = 0 ⇔ x + 2y - 6 = 0.
Dạng 8: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và tạo với Ox 1 góc ∝ cho trước
- [d] đi qua M[x0;y0] và tạo với Ox 1 góc ∝ [00