GIẢI CHI TIẾT Giải SGK Toán 8 [Kết nối TT] Bài 4: Phép nhân đa thức
\================ Giải bài tập Toán lớp 8 Bài 4: Phép nhân đa thức
Bài 1.24 trang 21 Toán 8 Tập 1: Nhân hai đơn thức:
- 5x2y và 2xy2; b]34xyvà 8x3y3;
- 1,5xy2z3và 2x3y2z. Lời giải:
- 5x2y . 2xy2= [5. 2][x2. x][y . y2]; b]34xy.8x3y3=34.8x.x3y.y3=6x4y4;
- 1,5xy2z3. 2x3y2z = [1,5 . 2][x . x3][y2. y2][z . z3] = 3x4y4z4. Bài 1.25 trang 21 Toán 8 Tập 1: Tìm tích của đơn thức với đa thức:
- [−0,5]xy2[2xy – x2+ 4y]; b]x3y−12x2+13xy6xy3 Lời giải:
- [−0,5]xy2[2xy – x2+ 4y] = [−0,5]xy2. 2xy + 0,5xy2. x2− 0,5xy2. 4y \= −x2y3+ 0,5x3y2− 2xy3; b]x3y−12x2+13xy6xy3 \=x3y.6xy3−12x2.6xy3+13xy.6xy3 \=6x4y4−3x3y3+2x2y4 Bài 1.26 trang 21 Toán 8 Tập 1: Rút gọn biểu thức: x[x2– y] – x2[x + y] + xy[x – 1]. Lời giải: Ta có x[x2– y] – x2[x + y] + xy[x – 1] \= x . x2– x . y – x2. x – x2. y + xy . x – xy . 1 \= x3– xy – x3– x2y + x2y – xy \= [x3– x3] + [x2y – x2y] – [xy + xy] = –2xy. Bài 1.27 trang 21 Toán 8 Tập 1: Làm tính nhân:
- [x2– xy + 1][xy + 3]; b]x2y2−12xy+2x−2y Lời giải:
- [x2– xy + 1][xy + 3] \= x2. xy – xy . xy + 1 . xy + x2. 3 – xy . 3 + 1 . 3 \= x3y – x2y2+ xy + 3x2– 3xy + 3 \= x3y – x2y2+ [xy – 3xy] + 3x2+ 3 \= x3y – x2y2– 2xy + 3x2+ 3. b]x2y2−12xy+2x−2y \=x2y2.x−12xy.x+2.x−x2y2.2y+12xy.2y−2.2y \=x3y2−12x2y+2x−2x2y3+xy2−4y Bài 1.28 trang 21 Toán 8 Tập 1: Rút gọn biểu thức sau để thấy rằng giá trị của nó không phụ thuộc vào giá trị của biến: [x – 5][2x + 3] – 2x[x – 3] + x + 7. Lời giải: Ta có [x – 5][2x + 3] – 2x[x – 3] + x + 7 \= x . 2x – 5 . 3 – 2x . x + 2x . 3 + x + 7 \= 2x2– 15 – 2x2+ 6x + x + 7 \= [2x2– 2x2] + [6x + x] + [7 – 15] = 7x – 7. Bài 1.29 trang 21 Toán 8 Tập 1: Chứng minh đẳng thức sau: [2x + y][2x2+ xy – y2] = [2x – y][2x2+ 3xy + y2]. Lời giải: Ta có: • [2x + y][2x2+ xy – y2] \= 2x . 2x2+ 2x . xy – 2x . y2+ y . 2x2+ y . xy – y . y2 \= 4x3+ 2x2y – 2xy2+ 2x2y + xy2– y3 \= 4x3+ [2x2y + 2x2y] + [xy2– 2xy2] – y3 \= 4x3+ 4x2y – xy2– y3. • [2x – y][2x2+ 3xy + y2] \= 2x . 2x2+ 2x . 3xy + 2x . y2– y . 2x2– y . 3xy – y . y2 \= 4x3+ 6x2y + 2xy2– 2x2y – 3xy2– y3 \= 4x3+ [6x2y – 2x2y] + [2xy2– 3xy2] – y3 \= 4x3+ 4x2y – xy2– y3. Do đó [2x + y][2x2+ xy – y2] = [2x – y][2x2+ 3xy + y2] \= 4x3+ 4x2y – xy2– y3. Vậy [2x + y][2x2+ xy – y2] = [2x – y][2x2+ 3xy + y2].
\==== ~~~~~~ ====
\============= THUỘC: GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA TOÁN LỚP 8 – KẾT NỐI TRI THỨC
Reader Interactions
- [ x 2 –1][ x 2 + 2 ]x b] [2 x − 1][3 x + 2][3 – x] c] [x + 3][ x 2 + 3 x– 5] d] [ x + 1][ x 2 – x+ 1] e] [2x 3 − 3 x − 1].[5 x+ 2] f] [ x 2 − 2 x + 3].[ x−4]
Bài 2. Thực hiện các phép tính sau:
- − 2 x y 3 [2 x 2 – 3y + 5 yz ] b] [ x – 2 ][y x y 2 2 − xy + 2 ]y c] 2 xy x y[ 2 – 5x 10 ]y 5
- 2 x y 2 .[3xy – x 2 y] 3
- e] [x – y ][x 2 + xy + y 2 ] f] 1 xy –1 .[x 3 – 2 x– 6] 2
Bài 3. Chứng minh các đẳng thức sau:
- [ x − y ][ x 4 + x y 3 + x y 2 2 + xy 3 + y 4 ]= x 5 −y 5 b] [ x + y ][ x 4 − x y 3 + x y 2 2 − xy 3 + y 4 ]= x 5 +y 5 c] [ a + b ][a 3 − a b 2 + ab 2 − b 3 ]= a 4 −b 4 d] [a + b ][a 2 − ab + b 2 ]= a 3 +b 3
Bài 4. Thực hiện các phép tính, sau đó tính giá trị biểu thức:
- A = [ x − 2][ x 4 + 2 x 3 + 4 x 2 + 8 x + 16] với x = 3. ĐS: A = 211 b] B = [ x + 1][ x 7 − x 6 + x 5 − x 4 + x 3 − x 2 + x− 1] với x = 2. ĐS: B = 255 c] C = [x + 1][ x 6 − x 5 + x 4 − x 3 + x 2 − x+ 1] với x = 2. ĐS: C = 129 d] D = 2 [10x x 2 − 5 x − 2] − 5 [4x x 2 − 2 x− 1] với x = − 5. ĐS: D = − 5
Bài 5. Thực hiện các phép tính, sau đó tính giá trị biểu thức:
- A = [ x 3 − x y 2 + xy 2 − y 3 ][ x + y] với x 2, y 1 2
- B = [a − b ][ a 4 + a b 3 + a b 2 2 + ab 3 + b 4 ] với a = 3, b= − 2. ĐS: B = 275
- C = [x 2 − 2 xy + 2 y 2 ][ x 2 + y 2 ] + 2 x y 3 − 3 x y 2 2 + 2 xy 3 với x 1 ,y 1 2 2
Bài 6. Chứng minh rằng các biểu thức sau không phụ thuộc vào x: a] A = [3 x + 7][2 x + 3] − [3x − 5][2 x+11] b] B = [ x 2 − 2][ x 2 + x − 1] − x x[ 3 + x 2 − 3 x −2] c] C = x x [ 3 + x 2 − 3 x − 2] − [ x 2 − 2][ x 2 + x−1] d] D = x [2 x + 1] − x 2 [ x + 2] + x 3 − x+ 3 e] E = [x + 1][ x 2 − x + 1] − [ x − 1][ x 2 + x+1]
CHƯƠNG I: PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC
ĐS: a] x 10 9
\= b] x 7 2
\= c] x 2 15
\= d] x 11 25
\= −Bài 6. So sánh hai số bằng cách vận dụng hằng đẳng thức:
- A = 1999à B = 20002 b] A = 216 và B = [2 + 1][2 2 + 1][2 4 + 1][2 8 +1] c] A = 2011à B = 20122 d] A = 4[3 2 + 1][3 4 + 1]...[3 64 + 1]và B = 3128 − 1
Bài 7. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
- A = 5 x – x 2 b] B = x – x 2 c] C = 4 x – x 2 + 3 d] D = – x 2 + 6 x− 11 e] E = 5 − 8 x − x 2 f] F = 4 x − x 2 + 1 Bài 8. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
- A = x 2 – 6 x+ 11 b] B = x 2 – 20x + 101 c] C = x 2 − 6 x+ 11 d] D = [ x − 1][ x + 2][ x + 3][ x+ 6] e] E = x 2 − 2 x + y 2 + 4 y+ 8 f] x 2 − 4 x + y 2 − 8 y + 6 g] G = x 2 – 4 xy + 5 y 2 + 10 x – 22 y+ 28 HD: g] G = [ x − 2 y + 5] 2 + [ y− 1] 2 + 2 ≥ 2
Bài 9. Cho a + b = Svà ab = P. Hãy biểu diễn theo S và P, các biểu thức sau đây:
- A = a 2 + b 2 b] B = a 3 + b 3 c] C = a 4 +b 4
III. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
VẤN ĐỀ I. Phương pháp đặt nhân tử chung
Bài 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
- 4 x 2 − 6 x b] 9 x y 4 3 + 3 x y 2 4 c] x 3 − 2 x 2 + 5 x d] 3 [x x − 1] + 5[x − 1] e] 2 x 2 [ x + 1] + 4[ x+ 1] f] − 3 x − 6 xy + 9 xz
Bài 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
- 2 x y 2 − 4 xy 2 + 6 xy b] 4 x y 3 2 − 8 x y 2 3 + 2 x y 4 c] 9 x y 2 3 − 3 x y 4 2 − 6 x y 3 2 + 18 xy 4 d] 7 x y 2 2 − 21 xy z 2 + 7 xyz − 14 xy
- a x y 3 2 5 a x 3 4 3 a x y 4 2 2
VẤN ĐỀ II. Phương pháp nhóm nhiều hạng tử
Bài 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
- x 3 − 2 x 2 + 2 x− 13 b] x y 2 + xy + x+ 1 c] ax + by + ay +bx d] x 2 − [a + b x] + ab e] x y 2 + xy 2 − x − y f] ax 2 + ay − bx 2 −by
Bài 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
- ax − 2 x − a 2 + 2 a b] x 2 + x − ax − a c] 2 x 2 + 4 ax + x + 2 a d] 2 xy − ax + x 2 − 2 ay e] x 3 + ax 2 + x + a f] x y 2 2 + y 3 + zx 2 +yz
Bài 3. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
- x 2 − 2 x − 4 y 2 − 4 y b] x 4 + 2 x 3 − 4 x− 4 c] x 3 + 2 x y 2 − x − 2 y d] 3 x 2 − 3 y 2 − 2[ x − y] 2 e] x 3 − 4 x 2 − 9 x+ 36 f] x 2 − y 2 − 2 x − 2 y
Bài 4. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a] [ x − 3][x − 1] − 3[ x− 3] b] [ x − 1][2 x + 1] + 3[ x − 1][ x + 2][2x +1] c] [6 x + 3] − [2 x − 5][2 x+ 1] d] [ x − 5] 2 + [ x + 5][x − 5] − [5 − x ][2 x+1] e] [3 x − 2][4 x − 3] − [2 − 3 ][x x − 1] − 2[3 x − 2][ x+1]
Bài 5. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
- [ a − b ][a + 2 ]b − [b − a ][2a − b ] − [a − b ][ a + 3 ]b b] 5 xy 3 − 2 xyz − 15 y 2 + 6 z c] [ x + y ][2x − y ] + [2 x − y ][3 x − y ] − [ y − 2 ]x d] ab c 3 2 − a b c 2 2 2 + ab c 2 3 −a bc 2 e] x 2 [y − z ] + y 2 [z − x ] + z 2 [ x −y]
VẤN ĐỀ III. Phương pháp dùng hằng đẳng thức
Bài 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
- 4 x 2 − 12 x+ 9 b] 4 x 2 + 4 x+ 1 c] 1 + 12 x + 36 x 2
- 9 x 2 − 24 xy + 16 y 2 e] x xy y
2 2 4 4
- * f] − x 2 + 10 x− 25
- − 16 a b 4 6 − 24 a b 5 5 − 9 a b 6 4 h] 25 x 2 − 20 xy + 4 y 2 i] 25 x 4 − 10 x y 2 +y 2
Bài 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
- [3 x − 1] 2 − 16 b] [5 x − 4] 2 − 49 x 2 c] [2x + 5] 2 − [ x−9] 2 d] [3x + 1] 2 − 4[ x− 2] 2 e] 9[2 x + 3] 2 − 4[x + 1] 2 f] 4 b c 2 2 − [b 2 + c 2 −a2 2] g] [ax + by ] 2 − [ay + bx] 2 h] [a 2 + b 2 − 5] 2 − 4[ ab+2] 2 i] [4 x 2 − 3 x − 18] 2 − [4x 2 + 3 ]x 2 k] 9[ x + y − 1] 2 − 4[2 x + 3 y +1] 2 l] − 4 x 2 + 12 xy − 9 y 2 + 25 m] x 2 − 2 xy + y 2 − 4 m 2 + 4 mn −n 2
Bài 3. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
- 8 x 3 − 64 b] 1 + 8 x y 6 3 c] 125 x 3 + 1
- 8 x 3 − 27 e] x y 3 3 27 8
- f] 125 x 3 + 27 y 3
Bài 4. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
- x 3 + 6 x 2 + 12 x+ 8 b] x 3 − 3 x 2 + 3 x − 1 c] 1 − 9 x + 27 x 2 − 27 x 3
- x 8 + x 4 + 1 e] x 5 + x+ 1 f] x 3 + x 2 + 4 g] x 4 + 2 x 2 − 24 h] x 3 − 2 x− 4 i] a 4 + 4 b 4 HD: Số hạng cần thêm bớt: a] 4 x 2 b] 16 x 2 c] x 2 + x d] x 2 e] x 2 f] x 2 g] 4 x 2 h] 2 x 2 + 2 x i] 4 a b 2 Bài 6. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: [đặt biến phụ]
- [ x 2 + x ] 2 − 14[ x 2 + x] + 24 b] [ x 2 + x ] 2 + 4 x 2 + 4 x− 12 c] x 4 + 2 x 3 + 5 x 2 + 4 x − 12 d] [ x + 1][ x + 2][ x + 3][ x+ 4] + 1 e] [ x + 1][ x + 3][ x + 5][x + 7] + 15 f] [ x + 1][x + 2][x + 3][ x+ 4] − 24
Bài 7. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: [đặt biến phụ]
- [ x 2 + 4 x + 8] 2 + 3 [x x 2 + 4 x + 8] + 2 x 2 b] [ x 2 + x + 1][x 2 + x+ 2] − 12 c] [ x 2 + 8 x + 7][ x 2 + 8 x + 15] + 15 d] [ x + 2][ x + 3][x + 4][ x+ 5] − 24
VẤN ĐỀ V. Tổng hợp
Bài 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
- x 2 + 4 x+ 3 b] 16 x − 5 x 2 − 3 c] 2 x 2 + 7 x + 5 d] 2 x 2 + 3 x − 5 e] x 3 − 3 x 2 + 1 − 3 x f] x 2 − 4 x− 5 g] [a 2 + 1] 2 − 4 a 2 h] x 3 − 3 x 2 – 4 x+ 12 i] x 4 + x 3 + x+ 1 k] x 4 – x 3 – x 2 + 1 l] [2 x + 1] 2 – [ x–1] 2 m] x 4 + 4 x 2 – 5
Bài 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
- − x − y 2 + x 2 − y b] x x[ + y ] − 5 x − 5 y c] x 2 − 5 x + 5 y −y 2 d] 5 x 3 − 5 x y 2 − 10 x 2 + 10 xy e] 27 x 3 − 8 y 3 f] x 2 – y 2 – x – y g] x 2 − y 2 − 2 xy + y 2 h] x 2 − y 2 + 4 − 4 x i] x 6 −y 6 k] x 3 + 3 x 2 + 3 x + 1 – 27z 3 l] 4 x 2 + 4 x – 9 y 2 + 1 m] x 2 – 3 x +xy – 3y
Bài 3. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
- 5 x 2 − 10 xy + 5 y 2 − 20 z 2 b] x 2 − z 2 + y 2 − 2 xy c] a 3 − ay − a x 2 +xy d] x 2 − 2 xy − 4 z 2 + y 2 e] 3 x 2 − 6 xy + 3 y 2 − 12 z 2 f] x 2 − 6 xy − 25 z 2 + 9 y 2 g] x 2 − y 2 + 2 yz − z 2 h] x 2 – 2xy + y 2 – xz + yz i] x 2 – 2 xy +tx – 2ty k] 2 xy + 3 z + 6 y + xz l] x 2 + 2 xz + 2 xy + 4 yz m] [ x + y +z ] 3 – x 3 – y 3 – z 3
Bài 4. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
- x 3 + x z 2 + y z 2 − xyz + y 3 b] bc b[ + c ] + ca c[ − a ] − ab a[ +b] c] a 2 [ b − c ] + b 2 [c − a ] + c 2 [a − b] d] a 6 − a 4 + 2 a 3 + 2 a 2
- x 9 − x 7 − x 6 − x 5 + x 4 + x 3 + x 2 − 1 f] [ x + y + z ] 3 − x 3 − y 3 −z 3 g] [a + b + c ] 3 − [a + b − c ] 3 − [b + c − a ] 3 − [c + a − b] 3 h] x 3 + y 3 + z 3 − 3 xyz Bài 5. Giải các phương trình sau:
- [ x − 2] 2 – [ x – 3][ x+ 3] = 6 b] [ x + 3] 2 + [4 + x ][4 – x] = 10 c] [ x + 4] 2 + [1 – x ][1 + x] = 7 d] [ x – 4] 2 – [ x – 2][ x+ 2] = 6 e] 4[x – 3] 2 – [2 x –1][2 x+ 1] = 10 f] 25[ x + 3] 2 + [1 – 5 ][1x + 5 ]x = 8 g] 9[ x + 1] 2 – [3 x – 2][3x + 2] = 10 h] − 4[ x –1] 2 + [2 x –1][2 x+ 1] = − 3
Bài 6. Chứng minh rằng:
- a 2 [ a + 1] + 2 [a a + 1]chia hết cho 6 với a ∈ Z. b] a [2 a − 3] − 2 [a a + 1]chia hết cho 5 với a ∈ Z. c] x 2 + 2 x+ 2 > 0 với x ∈ Z. d] − x 2 + 4 x − 5 < 0 với x ∈ Z.
IV. CHIA ĐA THỨC
VẤN ĐỀ I. Chia đa thức cho đơn thức
Bài 1. Thực hiện phép tính:
- [ 2]− 5 : [ 2]− 3 b] [ − y ] 7 : [ − y] 3 c] x 12 : [ −x 10 ] d] [2 x 6 ] : [2 ]x 3 e] [ 3 ]− x 5 : [ 3 ]− x 2 f] [ xy 2 4] : [ xy2 2]
Bài 2. Thực hiện phép tính:
- [ x + 2] 9 : [ x+ 2] 6 b] [ x − y ] 4 : [ x− 2] 3 c] [x 2 + 2 x + 4] 5 : [x 2 + 2 x+4]
- 2[ x 2 1] : 3 1 [ x 2 1] 3
- * e] 5[ x y ] 5 : 5 [ x y] 2 6
Bài 3. Thực hiện phép tính:
- 6 xy 2 : 3 y b] 6 x y 2 3 : 2 xy 2 c] 8 x y 2 : 2xy d] 5 x y 2 5 : xy 3 e] [ 4− x y 4 3 ] : 2x y 2 f] xy z3 4 : [ 2− xz 3 ]
- 3 x y 3 3 : 1 x y 2 4 2
− h] 9 x y z 2 4 :12 xy 3 i] [2 x y 3 ][3xy 2 ] : 2x y 3
- a b ab a b
2 3 3 2 2 2 4
[3 ] [ ] [ ]- xy x y x y
2 3 2 2 3 2 2
[2 ] [3 ] [2 ]Bài 4. Thực hiện phép tính:
- [2 x 3 − x 2 + 5 ] :x x b] [3x 4 − 2 x 3 + x 2 ] : [ 2 ]− x c] [ 2− x 5 + 3 x 2 – 4x 3 ] : 2x 2
- f x [ ] = 4 x 3 − 3 x 2 + 1 , g x [ ] = x 2 + 2 x− 1 b] f x [ ] = 2 − 4 x + 3 x 4 + 7 x 2 − 5 x 3 , g x [ ] = 1 + x 2 −x c] f x [ ] = 19 x 2 − 11 x 3 + 9 − 20 x + 2 x 4 , g x [ ] = 1 + x 2 − 4 x d] f x [ ] = 3 x y 4 − x 5 − 3 x y 3 2 + x y 2 3 − x y 2 2 + 2 xy 3 − y 4 , g x [ ] = x 3 − x y 2 +y 2
VẤN ĐỀ III. Tìm đa thức bằng phương pháp hệ số bất định
Bài 1. Cho biết đa thức f x[ ] chia hết cho đa thức g x[ ]. Tìm đa thức thương:
- f x [ ] = x 3 − 5 x 2 + 11 x − 10 , g x[ ] = x− 2 ĐS: q x [ ] = x 2 − 3 x+ 5 b] f x [ ] = 3 x 3 − 7 x 2 + 4 x − 4 , g x[ ] = x− 2 ĐS: q x [ ] = 3 x 2 − x+ 2
Bài 2. Phân tích đa thức P x [ ] = x 4 − x 3 − 2 x − 4 thành nhân tử, biết rằng một nhân tử có dạng:
x 2 + dx+ 2. ĐS: P x [ ] = [x 2 − x + 2][ x 2 − 2].
Bài 3. Với giá trị nào của a và b thì đa thức x 3 + ax 2 + 2 x + bchia hết cho đa thức x 2 + x+ 1. ĐS: a = 2, b= 1.
Bài 4. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
- x 3 − x 2 − 14 x + 24 b] x 3 + 4 x 2 + 4 x+ 3 c] x 3 − 7 x − 6 d] x 3 − 19 x− 30 e] a 3 − 6 a 2 + 11 a − 6 Bài 5. Tìm các giá trị a, b, k để đa thức f x[ ] chia hết cho đa thức g x[ ] :
- f x [ ] = x 4 − 9 x 3 + 21 x 2 + x + k, g x [ ] = x 2 − x− 2. ĐS: k = − 30. b] f x [ ] = x 4 − 3 x 3 + 3 x 2 + ax + b, g x [ ] = x 2 − 3 x + 4. ĐS: a = 3, b= − 4.
Bài 6. Tìm tất cả các số tự nhiên k để cho đa thức f k [ ] = k 3 + 2 k 2 + 15 chia hết cho nhị thức g k[ ] = k+ 3. ĐS: k = 0, k= 3.
BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG I
Bài 1. Thực hiện phép tính:
- [3 x 3 − 2 x 2 + x + 2].[5x 2 ] b] [a x 2 3 − 5 x + 3 ].[ 2a − a x 3 ] c] [3 x 2 + 5 x − 2][2 x 2 − 4 x + 3] d] [a 4 + a b 3 + a b 2 2 + ab 3 + b 4 ][a −b]
Bài 2. Rút gọn các biểu thức sau:
- [ a 2 + a − 1][a 2 − a+ 1] b] [a + 2][a − 2][a 2 + 2 a + 4][a 2 − 2 a +4] c] [2 + 3 ]y 2 − [2x − 3 ]y 2 − 12 xy d] [ x + 1] 3 − [ x − 1] 3 − [x 3 − 1] − [ x − 1][ x 2 + x+1]
Bài 3. Trong các biểu thức sau, biểu thức nào không phụ thuộc vào x:
- [ x − 1] 3 − [ x + 1] 3 + 6[ x + 1][ x− 1] b] [ x + 1][ x 2 − x + 1] − [ x − 1][ x 2 + x+1] c] [ x − 2] 2 − [ x − 3][ x− 1] d] [ x + 1][ x 2 − x + 1] − [ x − 1][ x 2 + x+1] e] [ x − 1] 3 − [ x + 1] 3 + 6[ x + 1][ x− 1] f] [ x + 3] 2 − [ x − 3] 2 − 12 x
Bài 4. Tính giá trị của các biểu thức sau:
- A = a 3 − 3 a 2 + 3 a + 4 với a = 11 b] B = 2[ x 3 + y 3 ] − 3[ x 2 + y 2 ]với x + y = 1
Bài 5. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
- 1 + 2 xy − x 2 − y 2 b] a 2 + b 2 − c 2 − d 2 − 2 ab + 2 cd c] a b 3 3 − 1 d] x 2 [y − z ] + y 2 [z − x ] + z 2 [ x −y] e] x 2 − 15 x + 36 f] x 12 − 3 x y 6 6 + 2 y 12 g] x 8 − 64 x 2 h] [ x 2 − 8] 2 − 784 Bài 6. Thực hiện phép chia các đa thức sau: [đặt phép chia vào bài]
- [35 x 3 + 41 x 2 + 13 x − 5] : [5x − 2] b] [ x 4 − 6 x 3 + 16 x 2 − 22 x + 15] : [ x 2 − 2 x +3] c] [ x 4 − x y 3 + x y 2 2 − xy 3 ] : [ x 2 + y 2 ] d] [4 x 4 − 14 x y 3 − 24 x y 2 2 − 54 y 4 ] : [ x 2 − 3 xy − 9 y 2 ]
Bài 7. Thực hiện phép chia các đa thức sau:
- [3 x 4 − 8 x 3 − 10 x 2 + 8 x − 5] : [3 x 2 − 2 x+1] b] [2 x 3 − 9 x 2 + 19 x − 15] : [ x 2 − 3 x+5] c] [15x 4 − x 3 − x 2 + 41 x − 70] : [3 x 2 − 2 x+7] d] [6 x 5 − 3 x y 4 + 2 x y 3 2 + 4 x y 2 3 − 5 xy 4 + 2 y 5 ] : [3x 3 − 2 xy 2 +y 3 ]
Bài 8. Giải các phương trình sau:
- x 3 − 16 x = 0 b] 2 x 3 − 50 x= 0 c] x 3 − 4 x 2 − 9 x+ 36 = 0 d] 5 x 2 − 4[ x 2 − 2 x + 1] − 5 = 0 e] [x 2 − 9] 2 − [ x− 3] 2 = 0 f] x 3 − 3 x+ 2 = 0 g] [2 x − 3][ x + 1] + [4 x 3 − 6 x 2 − 6 ] : [ 2 ]x − x = 18
Bài 9. Chứng minh rằng:
- a 2 + 2 a + b 2 + 1 ≥ 0 với mọi giá trị của a và b. b] x 2 + y 2 + 2 xy+ 4 > 0 với mọi giá trị của x và y. c] [ x − 3][x − 5] + 2 > 0 với mọi giá trị của x.
Bài 10. Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
- x 2 + x+ 1 b] 2 + x − x 2 c] x 2 − 4 x+ 1 d] 4 x 2 + 4 x+ 11 e] 3 x 2 − 6 x+ 1 f] x 2 − 2 x + y 2 − 4 y+ 6 g] h h[ + 1][h + 2][h +3]
Bài 6. Chứng minh các phân thức sau luôn có nghĩa:
- x y x 2 2 y 21
- x 2 y 2 x
VẤN ĐỀ I. Phân thức bằng nhau
Bài 7. Chứng minh các đẳng thức sau:
- y xy x x
\= ≠ b] x x y y y
3 2 3 2 [ 0] 2 2 − = ≠ −- x y x y y x
- xy xy a y a ay
\= ≠ ≠ e] x x y y y
1 1 [ 2] 2 2 − = − ≠ − −- a a b b b
Bài 8. Chứng minh các đẳng thức sau:
- x x x x x x x
3 3 2
2 2 [ 0] [ 2 4] − = − ≠ − + +- x x[x y x y x y y 2 x 2
- x y a x y a x y a a x y
2 2
3 [ ] [ 0, ] 3 9 [ ] + = + ≠ ≠ − +Bài 9. Với những giá trị nào của x thì hai phân thức sau bằng nhau:
- x x 2 x
và x
1 − 3Bài 10. Cho hai phân thức A và B. Hãy xét sự bằng nhau của chúng trong các trường hợp sau: i] x ∈ N ii] x ∈ Z iii] x ∈Q
- A x x x
, B x 2 3
\= −Bài 11. Cho ba phân thức A, B và C. Hãy xét sự bằng nhau của chúng trong các trường hợp sau: i] x ∈ N ii] x ∈ Z iii] x ∈Q
- A x 1 5
\= + , B x x x
[ 1][ 2] 5[ 2] \= + + +, C x x x
[ 1][3 2] 5[3 2] \= + − −VẤN ĐỀ II. Rút gọn phân thức
Bài 12. Rút gọn các phân thức sau:
- 5 x 10
- xy y y
≠ c] x y xy xy
21 2 3 [ 0] 6 ≠- 2 x 2 y 4
- e] x y x y x y
- x x y x y y x
Bài 13. Rút gọn các phân thức sau:
- x x x x x
2 2
16 [ 0, 4] 4 − ≠ ≠ −- x x x x
- x x y y x y y x y
3 2
15 [ ] [ [ ] 0] 5 [ ] + + + ≠ +- x y y x x y x y
- x y x y x y x y x y
- x xy x y y xy y
2 3 3 2 [ , 0]
− ≠ ≠ −- ax ax a b x b bx
2 2
2 4 2 [ 0, 1] 5 5 − + ≠ ≠ ± −- x xy x x y x x y
2 3 2
4 4 [ 0, ] 5 5 − ≠ ≠ −- x y z x y z x y z
- x x y y x x y x xy
6 3 3 6 7 6
+ 2 + [ ≠ 0, ≠ ± ] −Bài 14. Rút gọn, rồi tính giá trị các phân thức sau:
- A x x x x x x
2 2 3
[2 2 ][ 2] [ 4 ][ 1] \= + − − +với x 1 2
\= b] B x x y xy x y
3 2 2 3 3
\= − + +với x = −5, y= 10
Bài 15. Rút gọn các phân thức sau:
- a b c a b c
- a b c ab a b c ac
2 2 2 2 2 2
2 2 + − + − + +- x x x x x x
3 2 3 2
2 7 12 45 3 19 33 9 − − + − + −Bài 16. Rút gọn các phân thức sau:
- a b c abc a b c ab bc ca
3 3 3 2 2 2
+ + − 3 + + − − −- x y z xyz x y y z z x
3 3 3 2 2 2
3 [ ] [ ] [ ] − + + + + + + −- x y z xyz x y y z z x
3 3 3 2 2 2
3 [ ] [ ] [ ] + + − − + − + −- a b c b c a c a b a b c b c a c a b
2 2 2 4 2 2 4 2 2 4 2 2
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] − + − + − − + − + −- a b c b c a c a b ab ac b bc
2 2 2 2 2 3 2
- x x x x x x x x
24 20 16 4 26 24 22 2
... 1 ... 1 + + + + + + + + + +Bài 17. Tìm giá trị của biến x để:
- P x 2 x
đạt giá trị lớn nhất ĐS: max P 1 khi x 1 5
\= = −- Q x x x x
2 2
1 2 1 \= + + + +đạt giá trị nhỏ nhất ĐS: min Q 3 khi x 1 4
\= =Bài 18. Chứng minh rằng phân thức sau đây không phụ thuộc vào x và y:
- x a a a x x a a a x
2 2 2 2 2 2
[ ][1 ] 1 [ ][1 ] 1 + + + + − − + +- xy x y x x y y x
- ax a axy ax ay a x y x y
2 [ 1, 1] 1 1
− − + − − ≠ − ≠ − + +- x a x x a
- 2 2 4
x x x
x x
x −
+ −− + e] x x y xy y 2 xy x 2
+ 2 − − −- x x x x x
2 2
6 1 4 6 3 2 + + − − +- x xy y x x y xy y x
− + − + + h] x x y x y x 2 y 2
2 + 1 + − 3 + − −- x y x y x y
Bài 24. Thực hiện phép tính:
- 2 2 2 2 2 2 4
x y x xy xy y x y
+ + + − −- xy x y x y y 3 x 3 x 2 xy y 2
- x y x x y x 2 xy y 2 x 2 x 2 xy
- x x x 2 x 4 x 8 x 16
Bài 25. Thực hiện phép tính:
- 1 3 x x 3 2 2
− − + b] x y x y y x x
2[ + ][ − ] − 2 2− c] x x x y x y
3 + 1 − 2 − 3 + +- xy x x y y x
- 4 2 1 7 21 3 3
x x x y x y
− − −Bài 26. Thực hiện phép tính:
- 4 x 1 3 x 2 2 3
- − + b] x x x x x 2 x
- x x 2 x 2 x
- x x x x 2
- x x 2 x x 2 x
- x x x y x y
- a a a a a a a
2 3 2
4 3 5 1 2 6 1 1 1 − + − − − − + + −- x y x y xy y
− i] x y y x 2 y 2 x 2 xy
9 3 9 3 + − − +- 2 1
x x
x x x x
x l] 2
3 6 2 6 2 6x x x x
− − + +- x x x
2 4 2 1 1 1
- − +
- a a a 2 a 3
Bài 27. Thực hiện phép tính:
- x x y
1 6. b] x xy y
2 2.3 c]
2 3 2
15. 2 7x y y x
- x y x y x
2 3
2. 5 −- 5 10 4. 2 4 8 2
x x x x
+ − − +f]
2 36 . 2 10 6x x x
− + −- x y xy x y x y
2 2 2 2
9. 2 3 6 − −- x y x y xy y x
- a b a b a b a ab b
3 3 2 2
2 2. 6 6 3 3 − + + − +Bài 28. Thực hiện phép tính:
- x x 2
- x y x y
- x y xy
- x y x y x y xy
2 2 6 2 : 3
− + e] a ab a b b a a b
2 : 2 2 2 2
+ + − −- x y x xy y x x y
2 : 3 2 3 2
+ + − −g]
2 2
1 4 : 2 4 4 3x x x x x
− − +- 2 1
2
2
− + −x x
x x
x i] 2 1
: 64 7 7 6 482
2 − +
− − +x x
x x
x
- 2 1
2
2
− + −x x
x x
x l] 2 1
: 49 5 5 3 212
2
− + +x x
x x
x m] 1
: 66 [ 1 ] 3 3 2 2 + − + −x
x x
x
Bài 29. Thực hiện phép tính:
- 21 2 : 1 2 1
x x x x x x
- 2
2 1 6 9
: 610 3 1 2 1 3 3x x
x x x
x x
x − +
+ + + −-
3 2 x
x x x
x x x x
- 1 : 2 : 3 2 3 1
x x x x x x
Bài 30. Rút gọn các biểu thức sau:
- x y x y
b]
x x x x x x x x
1 1 1 1 − − + − + −- x x x
- x x x
2 2
1 2 1 1 2 1 − + − − −e]
x y y x x y x y x y x y
+ − + + + −f]
a x x a a x a x x a a x
− + − + − +Bài 31. Tìm các giá trị nguyên của biến số x để biểu thức đã cho cũng có giá trị nguyên:
- x x x
- x x x
- x x x x
- x x x x
- x x x x x
4 4 3 2
16 4 8 16 16 − − + − +Bài 32. * Phân tích các phân thức sau thành tổng các phân thức mà mẫu thức là các nhị thức bậc nhất:
- x x 2 x
- x x x x x
- x x x x x
Bài 33. * Tìm các số A, B, C để có:
- x x A B C x x x x
2 3 3 2
2 [ 1] [ 1] [ 1] 1 − + = + + − − − −- x x A Bx C x x x x
2 2 2
2 1 [ 1][ 1] 1 1 + − = + + − + − +Bài 34. * Tính các tổng:
- A a b c [a b ][a c ] [ b a ][b c ] [c a ][c b]
- B a b c a b a c b a b c c a c b
2 2 2 [ ][ ] [ ][ ] [ ][ ]
\= + + − − − − − −c]
x xy y x xy y x y x y x y x x y
2 2 2 2
2
+ + − − + + − − − +với x = 9, y= 10
Bài 40. Biểu diễn các phân thức sau dưới dạng tổng của một đa thức và một phân thức với bậc của tử thức nhỏ hơn bậc chủa mẫu thức:
- x x
2 2
3 1 + −- x x
2 2
1 1 − +- x x x x x
4 3 2 2
4 5 1 − + − + +- x x x x
Bài 41. Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức sau cũng có giá trị nguyên:
- x
- x
- x x x
- x x x
Bài 42. Cho biểu thức: P x x x x
3 2 3 [ 1][2 6] \= + + − .- Tìm điều kiện xác định của P. b] Rút gọn biểu thức P. c] Cho P = –3. Tính giá trị của biểu thức Q = 9 x 2 – 42x + 49.