Tìm giá trị lớn nhất của đạo hàm theo hướng

SỬ DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT.                                                               Quan tâm                    0                 Đưa vào sổ tay                                                                       Phương pháp :
Các bước thực hiện :
+ Tìm miền xác định của hàm số.
+ Tính đạo hàm và lập bảng biến thiên.
+ Từ bảng biến thiên, ta tính giá trị hàm số tại các đầu của miền xác định ; giá trị của hàm số tại các điểm đạo hàm triệt tiêu. So sánh các giá trị đó để tìm giá trị lớn nhất [GTLN], giá trị nhỏ nhất [GTNN].
Chú ý :
+ Có những bái toán có nhiều ẩn thì ta phải gom các ẩn đó về cùng một dạng rồi đặt ẩn phụ, tìm miền giá trị của ẩn phụ, sau đó mới xét hàm số theo biến số mới.
+ Để tồn tại GTLN, GTNN thì ta chỉ cần một hoặc vài giá trị của biến số [không nhất thiết phải tìm hết tất cả các giá trị của biến số].

Ví dụ $1.$ Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau :
a. $y=\left [ \sin x +\cos x \right ]^2+\displaystyle \frac{1}{ \sin^2 x \cos^2 x}$.
b. $y=\displaystyle \frac{ \sin^4 x+\cos^4 x}{ \sin^6 x +\cos^6 x}$.
Lời giải :
a.
$y=1+2\sin x \cos x +\displaystyle \frac{1}{ \sin^2 x \cos^2 x}=1+\sin 2x+\displaystyle \frac{4}{ \sin^2 2x}$
Đặt : $t=\sin 2x \Rightarrow \begin{cases}-1 \le t \le 1 \\ t \ne 0 \end{cases}$
$\Rightarrow y=1+t+\frac{4}{t^2}; y'=1-\frac{8}{t^3}=\frac{t^3-8}{t^3}$
$y'=0 \Leftrightarrow t^3-8=0 \Leftrightarrow t=2$
Bảng biến thiên :
\begin{array}{c|ccccccc}
t & -1 & \quad & \quad & 0 & \; & \quad & 1\\
\hline
y^\prime & \quad & + & \quad &  & \; & - &\quad \\
\hline
\quad & \quad & \quad & +\infty &  & +\infty \\
f[x] & \quad & \nearrow & \quad & & \quad & \searrow & \quad \\
\quad & 4& \quad & \quad && \quad & \quad & 6&
\end{array}
Từ bảng biến thiên ta suy ra $\min y = 4$ đạt được $\Leftrightarrow t=-1\Leftrightarrow \sin 2x = -1\Leftrightarrow x = -\frac{\pi}{4}+ k\pi [k \in \mathbb{Z}]$ .
Hàm số không đạt giá trị lớn nhất.
Vậy GTNN của hàm số là $\min y =4$ khi $x = -\frac{\pi}{4}+ k\pi [k \in \mathbb{Z}]$ .
b.
Sử dụng các đẳng thức cơ bản :
$\sin^4x+\cos^4 x=1- \frac{1}{2}\sin^2 2x$
$\sin^6x+\cos^6 x=1- \frac{3}{4}\sin^2 2x$
Viết lại hàm số đã cho dưới dạng :
$y= \displaystyle \frac{1- \frac{1}{2}\sin^2 2x}{1- \frac{3}{4}\sin^2 2x}=2.\frac{2- \sin^2 2x}{4-3\sin^2 2x}$
Đặt : $t=\sin^2 2x$ với $0 \le t \le 1$
Xét hàm số : $f[t]=2.\frac{2-t}{4-3t}$ với $0 \le t \le 1$
Ta có : $f'[t]=2.\frac{2}{[4-3t]^2}>0$ với $0 \le t \le 1$
Tức là $f[t]$ là hàm tăng trên $[0, 1]$.
Suy ra :
$\min y = \min f[t]=f[0]=1$ đạt được khi $t=0\Rightarrow x=\frac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}$
$\max y = \max f[t]=f[1]=2$ đạt được khi $t=1\Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{m\pi}{2}, m \in \mathbb{Z}$

Ví dụ $2.$ Cho ba số dương $x, y, z$ thỏa mãn $x+y+z \le \frac{3}{2}$
Tìm GTNN của : $P=x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$
Lời giải :
Từ giả thiết : $\frac{3}{2} \ge x+y+z \underbrace{\ge}_{\text{BĐT Cô-si}} 3\sqrt[3]{xyz} \Rightarrow 0 0$ và $\cos [A-B] \le 1$.
Suy ra $\left [1+ \sin^2 A \right ]\left [1+ \sin^2 B  \right ] \le \frac{1}{4}[3+\cos C]^2$
$\Leftrightarrow \left [1+ \sin^2 A \right ]\left [1+ \sin^2 B  \right ]\left [1+ \sin^2 C \right ] \le \frac{1}{4}[3+\cos C]^2\left [2- \cos^2 C \right ]$
Đặt $t=\cos C$ với $0