Toán 8 bài 2 tính chất cơ bản sbt năm 2024

Dùng tính chất cơ bản của phân thức, hãy điền một đa thức thích hợp vào các chỗ trống trong mỗi đẳng thức sau:

1. \[{{x – {x^2}} \over {5{x^2} – 5}} = {x \over {…}}\]

1. \[{{{x^2} + 8} \over {2x – 1}} = {{3{x^3} + 24x} \over {…}}\]

1. \[{{…} \over {x – y}} = {{3{x^2} – 3xy} \over {3{{\left[ {y – x} \right]}^2}}}\]

1. \[{{ – {x^2} + 2xy – {y^2}} \over {x + y}} = {{…} \over {{y^2} – {x^2}}}\]

Giải:

1. Từ tử thức hai vế chứng tỏ tử thức vế trái đã chia cho 1 – x nên mẫu thức phải chia cho 1 – x mà \[5{x^2} – 5 = 5\left[ {x – 1} \right]\left[ {x + 1} \right] = – 5\left[ {1 – x} \right]\left[ {x + 1} \right]\]

Vậy đa thức cần điền vào chỗ trống là \[ – 5\left[ {x + 1} \right]\]

Ta có : \[{{x – {x^2}} \over {5{x^2} – 5}} = {x \over { – 5\left[ {x + 1} \right]}}{e^{i\theta }}\]

1. \[{{{x^2} + 8} \over {2x – 1}} = {{3{x^3} + 24x} \over {…}}\] \[ \Rightarrow {{{x^2} + 8} \over {2x – 1}} = {{3x\left[ {{x^2} + 8} \right]} \over {…}}\]

Từ tử thức hai vế chứng tỏ tử thức vế trái được nhân với 3x nên mẫu thức cũng nhân với 3x. Vậy đa thức cần điền vào chỗ trống là

\[3x\left[ {2x – 1} \right] = 6{x^2} – 3x\]

Ta có: \[{{{x^2} + 8} \over {2x – 1}} = {{3{x^3} + 24x} \over {6{x^2} – 3x}}\]

1. \[{{…} \over {x – y}} = {{3{x^2} – 3xy} \over {3{{\left[ {y – x} \right]}^2}}}\] \[ \Rightarrow {{…} \over {x – y}} = {{3{x^2} – 3xy} \over {3{{\left[ {x – y} \right]}^2}}}\]

Từ mẫu thức hai vế chứng tỏ mẫu thức vế trái được nhân với \[3\left[ {x – y} \right]\] nên tử cũng được nhân với \[3\left[ {x – y} \right]\] mà \[3{x^2} – 3xy = 3x\left[ {x – y} \right]\]

Vậy đa thức cần điển vào chỗ trống là \[x\]

Ta có: \[{x \over {x – y}} = {{3{x^2} – 3xy} \over {3{{\left[ {y – x} \right]}^2}}}\]

1. \[{{ – {x^2} + 2xy – {y^2}} \over {x + y}} = {{…} \over {{y^2} – {x^2}}}\] \[ \Rightarrow {{ – {x^2} + 2xy – {y^2}} \over {x + y}} = {{…} \over {\left[ {y – x} \right]\left[ {x + y} \right]}}\]

Từ mẫu thức hai vế chứng tỏ mẫu thức vế trái nhân thêm y – x nên tử phải nhân với y – x, đa thức cần điền \[\left[ { – {x^2} + 2xy – {y^2}} \right]\left[ {y – x} \right]\]

\[ = – {x^2}y + {x^3} + 2x{y^2} – 2{x^2}y – {y^3} + x{y^2} = {x^3} – 3{x^2}y + 3x{y^2} – {y^3} = {\left[ {x – y} \right]^3}\]

Ta có: \[{{ – {x^2} + 2xy – {y^2}} \over {x + y}} = {{{{\left[ {x – y} \right]}^3}} \over {{y^2} – {x^2}}}\]

Câu 5 trang 25 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1

Biến đổi mỗi phân thức sau thành một phân thức bằng nó và có tử thức là đa thức A cho trước :

1. \[{{4x + 3} \over {{x^2} – 5}},A = 12{x^2} + 9x\]

1. \[{{8{x^2} – 8x + 2} \over {\left[ {4x – 2} \right]\left[ {15 – x} \right]}},A = 1 – 2x\]

Giải:

1. A \[ = 12{x^2} + 9x = 3x\left[ {4x + 3} \right]\]

\[ \Rightarrow {{4x + 3} \over {{x^2} – 5}} = {{\left[ {4x + 3} \right].3x} \over {\left[ {{x^2} – 5} \right].3x}} = {{12{x^2} + 9x} \over {3{x^3} – 15x}}\]

1. \[A = 1 – 2x \Rightarrow 8{x^2} – 8x + 2:1 – 2x = 2 – 4x\]

\[{{8{x^2} – 8x + 2} \over {\left[ {4x – 2} \right]\left[ {15 – x} \right]}} = {{\left[ {8{x^2} – 8x + 2} \right]:\left[ {2 – 4x} \right]} \over {\left[ {4x – 2} \right]\left[ {15 – x} \right]:\left[ {2 – 4x} \right]}} = {{1 – 2x} \over {x – 15}}\]

Câu 6 trang 25 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1

Dùng tính chất cơ bản của phân thức để biến đổi mỗi cặp phân thức sau thành một cặp phân thức bằng nó và có cùng tử thức :

1. \[{3 \over {x + 2}}\]và \[{{x – 1} \over 5}\]

1. \[{{x + 5} \over {4x}}\]và \[{{{x^2} – 25} \over {2x + 3}}\]

Giải:

1. \[{3 \over {x + 2}} = {{3\left[ {x – 1} \right]} \over {\left[ {x + 2} \right]\left[ {x – 1} \right]}} = {{3x – 3} \over {{x^2} + x – 2}}\]

\[{{x – 1} \over {5x}} = {{3\left[ {x – 1} \right]} \over {5x.3}} = {{3x – 3} \over {15x}}\]

1. \[{{x + 5} \over {4x}}\]\[ = {{\left[ {x + 5} \right]\left[ {x – 5} \right]} \over {4x\left[ {x – 5} \right]}} = {{{x^2} – 25} \over {4{x^2} – 20x}}\] và \[{{{x^2} – 25} \over {2x + 3}}\]

Câu 7 trang 25 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1

Dùng tính chất cơ bản của phân thức hoặc quy tắc đổi dấu để biến mỗi cặp phân thức sau thành một cặp phân thức bằng nó và có cùng mẫu thức :

1. \[{{3x} \over {x – 5}}\]và \[{{7x + 2} \over {5 – x}}\]

1. \[{{4x} \over {x + 1}}\]và \[{{3x} \over {x – 1}}\]

1. \[{2 \over {{x^2} + 8x + 16}}\]và \[{{x – 4} \over {2x + 8}}\]

1. \[{{2x} \over {\left[ {x + 1} \right]\left[ {x – 3} \right]}}\]và \[{{x + 3} \over {\left[ {x + 1} \right]\left[ {x – 2} \right]}}\]

Giải:

1. \[{{3x} \over {x – 5}} = {{ – \left[ {3x} \right]} \over { – \left[ {x – 5} \right]}} = {{ – 3x} \over {5 – x}}\]và \[{{7x + 2} \over {5 – x}}\]

1. \[{{4x} \over {x + 1}} = {{4x\left[ {x – 1} \right]} \over {\left[ {x + 1} \right]\left[ {x – 1} \right]}} = {{4{x^2} – 4x} \over {{x^2} – 1}}\]

\[{{3x} \over {x – 1}}\] \[= {{3x\left[ {x + 1} \right]} \over {\left[ {x – 1} \right]\left[ {x + 1} \right]}} = {{3{x^2} + 3x} \over {{x^2} – 1}}\]

1. \[{2 \over {{x^2} + 8x + 16}} = {4 \over {2{{\left[ {x + 4} \right]}^2}}}\]

\[{{x – 4} \over {2x + 8}} = {{x – 4} \over {2\left[ {x + 4} \right]}} = {{\left[ {x – 4} \right]\left[ {x + 4} \right]} \over {2\left[ {x + 4} \right]\left[ {x + 4} \right]}} = {{{x^2} – 16} \over {2{{\left[ {x + 4} \right]}^2}}}\]

1. \[{{2x} \over {\left[ {x + 1} \right]\left[ {x – 3} \right]}} = {{2x\left[ {x – 2} \right]} \over {\left[ {x + 1} \right]\left[ {x – 3} \right]\left[ {x – 2} \right]}} = {{2{x^2} – 4x} \over {\left[ {x + 1} \right]\left[ {x – 2} \right]\left[ {x – 3} \right]}}\]

\[{{x + 3} \over {\left[ {x + 1} \right]\left[ {x – 2} \right]}} = {{\left[ {x + 3} \right]\left[ {x – 3} \right]} \over {\left[ {x + 1} \right]\left[ {x – 2} \right]\left[ {x – 3} \right]}} = {{{x^2} – 9} \over {\left[ {x + 1} \right]\left[ {x – 2} \right]\left[ {x – 3} \right]}}\]

Câu 8 trang 25 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1

Cho hai phân thức \[{A \over B}\] và\[{C \over D}\].

Chứng minh rằng có vô số cặp phân thức cùng mẫu , có dạng \[{{A’} \over E}\] và \[{{C’} \over E}\] thỏa mãn điều kiện \[{{A’} \over E} = {A \over B}\] và \[{{C’} \over E} = {C \over D}\]

Giải:

Với hai phân thức \[{A \over B}\] và \[{C \over D}\] ta có được hai phân thức cùng mẫu \[{{A.D} \over {B.D}}\] và\[{{C.B} \over {B.D}}\].

Ta nhân tử và mẫu của hai phân thức đó với cùng một đa thức M ≠ 0 bất kỳ, ta có hai phân thức mới cùng mẫu \[{{A.D.M} \over {B.D.M}}\] và\[{{C.B.M} \over {B.D.M}}\]. Ta đặt B.D.M = E, A.D.M = A’, C.B.M = C’\[ \Rightarrow {{A’} \over E} = {A \over {B’}}{{C’} \over E} = {C \over D}\]. Vì có vô số đa thức M ≠ 0 nên ta có vô số phân thức cùng mẫu bằng hai phân thức đã cho.

Câu 2.1 trang 25 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1

Hãy điền vào chỗ trống một đa thức thích hợp để được đẳng thức:

1. \[{{x + 5} \over {3x – 2}} = {{…} \over {x\left[ {3x – 2} \right]}}\]

1. \[{{2x – 1} \over 4} = {{\left[ {2x – 1} \right]…} \over {8x + 4}}\]

1. \[{{2x.\left[ {…} \right]} \over {{x^2} – 4x + 4}} = {{2x} \over {x – 2}}\]

1. \[{{5{x^2} + 10x} \over {\left[ {x – 2} \right]…}} = {{5x} \over {x – 2}}\]

Giải:

1. \[{{x + 5} \over {3x – 2}} = {{x\left[ {x + 5} \right]} \over {x\left[ {3x – 2} \right]}}\]

1. \[{{2x – 1} \over 4} = {{\left[ {2x – 1} \right]\left[ {2x + 1} \right]} \over {8x + 4}}\]

1. \[{{2x\left[ {x – 2} \right]} \over {{x^2} – 4x + 4}} = {{2x} \over {x – 2}}\]

1. \[{{5{x^2} + 10x} \over {\left[ {x – 2} \right]\left[ {x + 2} \right]}} = {{5x} \over {x – 2}}\]

Câu 2.2 trang 26 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1

Biến đổi mỗi phân thức sau thành phân thức có mẫu thức là \[{x^2} – 9\]

\[{{3x} \over {x + 3}}\]; \[{{x – 1} \over {x – 3}}\] ; \[{x^2} + 9\]

Giải:

Ta có \[{x^2} – 9 = \left[ {x + 3} \right]\left[ {x – 3} \right]\]

\[{{3x} \over {x + 3}} = {{3x\left[ {x – 3} \right]} \over {\left[ {x + 3} \right]\left[ {x – 3} \right]}} = {{3{x^2} – 9x} \over {{x^2} – 9}}\]

\[\eqalign{ & {{x – 1} \over {x – 3}} = {{\left[ {x – 1} \right]\left[ {x + 3} \right]} \over {\left[ {x – 3} \right]\left[ {x + 3} \right]}} = {{{x^2} + 2x – 3} \over {{x^2} – 9}} \cr & {x^2} + 9 = {{\left[ {{x^2} + 9} \right]\left[ {{x^2} – 9} \right]} \over {{x^2} – 9}} = {{{x^4} – 81} \over {{x^2} – 9}} \cr} \]

Câu 2.3 trang 26 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1

Dùng tính chất cơ bản của phân thức chứng tỏ rằng các cặp phân thức sau bằng nhau:

1. \[{{{x^2} + 3x + 2} \over {3x + 6}}\]và \[{{2{x^2} + x – 1} \over {6x – 3}}\]

1. \[{{15x – 10} \over {3{x^2} + 3x – \left[ {2x + 2} \right]}}\]và \[{{5{x^2} – 5x + 5} \over {{x^3} + 1}}\]

Giải:

1. \[{{{x^2} + 3x + 2} \over {3x + 6}}\] \[ = {{{x^2} + x + 2x + 2} \over {3\left[ {x + 2} \right]}} = {{x\left[ {x + 1} \right] + 2\left[ {x + 1} \right]} \over {3\left[ {x + 2} \right]}} = {{\left[ {x + 1} \right]\left[ {x + 2} \right]} \over {3\left[ {x + 2} \right]}} = {{x + 1} \over 3}\]

\[{{2{x^2} + x – 1} \over {6x – 3}}\] \[ = {{2{x^2} + 2x – x – 1} \over {3\left[ {2x – 1} \right]}} = {{2x\left[ {x + 1} \right] – \left[ {x + 1} \right]} \over {3\left[ {2x – 1} \right]}} = {{\left[ {x + 1} \right]\left[ {2x – 1} \right]} \over {3\left[ {2x – 1} \right]}} = {{x – 1} \over 3}\]

Vậy : \[{{{x^2} + 3x + 2} \over {3x + 6}}\]= \[{{2{x^2} + x – 1} \over {6x – 3}}\]

1. \[{{15x – 10} \over {3{x^2} + 3x – \left[ {2x + 2} \right]}}\] \[ = {{5\left[ {3x – 2} \right]} \over {3x\left[ {x + 1} \right] – 2\left[ {x + 1} \right]}} = {{5\left[ {3x – 2} \right]} \over {\left[ {x + 1} \right]\left[ {3x – 2} \right]}} = {5 \over {x + 1}}\]

\[{{5{x^2} – 5x + 5} \over {{x^3} + 1}}\] \[ = {{5\left[ {{x^2} – x + 1} \right]} \over {\left[ {x + 1} \right]\left[ {{x^2} – x + 1} \right]}} = {5 \over {x + 1}}\]

Vậy : \[{{15x – 10} \over {3{x^2} + 3x – \left[ {2x + 2} \right]}}\]= \[{{5{x^2} – 5x + 5} \over {{x^3} + 1}}\]