Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song
Cho hai đường thẳng [d] và [d] song song với nhau. Khoảng cách hai đường thẳng này bằng khoảng cách từ một điểm bất kì của đường thẳng này đến đường thẳng kia.
d[ d; d] = d[ A; d] trong đó A là một điểm thuộc đường thẳng d.
Để tính khoảng cách hai đường thẳng song song ta cần:
+ Đưa phương trình hai đường thẳng về dạng tổng quát.
+ Lấy một điểm A bất kì thuộc đường thẳng d.
+ Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d .
+ Kết luận: d[ d; d] = d[ A; d] .
Ví dụ 1: Khoảng cách giữa hai đường thẳng : 6x - 8y - 101 = 0 và d: 3x - 4y = 0 là:
A. 10, 1 B. 1,01 C. 12 D. 101 .
Hướng dẫn giải
+ Ta có:
Hai đường thẳng đã cho song song với nhau: d // .
+ Lấy điểm O[ 0;0] thuộc đường thẳng d.
+ Do hai đường thẳng d và song song với nhau nên
d[; d] = d [ O; ] =
Chọn A.
Ví dụ 2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d: 7x + y - 3 = 0 và : .
A. B. 15 C. 9 D.
Lời giải
+ Ta đưa đường thẳng về dạng tổng quát:
:
Phương trình : 7[ x + 2] + 1[ y - 2] = 0 hay 7x + y + 12 = 0
Ta có: nên d //
d[d;Δ] = d[A;d] =
Chọn A.
Ví dụ 3. Tập hợp các điểm cách đường thẳng : 3x - 4y + 2 = 0 một khoảng bằng 2 là hai đường thẳng có phương trình nào sau đây?
A. 3x - 4y + 8 = 0 hoặc 3x - 4y + 12 = 0. B. 3x - 4y - 8 = 0 hoặc 3x - 4y + 12 = 0.
C. 3x - 4y - 8 = 0 hoặc 3x - 4y - 12 = 0. D. 3x - 4y + 8 = 0 hoặc 3x - 4y - 12 = 0.
Lời giải
Gọi điểm M [x ; y] là điểm cách đường thẳng một khoảng bằng 2. Suy ra :
d[M[x; y]; Δ] = 2 = 2
|3x - 4y + 2| = 10
Vậy tập hợp các điểm cách một khoảng bằng 2 là hai đường thẳng :
3x - 4y + 12 = 0 và 3x - 4y - 8 = 0
Chọn B.
Ví dụ 4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: 5x + 3y - 3 = 0 và d2: 5x + 3y + 7 = 0 song song nhau. Đường thẳng d vừa song song và cách đều với d1; d2 là:
A. 5x + 3y - 2 = 0 B. 5x + 3y + 4 = 0 C. 5x + 3y + 2 = 0 D. 5x + 3y - 4 = 0
Lời giải
Lấy điểm M [ x; y] thuộc đường thẳng d. Suy ra:
d[M[x; y]; d1]=d[M[x; y]; d2]
Đường thẳng d: 5x + 3y + 2 song song với hai đường thẳng d1 và d2.
Vậy đường thẳng d thỏa mãn là: 5x + 3y + 2 = 0
Chọn C.
Ví dụ 5: Cho đường thẳng d: và đường thẳng : . Tính khoảng cách hai đường thẳng này.
A. 1 B. 0. C. 2 D. 3
Lời giải
+ Đường thẳng d:
Phương trình d: 3[x - 2] 2[y + 1] = 0 hay 3x - 2y - 8 = 0
+ Đường thẳng :
Phương trình : 3[x - 0] 2[y + 4] = 0 hay 3x - 2y - 8 = 0
hai đường thẳng này trùng nhau nên khoảng cách hai đường thẳng này là 0.
Chọn B.
Ví dụ 6: Cho hai đường thẳng d: x + y - 2 = 0 và đường thẳng : . Viết phương trình đường thẳng d// d sao cho khoảng cách hai đường thẳng d và là 2.
A. x + y - 1 = 0 B. x + y + 1= 0 C. x + y - 3 = 0 D. Cả B và C đúng.
Lời giải
+ Do đường thẳng d// d nên đường thẳng d có dạng [d] : x + y + c = 0[ c -2]
+ Đường thẳng :
Phương trình : 1[x + 2] + 1[y - 3] = 0 hay x + y - 1 = 0.
+ Lấy điểm M [ 1; 0] thuộc .
Để khoảng cách hai đường thẳng d và bằng 2 khi và chỉ khi:
d[ d; ] = d[ M; d] = 2
= 2 |1 + c| = 2
Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn là : x + y + 1 = 0 và x + y - 3 = 0
Chọn D.
Ví dụ 7: Cho tam giác ABC có B[ 1; -2] và C[ 0; 1]. Điểm A thuộc đường thẳng
d: 3x+ y= 0 .Tính diện tích tam giác ABC.
A. 1 B. 3 C. 0,5 D. 2
Lời giải
+ Phương trình đường thẳng BC:
Phương trình BC: 3[x - 1] + 1[y + 2] = 0 hay 3x + y - 1 = 0 .
+ ta có; BC = = 10
+ Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng d và BC:
Ta có: d // BC.
Mà điểm A thuộc d nên d[ A; BC] = d[ d; BC] . [1]
+ Ta tính khoảng cách hai đường thẳng d và BC.
Lấy điểm O[0; 0] thuộc d.
d[d; BC] = d[O;BC] = = [ 2]
Từ [ 1] và [ 2] suy ra d[ A; BC] = .
+ Diện tích tam giác ABC là S = d[ A,BC].BC = . .10 = 0, 5
Chọn C.
Câu 1: Cho hai đường thẳng d: x + y - 4 = 0 và đường thẳng : . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng này?
A. 1 B. 2 C. 2 D. Đáp án khác
Đáp án: C
Trả lời:
+Đường thẳng :
Phương trình đường thẳng : 1[ x - 1] + 1[ y - 1] = 0 hay x + y - 2 = 0.
+ Ta có: nên hai đường thẳng d//.
+ Lấy điểm A[ 1; 1] thuộc . Do d // nên :
d[d; ] = d[A; d] = = 2
Câu 2: Cho đường thẳng d: x - 2y + 2 = 0 . Phương trình các đường thẳng song song với d và cách d một đoạn bằng 5 là
A. x - 2y - 3 = 0; x - 2y + 7 = 0 B. x - 2y + 3 = 0 và x - 2y + 7 = 0
C. x - 2y - 3 = 0; x - 2y - 7 = 0 D. x - 2y + 3 = 0; x - 2y - 7 = 0 .
Đáp án: A
Trả lời:
+ Gọi là đường thẳng song song với d: x - 2y + 2 = 0
Đường thẳng có dạng: x - 2y + c = 0 [ c 2 ] .
+ Lấy một điểm A[ -2 ; 0] thuộc d.
d[ d ; ] = d[ A ; ] = 5
= 5 |c - 2| = 5 nên
+ Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn là x - 2y + 7 = 0 hoặc x - 2y - 3 = 0.
Câu 3: Cho đường thẳng d: 3x + 4y + 1 = 0. Có 2 đường thẳng d1 và d2 cùng song song với d và cách d một khoảng bằng 1. Hai đường thẳng đó có phương trình là:
A. 3x + 4y - 7 = 0; 3x - 4y + 3 = 0. B. 3x - 4y + 7 = 0; 3x - 4y - 3 = 0
C. 3x + 4y + 4 = 0; 3x + 4y + 3 = 0. D. 3x + 4y - 4 = 0; 3x + 4y + 6 = 0 .
Đáp án: D
Trả lời:
+ Do đường thẳng song song với d nên có dạng là : : 3x + 4y + c = 0 [ c 1] .
Lấy điểm M[-3 ; 2] thuộc d
Do d[d ; ] = d[ M ; ] =1 = 1
|c - 1| = 5
Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn là : 3x + 4y + 6 = 0 hoặc 3x + 4y - 4 = 0
Câu 4: Khoảng cách giữa 2 đường thẳng [a]: 7x + y - 3 = 0 và [b]: 7x + y + 12 = 0 là
A. B. 9. C. D. 15.
Đáp án: C
Trả lời:
Ta có : nên a // b
Lây điểm M [0 ; 3] thuộc[ a] .
Do a // b nên d[M ; b] = d[ a ; b] =
Câu 5: Cho đường thẳng d: 3x - 4y + 2 = 0. Có đường thẳng a và b cùng song song với d và cách d một khoảng bằng 1. Hai đường thẳng đó có phương trình là:
A. 3x + 4y - 1 = 0 ; 3x + 4y + 5 = 0 B. 3x - 4y + 7 = 0 ; 3x - 4y - 3 = 0
C. 3x + 4y - 3 = 0 ; 3x + 4y + 7 = 0 D. 3x - 4y + 6 = 0; 3x - 4y - 4 = 0
Đáp án: B
Trả lời:
Giả sử đường thẳng song song với d : 3x - 4y + 2 = 0
Khi đó ; có phương trình là : 3x - 4y + C = 0.
Lấy điểm M[ -2 ; -1] thuộc d.
Do d[d; ] = 1
Do đó hai đường thẳng thỏa mãn là : 3x - 4y + 7 = 0 và 3x - 4y - 3 = 0.
Câu 6: Cho đường thẳng d: 2x - 3y + 6 = 0 và đường thẳng : 4x - 6y + 20 = 0. Viết phương trình đường thẳng d // d sao cho khoảng cách hai đường thẳng d và là 13
A. 2x - 3y + 23 = 0 B. 2x - 3y - 3 = 0.
C. 2x - 3y 8 = 0 và 2x - 3y = 0 D. Cả A và B đúng
Đáp án: D
Trả lời:
+ Ta có đường thẳng d// d nên đường thẳng d có dạng : 2x - 3y + c = 0 [ c 6]
+ Xét vị trí của hai đường thẳng d và :
Hai đường thẳng d và song song với nhau .
Mà d // d nên d // .
+ Lấy điểm A[ -5; 0] thuộc .
+ Do d // nên d[ d; ] = d[ A; d] = 13
= 13
Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn là 2x - 3y + 23 = 0 và 2x - 3y - 3 = 0.
Câu 7: Cho tam giác ABC có B[ - 2; 1] và C[ 2; 0]. Điểm A thuộc đường thẳng
d: x+ 4y- 10= 0 .Tính diện tích tam giác ABC.
A. 1 B. 3 C. 0,5 D. 2
Đáp án: A
Trả lời:
+ Phương trình đường thẳng BC:
Phương trình BC: 1[ x + 2] + 4[ y - 1] = 0 hay x + 4y - 2 = 0 .
+ ta có; BC = = 17
+ Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng d và BC:
Ta có: d // BC.
Mà điểm A thuộc d nên d[ A; BC] = d[ d; BC] . [1]
+ Ta tính khoảng cách hai đường thẳng d và BC.
Lấy điểm H[ 10; 0] thuộc d.
d[d; BC] = d[H;BC] = = [ 2]
Từ [ 1] và [ 2] suy ra d[ A; BC] =
+ Diện tích tam giác ABC là S = d[ A,BC].BC = . .17= 1
Chuyên đề Toán 10: đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:
Giới thiệu kênh Youtube Tôi