- LG a
- LG b
Cho phương trình\[m\sin x + [m + 1]cosx = {m \over {\cos x}}\]
LG a
Giải phương trình khi\[m = {1 \over 2}\]
Lời giải chi tiết:
cosx = 0 không là nghiệm của phương trình nên ta chia hai vế phương trình cho cosx
Đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai đối với \[\tan x\]
\[\eqalign{
& {1 \over 2}\tan x + {3 \over 2} = {1 \over 2}\left[ {1 + {{\tan }^2}x} \right] \cr
& \Leftrightarrow {1 \over 2}{\tan ^2}x - {1 \over 2}\tan x - 1 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\tan x = - 1 \hfill \cr
\tan x = 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {{ - \pi } \over 4} + k2\pi \hfill \cr
x = \alpha + l\pi \text{ với }\tan \alpha = 2 \hfill \cr} \right. \cr} \]
LG b
Tìm các giá trị của m sao cho phương trình đã cho có nghiệm.
Lời giải chi tiết:
\[m \le - 4\] hoặc \[m > 0\]
ĐKXĐ của phương trình là \[\cos x \ne 0.\] Với điều kiện đó, chia hai vế cho \[\cos x\] và đặt \[\tan x = t\] ta được phương trình.
\[m{t^2} - mt - 1 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[1]\]
Do phương trình \[\tan x = t\] có nghiệm với mọi t nên phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi [1] có nghiệm.
+] Xét m = 0 phương trình vô nghiêm.
+] Xét \[m\ne 0\] ta có [1] có nghiệm khi và chỉ khi:
\[\Delta \ge 0 \Leftrightarrow {m^2} + 4m \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
m \ge 0 \hfill \cr
m \le - 4 \hfill \cr} \right.\]
Kết hợp với điều kiện\[m\ne 0\] thì\[m \le - 4\] hoặc \[m > 0\] phương trình đã cho có nghiệm.