Tương quan từng phần chỉ có thể được xác định sau khi đưa ra khái niệm phân phối có điều kiện. Chúng tôi sẽ giới hạn bản thân trong các phân phối có điều kiện từ các phân phối bình thường đa biến
Nếu chúng ta có một vectơ ngẫu nhiên p × 1 \[\mathbf{Z}\], chúng ta có thể phân chia nó thành hai vectơ ngẫu nhiên \[\mathbf{X}_1\] và \[\mathbf{X}_2\] trong đó \[
\[\textbf{Z} = \left[\begin{array}{c} \textbf{X}_1 \\ \textbf{X}_2\end{array}\right]\]
Thuộc tính phân phối có điều kiện Phần
Hơn nữa, giả sử rằng chúng ta phân vùng vectơ trung bình và ma trận hiệp phương sai theo cách tương ứng. Đó là,
\[\boldsymbol{\mu} = \left[\begin{array}{c}\boldsymbol{\mu}_1 \\ \boldsymbol{\mu}_2\end{array}\right]\] và \[\
Ví dụ: \[\boldsymbol{\mu}_{1}\] cung cấp giá trị trung bình cho các biến trong vectơ \[\mathbf{X}_{1}\] và \[\Sigma _ { 11 }\ . Ma trận \[\Sigma _ { 12 }\] đưa ra hiệp phương sai giữa các biến trong vectơ \[\mathbf{X_{1}}\] và vectơ \[\mathbf{X_{2}}\] [cũng như ma trận \[
Bất kỳ phân phối nào cho một tập hợp con các biến từ một chuẩn đa biến, có điều kiện dựa trên các giá trị đã biết cho một tập hợp con các biến khác, là một phân phối chuẩn nhiều biến
Phân phối có điều kiện Phân phối có điều kiện của \[\mathbf{X}_{1}\] với các giá trị đã biết cho \[\mathbf{X}_2=\mathbf{x}_{2}\] là chuẩn tắc đa biến với. \begin{align} \text{vectơ trung bình} & = \mathbf{\mu_1 + \Sigma_{12}\Sigma_{22}^{-1}[x_2-\mu_2]}\\ \text{ma trận hiệp phương sai} &
Trường hợp hai biến Phần
Giả sử rằng chúng ta có p = 2 biến với phân phối chuẩn đa biến. Phân phối có điều kiện của \[X_{1}\] đã biết về \[x_{2}\] là phân phối chuẩn với
\begin{align} \text{Mean} & = \mu_1 + \frac{\sigma_{12}}{\sigma_{22}}[x_2-\mu_2] \\ \text{Phương sai} & = \sigma_{11
Ví dụ 6-1. Phân bố cân nặng theo chiều cao có điều kiện cho nam sinh viên Phần
Giả sử cân nặng [lbs] và chiều cao [inch] của nam sinh viên đại học có phân phối chuẩn nhiều biến với vectơ trung bình \[\mathbf{\mu} =
\left[ .
Phân phối có điều kiện của \[X_{1}\] cân nặng \[x_{2}\] = chiều cao là phân phối chuẩn với
\begin{align} \text{Mean} &= \mu_1 + \frac{\sigma_{12}}{\sigma_{22}}[x_2-\mu_2]\\[5pt] &= 175 + \frac{40
\begin{align} \text{Phương sai} and= \sigma{11}- \frac{\sigma^2 _{12}}{\sigma _{22}}\\ &= 550-\frac{40^2
Chẳng hạn, đối với nam giới có chiều cao = 70, trọng lượng có phân phối chuẩn với trung bình = -180 + 5[70] = 170 pound và phương sai = 350. [Vậy độ lệch chuẩn \[\sqrt{350} = 18. 71\] = bảng Anh]
Lưu ý rằng chúng tôi đã tạo một mô hình hồi quy tuyến tính đơn giản liên quan đến cân nặng với chiều cao
Phương tiện có điều kiện, phương sai và hiệp phương sai Phần
Cho đến nay, chúng tôi chỉ xem xét các phương tiện dân số vô điều kiện, phương sai, hiệp phương sai và tương quan. Các đại lượng này được xác định theo cài đặt trong đó các đối tượng được lấy mẫu từ toàn bộ dân số. Ví dụ, huyết áp và cholesterol có thể được đo từ một mẫu được chọn từ dân số của tất cả công dân trưởng thành của Hoa Kỳ
Để hiểu các mối tương quan một phần, trước tiên chúng ta phải xem xét các phương tiện, phương sai và hiệp phương sai có điều kiện. Những đại lượng này được xác định cho một số tập hợp con của dân số. Ví dụ, huyết áp và cholesterol có thể được đo từ mẫu của tất cả công dân 51 tuổi của Hoa Kỳ. Như vậy có thể coi huyết áp trung bình dân số của công dân 51 tuổi. Đại lượng này được gọi là huyết áp trung bình có điều kiện vì đối tượng là một công dân 51 tuổi
Có thể áp dụng nhiều điều kiện. Ví dụ: chúng ta có thể xem xét huyết áp trung bình của dân số của công dân 51 tuổi nặng 190 pound. Đại lượng này là huyết áp trung bình có điều kiện cho rằng đối tượng 51 tuổi và nặng 190 pound
trung bình có điều kiện
Đặt Y biểu thị một vectơ biến [e. g. , huyết áp, cholesterol, v.v. ] quan tâm và để X biểu thị một vectơ biến mà chúng tôi muốn điều kiện [e. g. , tuổi tác, cân nặng, v.v. ]. Sau đó, giá trị trung bình có điều kiện của Y cho rằng X bằng một giá trị cụ thể x [i. e. , X = x] được ký hiệu là
\[\mu_{\textbf{Y. x}} = E[\textbf{Y}. \textbf{X=x}]\]
Điều này được hiểu là giá trị trung bình dân số của vectơ Y được lấy mẫu từ quần thể con trong đó X = x
phương sai có điều kiện
Đặt Y biểu thị một biến quan tâm và đặt X biểu thị một vectơ các biến mà chúng ta muốn đặt điều kiện. Khi đó phương sai có điều kiện của Y với điều kiện X = x là
\[\sigma^2_{\textbf{Y. x}} = \text{var}[\mathbf{Y}. \textbf{X=x}] = E\{[\mathbf{Y}-\boldsymbol{\mu}_{\textbf{Y. x}}]^2. \textbf{X=x}\}\]
Bởi vì Y là ngẫu nhiên nên \[\left[ \mathbf{Y} - \boldsymbol{\mu}_{\textbf{Y. x}} \right] ^ { 2 }\] và do đó\[\left[ \mathbf{Y} - \boldsymbol{\mu}_{\textbf{Y. x}} \right] ^ { 2 }\] có giá trị trung bình có điều kiện. Điều này có thể được hiểu là phương sai của Y được lấy mẫu từ quần thể phụ nơi X = x
hiệp phương sai có điều kiện
Đặt \[Y_{i}\] và \[Y_{j}\] biểu thị hai biến quan tâm và đặt X biểu thị một vectơ các biến mà chúng ta muốn điều kiện. Sau đó, hiệp phương sai có điều kiện giữa \[Y_{i}\] và \[Y_{j}\] cho rằng X = x là
\[\sigma_{i,j. \textbf{x}} = \text{cov}[Y_i, Y_j. \textbf{X=x}] = E\{[Y_i-\mu_{Y_i. x}][Y_j-\mu_{Y_j. x}]. \textbf{X=x}\}\]
Bởi vì \[Y_{i}\] và \[Y_{j}\] là ngẫu nhiên nên \[\left[ Y_{ i } - \mu_{ Y_i. x } \right] \left[ Y_{ j } - \mu_{ Y_j. x } \right]\] và do đó \[\left[ Y_{ i } - \mu_{ Y_i. x } \right] \left[ Y_{ j } - \mu_{ Y_j. x } \right]\] có giá trị trung bình có điều kiện. Điều này có thể được hiểu là hiệp phương sai giữa \[Y_{i}\] và \[Y_{j}\] được cung cấp một mẫu từ quần thể con trong đó X = x
Giống như phương sai và hiệp phương sai vô điều kiện có thể được thu thập vào ma trận hiệp phương sai \[Σ\], các phương sai và hiệp phương sai có điều kiện có thể được thu thập vào ma trận phương sai hiệp phương sai có điều kiện
\[\mathbf{\Sigma_{Y. x}}= \text{var}\mathbf{[Y. X=x]} = \left[\begin{array}{cccc}\sigma^2_{Y_1\textbf{. X}} & \sigma_{12\textbf{. X}} & \dots & \sigma_{1p\textbf{. X}}\\ \sigma_{21\textbf{. X}} & \sigma^2_{Y_2 \textbf{. X}} & \dots & \sigma_{2p \textbf{. X}} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \sigma_{p1 \textbf{. X}} & \sigma_{p2 \textbf{. X}} & \dots & \sigma^2_{Y_p\textbf{. X}} \end{mảng}\right]\]
Phần tương quan một phần Section
Mối tương quan một phần giữa \[Y_{j}\] và \[Y_{k}\] cho X = x là
\[\rho_{jk\textbf{. X}} = \dfrac{\sigma_{jk\text{. X}}}{\sigma_{Y_j\textbf{. X}}\sigma_{Y_k \textbf{. X}}}\]
Ghi chú. Điều này được tính theo cách tương tự như tương quan vô điều kiện, thay thế phương sai và hiệp phương sai vô điều kiện bằng phương sai và hiệp phương sai có điều kiện. Điều này có thể được hiểu là mối tương quan giữa \[Y_{j}\] và \[Y_{k}\] được cung cấp một mẫu từ quần thể phụ trong đó X = x
Phần Phân phối chuẩn đa biến Section
Tiếp theo, chúng ta hãy quay lại phân phối chuẩn đa biến. Giả sử rằng chúng ta có một vectơ ngẫu nhiên Z được phân vùng thành các thành phần X và Y được nhận ra từ phân phối chuẩn đa biến với vectơ trung bình với các thành phần tương ứng \[\boldsymbol{\mu}_{X}\] và \[\boldsymbol{
\[\textbf{Z} = \left[\begin{array}{c}\textbf{X}\\ \textbf{Y} \end{array}\right] \sim N \left[\left[\begin
Ở đây, \[\mathbf{\Sigma_{X}}\] là ma trận hiệp phương sai cho vectơ ngẫu nhiên X. \[ \mathbf{\Sigma_Y}\]là ma trận phương sai-hiệp phương sai cho vectơ ngẫu nhiên Y. Và, \[\mathbf{\Sigma_{YX}}\] chứa hiệp phương sai giữa các phần tử của X và các phần tử tương ứng của Y
Sau đó, phân phối có điều kiện của Y với điều kiện X nhận một giá trị cụ thể x cũng sẽ là một chuẩn tắc đa biến với kỳ vọng có điều kiện như hình bên dưới
\[E[\textbf{Y}. \textbf{X=x}] = \mathbf{\mu_Y} + \mathbf{\Sigma_{YX}\Sigma^{-1}_X}[\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu}_X]\]
Lưu ý rằng giá trị này bằng giá trị trung bình của Y cộng với mức điều chỉnh. Sự điều chỉnh này liên quan đến hiệp phương sai giữa X và Y, nghịch đảo của ma trận hiệp phương sai của X và sự khác biệt giữa giá trị x và giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên X. Nếu x nhỏ bằng \[\boldsymbol{\mu}_{X}\], thì kỳ vọng có điều kiện của Y với điều kiện X đơn giản bằng giá trị trung bình thông thường của Y
Nói chung, nếu có hiệp phương sai dương giữa X và Y, thì giá trị của X lớn hơn \[\boldsymbol{\mu}_{X}\] sẽ dẫn đến sự điều chỉnh dương trong phép tính kỳ vọng có điều kiện này. Ngược lại, nếu X nhỏ hơn \[\boldsymbol{\mu}_{X}\], thì chúng ta sẽ có mức điều chỉnh âm
Ma trận phương sai- hiệp phương sai có điều kiện của Y với điều kiện X = x bằng với ma trận phương sai- hiệp phương sai của Y trừ đi số hạng liên quan đến hiệp phương sai giữa X và Y và ma trận phương sai- hiệp phương sai của X. Hiện tại, chúng ta sẽ gọi ma trận phương sai hiệp phương sai có điều kiện này là A như hình bên dưới
\[\text{var}[\textbf{Y. X=x}] = \mathbf{\Sigma_Y - \Sigma_{YX}\Sigma^{-1}_X\Sigma_{XY}} = \textbf{A}\]
Cuối cùng, chúng ta đã sẵn sàng để xác định mối tương quan từng phần giữa hai biến \[Y_{j}\] và \[Y_{k}\] với điều kiện là vectơ ngẫu nhiên X = x. Điều này được thể hiện trong biểu thức dưới đây
\[\rho_{jk\textbf{. x}} = \dfrac{a_{jk}}{\sqrt{a_{jj}a_{kk}}}\]
Về cơ bản, đây là cùng một công thức mà chúng ta sẽ có đối với mối tương quan thông thường, trong trường hợp này được tính bằng cách sử dụng ma trận phương sai-hiệp phương sai có điều kiện thay cho ma trận phương sai-hiệp phương sai thông thường
Các mối tương quan từng phần có thể được ước tính bằng cách thay thế trong các ma trận phương sai-hiệp phương sai mẫu cho các ma trận phương sai-hiệp phương sai dân số như trong biểu thức dưới đây
\[\widehat{\text{var}}[\textbf{Y. X=x}] = \mathbf{S_Y - S_{YX}S^{-1}_X S_{XY}}= \hat{\textbf{A}}\]
ở đâu
\[\mathbf{S} = \left[\begin{array}{cc} \mathbf{S_X} & \mathbf{S_{XY}}\\ \mathbf{S_{YX}} & \mathbf{S_Y}\
là ma trận phương sai-hiệp phương sai mẫu của dữ liệu
Sau đó, các yếu tố của ma trận hiệp phương sai có điều kiện ước tính có thể được sử dụng để có được mối tương quan từng phần như hình dưới đây
\[r_{jk\textbf{. x}} = \dfrac{\hat{a}_{jk}}{\sqrt{\hat{a}_{jj}\hat{a}_{kk}}}\]
Nếu chúng ta chỉ điều chỉnh trên một biến duy nhất, thì chúng ta có sẵn một biểu thức đơn giản hơn. Nếu chúng ta đang xem xét mối tương quan từng phần giữa các biến j và k, với điều kiện là biến \[i^{th}\] nhận giá trị nhỏ \[y_{i}\], phép tính này có thể thu được bằng cách sử dụng biểu thức . Mối tương quan một phần giữa \[Y_{j}\] và \[y_{k}\] đã cho \[Y_{i}\] = \[y_{i}\] được ước tính bởi